【正文】 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 @《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 1113332 4 4nnn nS ??? ? ? ? ? ? 山東文 18 設(shè) {}na 是公比大于 1 的等比數(shù)列， nS 為數(shù)列 {}na 的前 n 項(xiàng)和．已知 3 7S? ，且1 2 33 3 4a a a??， ， 構(gòu)成等差數(shù)列． （ 1）求數(shù)列 {}na 的等差數(shù)列． （ 2）令 31ln 1 2nnb a n???， ， ， ，求數(shù)列 {}nb 的前 n 項(xiàng)和 T ． 解：（ 1）由已知得 1 2 313 27: ( 3 ) ( 4) 3.2a a aaa a? ? ???? ? ? ? ???， 解得 2 2a? ． 設(shè)數(shù)列 {}na 的公比為 q ，由 2 2a? ，可得132 2a a qq??，． 又 3 7S? ，可知 2 2 2 7qq ? ? ?， 即 22 5 2 0qq? ? ? ， 解得1212 2qq??，． 由題意得 12qq???， ． 1 1a??． 故數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)為 12nna ?? ． （ 2）由于 31ln 1 2nnb a n???， ， ， ， 由（ 1）得 3312 nna ? ? 3ln 2 3 ln 2nnbn? ? ? 又 1 3 ln 2n n nbb? ?? 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 @《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 {}nb? 是等差數(shù)列． 12nnT b b b? ? ? ? ? 1()2(3 ln 2 3 ln 2)23 ( 1) ln 2.2nn bnnn?????? 故 3 ( 1) ln 22n nnT ??． 全國 2 理 21 設(shè)數(shù)列 {}na 的首項(xiàng) 11 3( 0 1 ) 2 3 42 nn aa a n??? ? ?， ， ， ， ， ， …． （ 1）求 {}na 的通項(xiàng)公式； （ 2）設(shè) 32n n nb a a??，證明 1nnbb?? ，其中 n 為正整數(shù)． 21．解：（ 1）由 13 2342 nn aan????， ， ， ， … ， 整理得 111 (1 )2nnaa?? ? ? ?． 又 110a??，所以 {1 }na? 是首項(xiàng)為 11a? ，公比為 12? 的等比數(shù)列，得 11 11 (1 ) 2nnaa???? ? ? ????? （ 2）方法一： 由（ 1）可知 30 2na??，故 0nb? ． 那么， 221nnbb? ? 2211222( 3 2 ) ( 3 2 )333 2 ( 3 2 )229 ( 1 ) .4n n n nnnnnnna a a aaa aaa a??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 @《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 又由（ 1）知 0na? 且 1na? ，故 221 0nnbb? ??， 因此 1nnb b n?? ， 為正整數(shù)． 方法二： 由（ 1）可知 3012nnaa? ? ?， 因?yàn)? 3 2 nn aa ? ??， 所以 1 1 1 ( 3 )32 2nnn n n aab a a? ? ? ?? ? ?． 由 1na? 可得 33(3 2 )2 nnn aaa ?????????， 即 22 3( 3 2 )2 nn n naa a a????? ???? 兩邊開平方得 332 2 nn n naa a a???． 即 1nnb b n?? ， 為正整數(shù)． 全國 2 文 17 設(shè)等比數(shù)列 {}na 的公比 1q? ，前 n 項(xiàng)和為 nS ．已知 3 4 225a S S??， ，求 {}na 的通項(xiàng)公式． 解：由題設(shè)知 11 (1 )0 1nn aqaS q??? ?， 則21 21412 (1 )5(1 ) 11aq aqaq qq? ? ????? ? ????，． ② 由 ② 得 421 5(1 )qq? ? ? ， 22( 4) ( 1) 0qq? ? ?， ( 2)( 2)( 1 ) ( 1 ) 0q q q q? ? ? ? ?， 因?yàn)?1q? ，解得 1q?? 或 2q?? ． 當(dāng) 1q?? 時(shí)，代入 ① 得 1 2a? ，通項(xiàng)公式 12 ( 1)nna ?? ? ? ； 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 @《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 當(dāng) 2q?? 時(shí)，代入 ① 得1 12a?，通項(xiàng)公式 11 ( 2)2 nna ?? ? ?． 全國 1 理 22 已知數(shù)列 ??na 中 1 2a? ， 1 ( 2 1)( 2)nnaa? ? ? ?， 123n? ， ， ， … ． （ Ⅰ ）求 ??na 的通項(xiàng)公式； （ Ⅱ ）若數(shù)列 ??nb 中 1 2b? ，1 3423nn nbb b? ?? ?， 123n? ， ， ， … ， 證明： 432 nnba?? ≤ ， 123n? ， ， ， … ． 解：（ Ⅰ ）由題設(shè)： 1 ( 2 1)( 2)nnaa? ? ? ? ( 2 1 ) ( 2 ) ( 2 1 ) ( 2 2 )na? ? ? ? ? ? ( 2 1) ( 2 ) 2na? ? ? ?， 1 2 ( 2 1 ) ( 2 )nnaa? ? ? ? ?． 所以，數(shù)列 ? ?2na ?是首項(xiàng)為 22? ，公比為 21? 的等比數(shù)列， 2 2 ( 2 1) nna ? ? ?， 即 na 的通項(xiàng)公式為 2 ( 2 1) 1nna ??? ? ???， 123n? ， ， ， … ． （ Ⅱ ）用數(shù)學(xué)歸納法證明． （ ⅰ ）當(dāng) 1n? 時(shí)，因 22? ， 112ba??，所以 112 ba? ≤ ，結(jié)論成立． （ ⅱ ）假設(shè)當(dāng) nk? 時(shí)，結(jié)論成立，即 432 kkba?? ≤ ， 也即 430 2 3kkba ?? ? ?≤ ． 當(dāng) 1nk??時(shí)， 1 342223kk kbb b? ?? ? ?? 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 @《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 ( 3 2 2 ) ( 4 3 2 )23kkbb? ? ?? ? ( 3 2 2 ) ( 2 ) 023kkbb????? ， 又 11 3 2 223 2 2 3kb ? ? ?? ?， 所以 1 ( 3 2 2 ) ( 2 )2 23kk k bb b? ???? ? 2(3 2 2 ) ( 2 )kb? ? ? 4 43( 2 1) ( 2 )ka ???≤ 41 2ka ???． 也就是說，當(dāng) 1nk??時(shí)，結(jié)論成立． 根據(jù)（?。┖停áⅲ┲?432 nnba?? ≤ ， 123n? ， ， ， … ． 全國 1 文 21 設(shè) {}na 是等差數(shù)列， {}nb 是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且 111ab??， 3521ab?? ，5313ab?? （Ⅰ）求 {}na ， {}nb 的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）求數(shù)列 nnab??????的前 n 項(xiàng)和 nS ． 解：（Ⅰ）設(shè) ??na 的公差為 d ， ??nb 的公比為 q ，則依題意有 0q? 且 421 2 211 4 13dqdq? ? ? ???? ? ???， 解得 2d? ， 2q? ． 所以 1 ( 1) 2 1na n d n? ? ? ? ?， 112nnnbq????． 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 @《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 （Ⅱ）1212n nna nb ???． 1 2 2 13 5 2 3 2 11 2 2 2 2n nnS ??? ? ? ? ? ?，① 325 2 3 2 12 2 3 2 2 2n nnS ??? ? ? ? ? ?，② ②－①得2 2 12 2 2 2 122 2 2 2 2n nn nS ?? ?? ? ? ? ? ? ?， 2 2 11 1 1 2 12 2 1 2 2 2 2nn n?? ???? ? ? ? ? ? ? ????? 1111212221 212nnn??? ?? ? ? ?? 1236 2nn ????． 遼寧理 21 已知數(shù)列 {}na ， {}nb 與函數(shù) ()fx， ()gx ， x?R 滿足條件： nnab? ， 1( ) ( )( )nnf b g b n???N*. （ I）若 ( ) 1 0 2f x tx t t? ? ?≥ ， ， ( ) 2g x x? ， ( ) ( )f b g b? ， limnn a??存在，求 x 的取值范圍； （ II）若函數(shù) ()y f x? 為 R 上的增函數(shù)， 1( ) ( )g x f x?? ， 1b? ， (1) 1f ? ，證明對(duì)任意n?N* ， limnn a??（用 t 表示）． 江西理 22 設(shè)正整數(shù)數(shù)列 ??na 滿足： 2 4a? ，且對(duì)于任何 *n?N ，有 11111122111nnnnaaaann???? ? ? ?? ?． 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 @《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 （ 1）求 1a ， 3a ； （ 3）求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng) na ． 解：（ 1） 據(jù)條件得111 1 1 12 ( 1 ) 2n n n nnna a a a????? ? ? ? ? ????? ① 當(dāng) 1n? 時(shí)，由2 1 2 11 1 1 12 2 2a a a a??? ? ? ? ?????，即有111 2 2 12244aa? ? ? ? ?， 解得12837a??．因?yàn)?1a 為正整數(shù)，故 1 1a? ． 當(dāng) 2n? 時(shí)，由331 1 1 12 6 244aa??? ? ? ? ?????， 解得 38 10a??，所以 3 9a? ． （ 2）方法一：由 1 1a? ， 2 4a? ， 3 9a? ，猜想： 2nan? ． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． 1 當(dāng) 1n? ， 2 時(shí)，由（ 1）知 2nan? 均成立； 2 假設(shè) ( 2)n k k? ≥ 成立，則 2kak? ，則 1nk??時(shí) 由 ① 得22111 1 1 12 ( 1 ) 2kkkka k a k????? ? ? ? ? ????? 2212 ( 1 ) ( 1 )11kk k k k kak k k?? ? ?? ? ?? ? ? 22212( 1 ) 1( 1 ) ( 1 )11kkk a kkk??? ? ? ? ? ? ??? 因?yàn)?2k≥ 時(shí)， 22( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) 0k k k k k? ? ? ? ? ? ≥，所以 ? ?22( 1) 011kk ? ?? ，． 11k?≥ ，所以 ? ?1 011k ?? ， ． 又 1ka? ? *N ，所以 221( 1) ( 1)kk a k???≤ ≤． 故 21 ( 1)kak? ??，即 1nk??時(shí)， 2nan? 成立． 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 @《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 由 1 ， 2 知，對(duì)任意 n?*N ， 2nan? ． （ 2）方法二： 由 1 1a? ， 2 4a? ， 3 9a? ，猜想： 2nan? ． 下面用數(shù)學(xué)歸納法