【正文】 ， ?平面 APB? 平面 PCD ． 過 C 作 CH PD? ，垂足為 H ． 平面 APB 平面 PCD PD? ， CH??平面 APB ． CH? 的長(zhǎng)即為點(diǎn) C 到平面 APB 的距離． 由（ Ⅰ ）知 PC AB? ，又 PC AC? ，且 AB AC A? ， PC??平面 ABC ． CD? 平面 ABC ， PC CD??． 在 Rt PCD△ 中， 1 22CD AB??， 3 62PD PB??， 22 2P C P D CD? ? ? ?． 3 32??? PD CDPCCH ． ?點(diǎn) C 到平面 APB 的距離為 233 ． 解法二： （ Ⅰ ） AC BC? ， AP BP? ， AP C BP C?△ ≌ △ ． 又 PC AC? ， PC BC??． AC BC C? ， PC??平面 ABC ． A C B D P H 大家網(wǎng)高考論壇 10 AB? 平面 ABC ， PC AB??． （ Ⅱ ）如圖，以 C 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 C xyz? ． 則 ( 0 0 0) ( 0 2 0) ( 2 0 0)C A B， ， ， ， ， ， ， ，． 設(shè) (00 )Pt， ， ． 22P B A B??， 2t?? ， (002)P ， ， ． 取 AP 中點(diǎn) E ，連結(jié) BE CE， ． AC PC? ， AB BP? ， CE AP??， BE AP? ． BEC?? 是二面角 B AP C??的平面角． (011)E ， ， ， (0 1 1)EC ? ? ?， ， ， (2 1 1)EB ? ? ?， ， ， 3362 2c o s ?????? EBEC EBECB E C． ?二面角 B AP C??的大小為 3arccos 3 ． （ Ⅲ ） AC BC PC??， C? 在平面 APB 內(nèi)的射影為正 APB△ 的中心 H ，且 CH 的長(zhǎng)為點(diǎn) C 到平面 APB 的距離． 如（ Ⅱ ）建立 空間直角坐標(biāo)系 C xyz? ． 2BH HE? ， ?點(diǎn) H 的坐標(biāo)為 222333??????， ， ． 233CH??． ?點(diǎn) C 到平面 APB 的距離為 233 ． 4.（ 四川卷 19） ．（本小題滿分 12分） 如，平面 ABEF? 平面 ABCD ，四邊形 ABEF 與 ABCD 都是直角梯形， 090 ,BA D FA B BC? ? ? ?//? 12AD ， BE //? 12AF （Ⅰ）證明： , , ,C D F E 四點(diǎn)共面； A C B P z x y H E 大家網(wǎng)高考論壇 11 （Ⅱ）設(shè) AB BC BE??，求二面角 A ED B??的大?。? 【解 1】： （ Ⅰ ）延長(zhǎng) DC 交 AB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G ，由 BC //? 12AD得 12G B G C B CG A G D A D??? 延長(zhǎng) FE 交 AB 的延長(zhǎng)線于 39。 6 分 （ Ⅱ ）設(shè)向量 ()x y z? ， ，n 是平面 1DAE 的法向量，則 DE?n ， 1DA?n ． 故 20yz?? ， 2 4 0xz??． 令 1y? ，則 2z?? ， 4x? ， (41 2)??， ，n ． 3 分 A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z A B C D E A1 B1 C1 D1 F H G 大家網(wǎng)高考論壇 8 （ Ⅰ ）因?yàn)?1 0AC DB? ， 1 0AC DE? ， 故 1AC BD? ， 1AC DE? ． 又 DB DE D? ， 所以 1AC? 平面 DBE ． 8 分 22 3E F CF CE? ? ?， 23CE CFCG EF???， 22 33E G C E C G? ? ?． 13EGEF? ， 123 15E F F DGH DE?? ? ?． 又 2211 26A C A A A C? ? ?，11 563A G A C C G? ?． 11ta n 5 5AGA H G HG? ? ?． 所以二面角 1A DE B??的大小為 arctan5 5 ． 9π2 9.（ 遼 寧卷 14） 在體積為 43? 的球的表面上有 A， B， C 三點(diǎn)， AB=1， BC= 2 ， A， C兩點(diǎn)的球 面 距離為 33? ，則球心到平面 ABC的距離為 _________． 32 三．解答題： 1.（ 全國一 18） （本小題滿分 12 分） PP圖 1 2圖大家網(wǎng)高考論壇 6 （注意： 在試題卷上作答無效 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ） 四棱錐 A BCDE? 中，底面 BCDE 為矩形，側(cè)面 ABC? 底面 BCDE ， 2BC? ， 2CD? ，AB AC? ． （ Ⅰ ）證明： AD CE? ； （ Ⅱ ）設(shè) CE 與平面 ABE 所成的角為 45 ，求二面角 C AD E??的大?。? 解：（ 1）取 BC 中點(diǎn) F ，連接 DF 交 CE 于點(diǎn) O ， AB AC? ， ? AF BC? ， 又面 ABC? 面 BCDE ， ? AF? 面 BCDE ， ? AF CE? ． 2ta n ta n 2C E D F D C? ? ? ?， ? 90OED ODE? ? ? ?， 90DOE?? ? ，即 CE DF? ， CE??面 ADF ， CE AD??． （ 2）在面 ACD 內(nèi)過 C 點(diǎn)作 AD 的 垂線 ，垂足為 G ． CG AD? ， CE AD? ， AD??面 CEG ， EG AD??， 則 CGE? 即為所求 二面角 的平面角． 233A C CDCG AD??， 63DG? ， 22 303E G D E D G? ? ?， 6CE? ，則 2 2 2 10c o s 2 1 0C G G E C EC G E C G G E??? ? ? ?， 10π a r c c o s 10C G E ??? ? ? ? ????，即 二 面角 C AD E??的大小 10π arccos10??? ????． 2.（ 全國二 19） （本小題滿分 12 分） 如圖，正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， 1 24AA AB??，點(diǎn) E 在 1CC 上且 ECEC 31 ? ． （ Ⅰ ）證明： 1AC? 平面 BED ； （ Ⅱ ）求二面角 1A DE B??的大小． 解法一： 依題設(shè)知 2AB? ， 1CE? ． （ Ⅰ ）連結(jié) AC 交 BD 于點(diǎn) F ，則 BD AC? ． F O G A C D E B 18 題圖 C D E A B A B C D E A1 B1 C1 D1 大家網(wǎng)高考論壇 7 由 三垂線定理 知， 1BD AC? ． 如果將容器倒置，水面也恰好過點(diǎn) P （圖 2）。已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為 98 ，底面周長(zhǎng)為 3，那么這個(gè)球的體積為 ______43? 二．填空題： 1.（ 天津卷 13）若一個(gè)球的體積為 ?34 ，則它的表面積為 ________________． 12? 2.（ 全國一 16） 等邊三角形 ABC 與正方形 ABDE 有一公共邊 AB ，二面角 C AB D??的余弦值為 33 ， MN， 分別是 AC BC， 的中點(diǎn)，則 EM AN， 所成角的余弦值等于 ． 61 3.（ 全國二 16） 平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè)，如兩組對(duì)邊 分別平行，類似地，寫出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件： E F D I A H G B C E F D A B C 側(cè)視 圖 1 圖 2 B E A． B E B． B E C． B E D． 大家網(wǎng)高考論壇 5 充要條件① ； 充要條件② ． （寫出你認(rèn)為正確的兩個(gè)充要條件）（兩組相對(duì)側(cè)面分別平行；一組相對(duì)側(cè)面平行且全等；對(duì)角線交于一點(diǎn)；底面是平行四邊形．注：上面給出了四個(gè)充要條件．如果考生寫出其他正確答案，同樣給分．） 4.（ 四川卷 15） 已知正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng) 為 6 ，且對(duì)角線與底面所成角的余弦值為 33 ，則該正四棱柱的體積等于 _______2 _________。大家網(wǎng)高考論壇 1 2022 年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編 立體幾何 一．選擇題： 1．（ 上海卷 13） 給定空間中的直線 l及平面 ?，條件“直線 l與平面 ?內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”是“直線 l 與平面 ?垂直”的（ C ）條件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 2.（ 全國一 11） 已知三棱柱 1 1 1ABC A B C? 的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等， 1A 在底面 ABC 內(nèi)的射影為 ABC△ 的中心，則 1AB 與底面 ABC 所成角的正弦值等于（ C ） A． 13 B． 23 C． 33 D． 23 3.（ 全國二 10） 已知正四棱錐 S ABCD? 的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等， E 是 SB 的中點(diǎn)，則 AE SD， 所成的角的余弦值為（ C ） A． 13 B． 23 C． 33 D． 23 4.（ 全國二 12） 已知球的半徑為 2，相互垂直的兩個(gè)平面分別截球面得兩個(gè)圓．若兩圓的公共弦長(zhǎng)為 2，則兩圓的圓心距等于（ C ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 2 5.（ 北京卷 8） 如圖，動(dòng)點(diǎn) P 在正方體 1 1 1 1ABCD A B C D? 的對(duì)角線 1BD 上．過點(diǎn) P 作垂直于平面 11BBDD 的直線，與正方體表面相交于 MN， ．設(shè) BP x? ， MN y? ，則函數(shù)()y f x? 的圖象大致是（ B ） 7.（ 四川卷 ８ ） 設(shè) ,MN是球心 O 的半徑 OP 上的兩點(diǎn)，且 NP MN OM??，分別過A B C D M N P A1 B1 C1 D1 y x A． O y x B． O y x C． O y x D． O 大家網(wǎng)高考論壇 2 ,NMO 作垂線于 OP 的面截球得三個(gè)圓，則這三個(gè)圓的面積之比為： ( D ) （Ａ） 3,5,6 （Ｂ） 3,6,8 （Ｃ） 5,7,9 （Ｄ） 5,8,9 8.（ 四川卷 ９ ） 設(shè)直線 l? 平面 ? ，過平面 ? 外一點(diǎn) A 與 ,l? 都成 030 角的直線有且只有： ( B ) （Ａ）１條 （Ｂ）２條 （Ｃ）３條 （Ｄ）４條 9.（ 天津卷 5）設(shè) ba, 是兩條直線， ??, 是兩個(gè)平面，則 ba? 的一個(gè)充分條件是 C （ A） ???? ?? ,//, ba （ B） ???? //, ?? ba （ C） ???? //, ?? ba （ D） ???? ?? ,//, ba 10.（ 安徽卷 4）．已知 ,mn是兩條不同直線， ,??? 是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是 （ D ） A． ,m n m n??若 則‖ ‖ ‖ B． ,? ? ? ? ? ???若 則 ‖ C． ,mm? ? ? ?若 則‖ ‖ ‖ D． ,m n m n????若 則 ‖ 11.（ 山東卷 6）右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是 D (A)9π （ B） 10π (C)11π (D)12π 12.（ 江西卷 10） 連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦。半徑為 4 的球的兩條弦 AB 、 CD 的長(zhǎng)度分別等于2 43， M 、 N 分別為 AB 、 CD 的 中點(diǎn) ， 每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng)，有 下列四個(gè)命題： ① 弦 AB 、 CD 可能 相交于點(diǎn) M ② 弦 AB 、 CD 可能 相交于點(diǎn) N ③ MN 的最大值為 5 ④ MN 的最小值為 1 其中真命題的個(gè)數(shù)為 C A． 1個(gè) B． 2 個(gè) C． 3個(gè) D． 4個(gè) 13.（ 湖北卷 3） 用與球心距離為 1的平面去截球，所得的截面面積為 ? ，則球的體積為 B