【正文】 知， △ BCD 是等邊三角形 .因?yàn)?E 是 CD 的中點(diǎn)，所以 BE⊥ CD,又 AB∥ CD, 所以 BE⊥ PA⊥平面 ABCD， BE? 平面 ABCD，所以 PA⊥ PA? AB=A,因此 BE⊥平面 PAB. 又 BE? 平面 PBE，所以平面 PBE⊥平面 PAB. （Ⅱ）延長(zhǎng) AD、 BE 相交于點(diǎn) F，連結(jié) PF. 大家網(wǎng)高考論壇 21 過(guò)點(diǎn) A 作 AH⊥ PB 于 H，由（Ⅰ）知 平面 PBE⊥平面 PAB,所以 AH⊥平面 PBE. 在 Rt△ ABF 中，因?yàn)椤?BAF＝ 60176。 cos30176。G 同理可得 39。 8 分 22 3E F CF CE? ? ?， 23CE CFCG EF???， 22 33E G C E C G? ? ?． 13EGEF? ， 123 15E F F DGH DE?? ? ?． 又 2211 26A C A A A C? ? ?，11 563A G A C C G? ?． 11ta n 5 5AGA H G HG? ? ?． 所以二面角 1A DE B??的大小為 arctan5 5 ． 39。 =32 , 又 F 是 PC 的中點(diǎn)，在 Rt△ ASO 中， SO=AO 所以， AF=2AB=2=AP. 在等腰 Rt△ PAF 中，取 PF 的中點(diǎn) G，連接 AG. 則 AG⊥ HG，由三垂線定理的逆定理得， PF⊥ ∠ AGH 是平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角的平面角（銳角） . 在等腰 Rt△ PAF 中， 2 G P A?? 在 Rt△ PAB 中， 222 2 5 .55A P A B A P A BAH PB A P A B? ? ? ?? 所以，在 Rt△ AHG 中， 25 105si n .52AHAGH AG? ? ? ? 故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（銳角）的大小是 10arcsin .5 解法二 : 如圖所示，以 A 為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 .則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 A（ 0， 0， 0）， B（ 1， 0， 0）， 33( , ,0),22C 13( , ,0),22D P（ 0， 0， 2） , 3(1, ,0).2E （Ⅰ）因?yàn)?3(0, ,0)2BE ? ， 平面 PAB 的一個(gè)法向量是 0 (0,1,0)n ? ， 所以 0BE n和 共線 .從而 BE⊥平面 PAB. 又因?yàn)?BE? 平面 PBE， 故平面 PBE⊥平面 PAB. (Ⅱ )易知 3(1 , 0 , 2 ) , ( 0 , 02P B B E? ? ? ， ） ， 13( 0 , 0 , 2 ) , ( , , 0 )22P A A D? ? ? 設(shè)1 1 1 1( , , )n x y z?是平面 PBE的一個(gè)法向量，則由 110,0n PBn BE? ??????得 大家網(wǎng)高考論壇 22 1 1 11 2 20 2 0 ,30 0 0.2x y zx y z? ? ? ???? ? ? ? ? ???所以 1 1 1 10 , 2 . ( 2 , 0 , 1 ) .y x z n? ? ?故 可 取 設(shè) 2 2 2 2( , , )n x y z? 是平面 PAD的一個(gè)法向量，則由 220,0n PAn AD? ??????得 2 2 22 2 20 0 2 0 ,13 0 0.22x y zx y z? ? ? ? ???? ? ? ? ???所以 2 2 20, 3 .z x y? ? ? 故可取 2 ( 3, 1, 0).n ?? 于是， 1212122 3 1 5c o s , .552nnnnnn? ?? ? ?? 故平面 PAD和平面 PBE所成二面角（銳角）的大小是 15arccos .5 陜西卷 19．（本小題滿分 12 分） 三棱錐被平行于底面 ABC 的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為1 1 1ABC ， 90BAC??， 1AA? 平面 ABC ， 1 3AA? ， 2AB? ，2AC? ， 111AC? ， 12BDDC? ． （Ⅰ）證明：平面 1AAD? 平面 11BCCB ； （Ⅱ）求二面角 1A CC B??的大?。? 解法一：（Ⅰ） 1AA? 平面 ABC BC ?， 平面 ABC ， ? 1AA BC? ．在 Rt ABC△ 中， 2 2 6A B A C B C? ? ? ?， ， : 1 : 2BD DC ? ， 63BD??，又 33BD ABAB BC??， DB A AB C?△ ∽ △ ， 90AD B BA C? ? ? ? ?，即 AD BC? ． 又 1A A AD A? ， BC??平面 1AAD ， BC? 平面 11BCCB ， ?平面 1AAD ? 平面 11BCCB ． （Ⅱ）如圖，作 1AE CC? 交 1CC于 E 點(diǎn)，連接 BE ， 由已知得 AB? 平面 11ACCA ． A1 A C1 B1 B D C 大家網(wǎng)高考論壇 23 AE? 是 BE 在面 11ACCA 內(nèi)的射影． 由 三垂線定理 知 1BE CC? ， AEB?? 為二面角 1A CC B??的平面角． 過(guò) 1C 作 1CF AC? 交 AC 于 F 點(diǎn)， 則 1C F AC AF? ? ?， 11 3C F A A??， 1 60C CF?? ? ． 在 Rt AEC△ 中， 3s in 6 0 2 32A E A C? ? ? ?． 在 Rt BAE△ 中， 26ta n33ABAEB AE? ? ?． 6a rc ta n 3AEB? ? ? ， 即二面角 1A CC B??為 6arctan 3 ． 解法二：（Ⅰ）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系， 則 11( 0 0 0 ) ( 2 0 0 ) ( 0 2 0 ) ( 0 0 3 ) ( 0 1 3 )A B C A C， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， : 1 : 2BD DC ? ， 13BD BC?? ． D? 點(diǎn)坐標(biāo)為 2 2 2 033??????， ，． ? 2 2 2 033AD ??? ????， ， 1( 2 2 0) ( 0 0 3 )B C A A? ? ?， ， ， ， ，． 1 0BC AA ? ， 0BC AD? ， 1BC AA??， BC AD? ，又 1A A AD A? ， BC??平面 1AAD ，又 BC? 平面 11BCCB ， ?平面 1AAD? 平面 11BCCB ． （Ⅱ） BA? 平 面 11ACCA ，取 ( 2 0 0)AB?? ， ，m 為平面 11ACCA 的法向量， 設(shè)平面 11BCCB 的法向量為 ()l m n? ， ，n ，則 100B C C C??，nn． A1 A C1 B1 B D C F E （第 19 題，解法一） A1 A C1 B1 B D C z y x （第 19 題，解法二） 大家網(wǎng)高考論壇 24 2 2 030lmmn?? ? ??? ?? ? ???，32 3l m n m? ? ?， ， 如圖，可取 1m? ，則 3213???????， ，n， 22 2 2 2 232 2 0 1 0153c os53( 2 ) 0 0 ( 2 ) 1 3? ? ? ? ?? ?? ???? ? ? ?????，mn ， 即二面角 1A CC B??為 15arccos 5 ． 重慶卷 （ 19）（本小題滿分 13分，（Ⅰ）小問(wèn) 6分，（Ⅱ）小問(wèn) 7分 .） 如題（ 19）圖，在 ABC 中， B=90 ,AC=152 ,D、E兩點(diǎn)分別在 AB、 AC上 .使 2AD AEDB EC??,DE=3.現(xiàn)將 ABC 沿 DE折成直二角角，求： （Ⅰ）異面直線 AD與 BC的距離； （Ⅱ）二面角 AECB 的大小（用反三角函數(shù)表示） . 解法一： （Ⅰ）在答（ 19）圖 1中，因 AD AEDB CE? ，故 BE∥ B＝ 90176。 （Ⅱ）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（銳角）的大小 . 解 : 解法一（Ⅰ）如圖所示，連結(jié) BD，由 ABCD 是菱形且∠ BCD=60176。 = 32 ， AO=AE 12 分 3．（ 北京卷 16） 如圖，在三棱錐 P ABC? 中， 2AC BC??， 90ACB??， AP BP AB??，PC AC? ． （ Ⅰ ）求證： PC AB? ； （ Ⅱ ）求二面角 B AP C??的大??； （ Ⅲ ）求點(diǎn) C 到平面 APB 的距離． 解法一： （ Ⅰ ）取 AB 中點(diǎn) D ，連結(jié) PD CD， ． AP BP? ， PD AB??． AC BC? ， CD AB??． PD CD D? ， AB??平面 PCD ． PC? 平面 PCD ， PC AB??． （ Ⅱ ） AC BC? ， AP BP? ， AP C BP C?△ ≌ △ ． 又 PC AC? ， PC BC??． 又 90ACB??，即 AC BC? ，且 AC PC C? ， A C B D P A C B E P A C B P 大家網(wǎng)高考論壇 9 BC??平面 PAC ． 取 AP 中點(diǎn) E ．連結(jié) BE CE， ． AB BP? ， BE AP??． EC 是 BE 在平面 PAC 內(nèi)的射影， CE AP??． BEC?? 是二面角 B AP C??的平面角． 在 BCE△ 中， 90BCE??， 2BC? ， 3 62BE AB??， 6s in 3BCBEC BE? ? ? ?． ?二面角 B AP C??的大小為 6arcsin 3 ． （ Ⅲ ）由（ Ⅰ ）知 AB? 平面 PCD ， ?平面 APB? 平面 PCD ． 過(guò) C 作 CH PD? ，垂足為 H ． 平面 APB 平面 PCD PD? ， CH??平面 APB ． CH? 的長(zhǎng)即為點(diǎn) C 到平面 APB 的距離． 由（ Ⅰ ）知 PC AB? ，又 PC AC? ，且 AB AC A? ， PC??平面 ABC ． CD? 平面 ABC ， PC CD??． 在 Rt PCD△ 中， 1 22CD AB??， 3 62PD PB??， 22 2P C P D CD? ? ? ?． 3 32??? PD CDPCCH ． ?點(diǎn) C 到平面 APB 的距離為 233 ． 解法二： （ Ⅰ ） AC BC? ， AP BP? ， AP C BP C?△ ≌ △ ． 又 PC AC? ， PC BC??． AC BC C? ， PC??平面 ABC ． A C B D P H 大家網(wǎng)高考論壇 10 AB? 平面 ABC ， PC AB??． （ Ⅱ ）如圖，以 C 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 C xyz? ． 則 ( 0 0 0) ( 0 2 0) ( 2 0 0)C A B， ， ， ， ， ， ， ，． 設(shè) (00 )Pt， ， ． 22P B A B??， 2t?? ， (002)P ， ， ． 取 AP 中點(diǎn) E ，連結(jié) BE CE， ． AC PC? ， AB BP? ， CE AP??， BE AP? ． BEC?? 是二面角 B AP C??的平面角． (011)E ， ， ， (0 1 1)EC ? ? ?， ， ， (2 1 1)EB ? ? ?， ， ， 3362 2c o s ?????? EBEC EBECB E C． ?二面角 B AP C??的大小為 3arccos 3 ． （ Ⅲ ） AC BC PC??， C? 在平面 APB 內(nèi)的射影為正 APB△ 的中心 H ，且 CH 的長(zhǎng)為點(diǎn) C 到平面 APB 的距離． 如（ Ⅱ ）建立 空間直角坐標(biāo)系 C xyz? ． 2BH HE? ， ?點(diǎn) H 的坐標(biāo)為 222333??????， ， ． 233CH??． ?點(diǎn) C 到平面 APB 的距離為 233 ． 4.（ 四川卷 19） ．（本小題滿分 12分） 如，平面 ABEF? 平面 ABCD ，四邊形 ABEF 與 ABCD 都是直角梯形， 090 ,BA D FA B BC? ? ? ?//? 12AD ， BE //? 12AF （Ⅰ）證明： ,