【正文】 分析問題和解決問題的能力．滿分 14 分． （ Ⅰ ）解法一： 2 2 22 2 ( 2 ) 2 2a ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， 2 2 3 2 3 33 ( 2 ) ( 2 ) 2 2 2a ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?， 3 3 4 3 4 44 ( 2 2 ) ( 2 ) 2 3 2a ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?． 由此可猜想出數(shù)列 ??na 的通項公式為 ( 1) 2nnnan ?? ? ?． 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明． （ 1）當(dāng) 1n? 時， 1 2a? ，等式成立． （ 2）假設(shè)當(dāng) nk? 時等式成立，即 ( 1) 2kkkak ?? ? ?， 那么 111 ( 2 ) 2kkkaa? ? ??? ? ? ? ? 11( 1 ) 2 2 2k k k k kk? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? 11[( 1) 1] 2kkk ? ??? ? ? ?． 這就是說，當(dāng) 1nk??時等式也成立．根據(jù)（ 1）和（ 2）可知，等式 ( 1) 2nnnan ?? ? ?對任何 n ??N 都成立． 解法二：由 11 ( 2 ) 2 ( )nnnna a n? ? ???? ? ? ? ? ? N， 0?? ， 可得 111 22 1nnnnaa? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 所以 2 nnna?????????????????為等差數(shù)列，其公差為 1，首項為 0，故 2 1nnna n????? ? ????? ，所以數(shù)列 ??na 的通項公式為 ( 1) 2nnnan ?? ? ?． （ Ⅱ ）解：設(shè) 2 3 4 12 3 ( 2) ( 1 )nnnT n n? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?， ① 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 3 4 5 12 3 ( 2) ( 1 )nnnT n n? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ② 當(dāng) 1?? 時， ① 式減去 ② 式， 得 212 3 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 nn n nnT n n??? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??， 2 1 1 2 1 222( 1 ) ( 1 )( 1 ) 1 ( 1 )n n n nn n n nT ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?． 這時數(shù)列 ??na 的前 n 項和 2 1 2 12( 1 ) 22(1 )nn nn nnS ? ? ???? ?? ? ?? ? ??． 當(dāng) 1?? 時， ( 1)2n nnT ??．這時數(shù)列 ??na 的前 n 項和 1( 1) 222 nn nnS ??? ? ?． （ Ⅲ ）證明：通過分析，推測數(shù)列 1nnaa???????的第一項 21aa 最大，下面證明： 21 214 ,22nna a naa ?? ??? ≥． ③ 由 0?? 知 0na? ，要使 ③ 式成立，只要 212 ( 4) ( 2)nna a n?? ?? ≥， 因為 2 2 2( 4) ( 4) ( 1 ) ( 1 ) 2nnnan? ? ? ?? ? ? ? ? ? 124 ( 1 ) 4 2 4( 1 ) 2n n n nnn? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?( ) 2f x x? ． 所以曲線 ()y f x? 在點 ( , ( ))nnx f x 處的切線方程是： ( ) 39。 （ 1）已知數(shù)列 ??nb 是項 數(shù)為 7 的對稱數(shù)列，且 1 2 3 4, , ,b b b b 成等差數(shù)列， 142, 11bb??，試寫出 ??nb 的每一項 （ 2）已知 ??nc 是項數(shù)為 ? ?2 1 1kk??的對稱數(shù)列，且 1 2 1, ...k k kc c c??構(gòu)成首項為 50，公差為 4? 的等差數(shù)列，數(shù)列 ??nc 的前 21k? 項和為 21kS? ，則當(dāng) k 為何值時， 21kS? 取到最大值？最大值為多少？ （ 3）對于給定的正整數(shù) 1m? ，試寫出所有項數(shù)不超過 2m 的對稱數(shù)列，使得211,2,2 ...2m? 成為數(shù)列中 的連續(xù)項；當(dāng) 1500m? 時，試求其中一個數(shù)列的前 2022 項和2022S 解 ： （ 1）設(shè) ??nb 的公差為 d ，則 1132314 ????? ddbb ，解得 3?d ， ? 數(shù)列 ??nb 為 2 5 8 11 8 5 2， ， ， ， ， ， ． （ 2） 12112112 ???? ???????? kkkkk ccccccS ?? 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 kkkk cccc ????? ?? )(2 121 ?， 50134)13(4 2212 ??????? kS k ， ? 當(dāng) 13?k 時， 12?kS 取得最大值． 12?kS 的最大值為 626． （ 3）所有可能的 “ 對稱數(shù)列 ” 是： ① 2 2 1 2 21 2 2 2 2 2 2 2 1m m m? ? ?， ， ， ， ， ， ， ， ， ，； ② 2 2 1 1 2 21 2 2 2 2 2 2 2 2 1m m m m? ? ? ?， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，； ③ 1 2 2 2 2 12 2 2 2 1 2 2 2 2m m m m? ? ? ?， ， ， ， ， ， ， ， ， ，； ④ 1 2 2 2 2 12 2 2 2 1 1 2 2 2 2m m m m? ? ? ?， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，． 對于 ① ，當(dāng) 2022m≥ 時， 122221 2 0 082 0 0722 0 08 ??????? ?S ． 當(dāng) 1500 2022m? ≤ 時， 202222122022 222221 ???? ???????? mmmmS ?? 202221 2212 ?? ???? mmm 122 202221 ???? ?? mmm ． 對于 ② ，當(dāng) 2022m≥ 時， 12 20222022 ??S ． 當(dāng) 1500 2022m? ≤ 時， 2022S 122 2 0 0 821 ??? ?? mm ． 對于 ③ ，當(dāng) 2022m≥ 時， 2 0 082 0 08 22 ??? mmS ． 當(dāng) 1500 2022m? ≤ 時， 2022S 322 2022 ??? ?mm ． 對于 ④ ，當(dāng) 2022m≥ 時， 2 0 082 0 08 22 ??? mmS ． 當(dāng) 1500 2022m? ≤ 時， 2022S 222 2022 ??? ?mm ． 上海文 20 如果有窮數(shù)列 1 2 3 ma a a a， ， ， ， （ m 為正整數(shù)）滿足條件 maa?1 ， 12 ?? maa ， ? ， 1aam? ，即 1??? imi aa （ 12im? ， ， ， ），我們稱其為 “ 對稱數(shù)列 ” ． 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 例如 ， 數(shù)列 1 2 5 2 1， ， ， ， 與 數(shù)列 8 4 2 2 4 8， ， ， ， ， 都是 “ 對稱數(shù)列 ” ． （ 1） 設(shè) ??nb 是 7 項的 “ 對稱數(shù)列 ” ，其中 1 2 3 4b b b b， ， ， 是等差數(shù)列，且 21?b ， 114?b ．依次寫出 ??nb 的每一項； （ 2） 設(shè) ??nc 是 49 項 的“ 對稱數(shù)列 ” ，其中 25 26 49c c c， ， ， 是首項為 1，公比為 2 的等比數(shù)列，求 ??nc 各 項的和 S ； （ 3） 設(shè) ??nd 是 10 項 的“ 對稱數(shù)列 ” ，其中 51 52 100d d d， ， ， 是首項為 2 ，公差為 3 的等差數(shù)列．求 ??nd 前 n 項的和 nS ( 1 2 100 )n ? ， ， ， ． 解 ： （ 1）設(shè)數(shù)列 ??nb 的公差為 d ，則 1132314 ????? ddbb ，解得 3?d ， ? 數(shù)列 ??nb 為 2 5 8 11 8 5 2， ， ， ， ， ， ． （ 2） 4921 cccS ???? ? 25492625 )(2 cccc ????? ? ? ? 122212 242 ?????? ? ? ? 32122 2625 ???? ?67108861． （ 3） 51 10 02 2 3 ( 50 1 ) 149dd? ? ? ? ? ?， ． 由題意得 1 2 50d d d， ， ， 是首項為 149 ，公差為 3? 的等差數(shù)列． 當(dāng) 50n≤ 時， nn dddS ???? ?21 nnnnn 230123)3(2 )1(149 2 ??????? ． 當(dāng) 51 100n≤ ≤ 時， nn dddS ???? ?21 ? ?ndddS ????? ?525150 ( 5 0 ) ( 5 1 )3 7 7 5 2 ( 5 0 ) 32nnn ??? ? ? ? ? 75 00229 923 2 ??? nn ． 綜上所述， 223 3 0 1 1 5 0223 2 9 9 7 5 0 0 5 1 1 0 022nn n nSn n n? ????? ?? ????， ≤ ≤ ， ≤ ≤ ． 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 陜西理 22 已知各項全不為零的數(shù)列 {ak}的前 k 項和為 Sk,且 Sk＝ ?? kaa kk (21 1N*),其中 a1=1. (Ⅰ )求數(shù)列 {ak}的通項公式 。 (Ⅱ )數(shù)列 }{na 的前 n 項和記為 ,nS 證明 : ,nS ＜ 128 ,3,2,1( ?n ? ). 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列 ??na 的公比為 ()qq?R ， 由 6711a a q??，得 61aq?? ，從而 3341a a q q???， 4251a a q q???， 5161a a q q???． 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 因為 4 5 61a a a?， ， 成等差數(shù)列，所以 4 6 52( 1)a a a? ? ?， 即 3 1 22( 1)q q q? ? ?? ? ?， 1 2 2( 1) 2 ( 1)q q q? ? ?? ? ?． 所以 12q? ．故 11 6 11 164 2nnnna a q q q?? ? ? ??? ? ? ????． （Ⅱ） 116 4 12( 1 ) 11 2 8 1 1 2 811212nnnnaqSq????????? ????? ????? ? ? ? ?????? ?????． 山東理 17 設(shè)數(shù)列 ??na 滿足 211 2 33 3 3 3n n na a a a?? ? ? ? ?…， a?*N ． （ Ⅰ ）求數(shù)列 ??na 的通項； （ Ⅱ ）設(shè)n nnb a?，求數(shù)列 ??nb 的前 n 項和 nS ． (I) 211 2 33 3 .. .3 ,3n n na a a a?? ? ? ? 221 2 3 1 13 3 . . . 3 ( 2 ) ,3n n na a a a n? ? ?? ? ? ? ? 1 113 ( 2 ) .3 3 3n n nnan? ?? ? ? ? 1 ( 2).3n nan?? 驗證 1n