20xx年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編——立體幾何二-展示頁(yè)
2024-09-03 03:49本頁(yè)面
【正文】 CE 于點(diǎn) O ， AB AC? ， ? AF BC? ， 又面 ABC? 面 BCDE ， ? AF? 面 BCDE ， ? AF CE? ． 2t a n t a n 2C E D F D C? ? ? ?， ? 90O E D O D E? ? ? ?， 90DOE?? ? ，即 CE DF? ， CE??面 ADF ， CE AD??． （ 2）在面 ACD 內(nèi)過(guò) C 點(diǎn)作 AD 的 垂線 ，垂足為 G ． CG AD? ， CE AD? ， AD??面 CEG ， EG AD??， 則 CGE? 即為所求 二面角 的平面角． 233A C C DCG AD??， 63DG? ， 22 303E G D E D G? ? ?， 6CE? ，則 2 2 2 10c o s 2 1 0C G G E C EC G E C G G E??? ? ? ?， 10π a r c c os 10C GE ??? ? ? ? ????，即 二面角 C AD E??的大小 10π arccos10??? ????． 2.（ 全國(guó)二 19） （本小題滿分 12 分） 如圖，正四棱柱 1 1 1 1ABC D A B C D? 中， 1 24AA AB??，點(diǎn) E 在 1CC 上F O G A C D E B 18 題圖 C D E A B A B C D E A1 B1 C1 D1 2 且 ECEC 31 ? ． （ Ⅰ ）證明： 1AC? 平面 BED ； （ Ⅱ ）求二面角 1A DE B??的大?。? 解法一： 依題設(shè)知 2AB? ， 1CE? ． （ Ⅰ ）連結(jié) AC 交 BD 于點(diǎn) F ，則 BD AC? ． 由 三垂線定理 知， 1BD AC? ． 6 分 （ Ⅱ ）作 GH DE? ，垂足為 H ，連結(jié) 1AH ．由三垂線定 理知 1AH DE? ， 故 1AHG? 是二面角 1A DE B??的平面角． 6 分 （ Ⅱ ）設(shè)向量 ()x y z? ， ，n 是平面 1DAE 的法向量，則 DE?n ， 1DA?n ． 故 20yz?? ， 2 4 0xz??． 令 1y? ，則 2z?? ， 4x? ， (41 2)??， ，n ． 12 分 3．（ 北京卷 16） 如圖，在三棱錐 P ABC? 中， 2AC BC??， 90ACB??， AP BP AB??，PC AC? ． （ Ⅰ ）求證： PC AB? ； （ Ⅱ ）求二面角 B AP C??的大?。? （ Ⅲ ）求點(diǎn) C 到平面 APB 的距離． 解法一： （ Ⅰ ）取 AB 中點(diǎn) D ，連結(jié) PD CD， ． AP BP? ， PD AB??． A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z A C B P 4 AC BC? ， CD AB??． PD CD D? ， AB??平面 PCD ． PC? 平面 PCD ， PC AB??． （ Ⅱ ） AC BC? ， AP BP? ， APC BPC?△ ≌ △ ． 又 PC AC? ， PC BC??． 又 90ACB??，即 AC BC? ，且 AC PC C? ， BC??平面 PAC ． 取 AP 中點(diǎn) E ．連結(jié) BE CE， ． AB BP? ， BE AP??． EC 是 BE 在平面 PAC 內(nèi)的射影， CE AP??． BEC?? 是二面角 B AP C??的平面角． 在 BCE△ 中， 90BCE??， 2BC? ， 3 62BE AB??， 6s in 3BCBEC BE? ? ? ?． ?二面角 B AP C??的大小為 6arcsin 3 ． （ Ⅲ ）由（ Ⅰ ）知 AB? 平面 PCD ， ?平面 APB? 平面 PCD ． 過(guò) C 作 CH PD? ，垂 足為 H ． 平面 APB 平面 PCD PD? ， CH??平面 APB ． CH? 的長(zhǎng)即為點(diǎn) C 到平面 APB 的距離． 由（ Ⅰ ）知 PC AB? ，又 PC AC? ，且 AB AC A? ， PC??平面 ABC ． CD? 平面 ABC ， PC CD??． 在 Rt PCD△ 中， 1 22CD AB??， 3 62PD PB??， 22 2P C P D C D? ? ? ?． A C B D P A C B E P A C B D P H 5 3 32??? PD CDPCCH ． ?點(diǎn) C 到平面 APB 的距離為 233 ． 解 法二： （ Ⅰ ） AC BC? ， AP BP? ， APC BPC?△ ≌ △ ． 又 PC AC? ， PC BC??． AC BC C? ， PC??平面 ABC ． AB? 平面 ABC ， PC AB??． （ Ⅱ ）如圖，以 C 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 C xyz? ． 則 (0 0 0 ) (0 2 0 ) ( 2 0 0 )C A B， ， ， ， ， ， ， ，． 設(shè) (00 )Pt， ， ． 22P B A B??， 2t??， (002)P ， ， ． 取 AP 中點(diǎn) E ，連結(jié) BE CE， ． AC PC? ， AB BP? ， CE AP??， BE AP? ． BEC?? 是二面角 B AP C??的平面角． (011)E ， ， ， (0 1 1)EC ? ? ?， ， ， (2 1 1)EB ? ? ?， ， ， 3362 2c o s ?????? EBEC EBECBEC． ?二面角 B AP C??的大小為 3arccos 3 ． （ Ⅲ ） AC BC PC??， C? 在平面 APB 內(nèi)的射影為正 A
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