20xx年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編——立體幾何二-資料下載頁
2025-08-13 03:49本頁面
【導(dǎo)讀】中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC?（Ⅱ）設(shè)CE與平面ABE所成的角為45，求二面角CADE??如圖，正四棱柱1111ABCDABCD?由三垂線定理知，1BDAC?在平面1ACA內(nèi)，連結(jié)EF交1AC于點G，1AC與平面BED內(nèi)兩條相交直線BDEF，都垂直，，垂足為H，連結(jié)1AH．由三垂線定理知1AHDE?的大小為arctan55．················································12分。以D為坐標原點，射線DA為x軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標系Dxyz?
【正文】 ，∴ BD⊥面 EFC．∵ BD? 面 BCD，∴面 EFC⊥面 BCD ． 江西卷 ．解 ：（ 1）證明：依題設(shè)， EF 是 ABC? 的中位線，所以 EF ∥ BC ， 13 則 EF ∥ 平面 OBC ，所以 EF ∥ 11BC 。 又 H 是 EF 的中點，所以 AH ⊥ EF ，則AH ⊥ 11BC 。 因為 OA ⊥ OB ， OA ⊥ OC ， 所以 OA ⊥ 面 OBC ，則 OA ⊥ 11BC ， 因此 11BC ⊥ 面 OAH 。 （ 2）作 ON ⊥ 11AB 于 N ，連 1CN。因為 1OC ⊥ 平面 11OAB ， 根據(jù)三垂線定理知， 1CN⊥ 11AB ， 1ONC? 就是二面角 1 1 1O AB C??的平面角。 作 EM ⊥ 1OB 于 M ，則 EM ∥ OA ，則 M 是 OB 的中點，則 1EM OM??。 設(shè) 1OB x? ，由 111OB OAMB EM? 得， 312xx ?? ，解得 3x? ， 在 11Rt OAB? 中， 221 1 1 1 3 52A B O A O B? ? ?，則， 111135O A O BON AB???。 所以 11ta n 5OCO NC ON? ? ?，故二面角 1 1 1O AB C??為 arctan 5 。 解法二： （ 1）以直線 OA OC OB、 、 分別為 xy、 、 z 軸，建立空間直角坐標系， O xyz? 則 11( 2 , 0 , 0 ) , (0 , 0 , 2 ) , (0 , 2 , 0 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) , ( 1 , , )22A B C E F H 所以 1 1 1 1( 1 , , ) , ( 1 , , ) , ( 0 , 2 , 2 )2 2 2 2A H O H B C? ? ? ? ? 所以 0 , 0A H B C O H B C? ? ? ? 所以 BC? 平面 OAH 由 EF ∥ BC 得 11BC ∥ BC ，故： 11BC? 平面 OAH (2)由已知1 3( ,0,0),2A設(shè) 1(0,0, )Bz 則111( , 0 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 )2A E E B z? ? ? ? ? B 1C 1A 1HFECBAOx yzNMB 1C 1A 1HFECBAO 14 由 1AE與 1EB 共線得 :存在 R?? 有 11AE EB?? 得 113 (0 , 0 , 3 )21 ( 1 )zBz??? ? ? ?? ? ? ??? ??? 同理 : 1(0,3,0)C 1 1 1 133( , 0 , 3 ) , ( , 3 , 0 )22A B A C? ? ? ? ? 設(shè) 1 1 1 1( , , )n x y z? 是平面 1 1 1ABC 的一個法向量 , 則3 3023 302xzxy?? ? ?????? ? ???令 2x? 得 1yx?? 1 (2,1,1).n?? 又 2 (0,1,0)n ? 是平面 11OAB 的一個法量 12 16c o s , 64 1 1nn? ? ? ? ??? 所以二面角的大小為 6arccos 6 （ 3）由（ 2）知，1 3( ,0,0)2A， (0,0,2)B ，平面 1 1 1ABC 的一個法向量為 1 (2,1,1)n ? 。 則1 3( , 0, 2)2AB ??。 則點 B 到平面 1 1 1ABC 的距離為 11132 666A B ndn? ??? ? ? 湖北卷 18.（本小題滿分 12 分） 如圖，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C? 中，平面 ABC? 側(cè)面 11AABB . （Ⅰ）求證： AB BC? ； （Ⅱ）若直線 AC 與平面 1ABC 所成的角為 ? ,二面角 15 1A BC A??的大小為 ? ，試判斷 ? 與 ? 的大小關(guān)系 ，并予以證明 . 、直線與平面所成角、二面角和線面關(guān)系等有關(guān)知識，同時考查空間想象能力和推理能力 .（滿分 12 分） （Ⅰ）證明：如右圖，過點 A 在平面 A1ABB1 內(nèi)作 AD⊥ A1B于 D，則 由平面 A1BC⊥側(cè)面 A1ABB1,且平面 A1BC 側(cè)面 A1ABB1=A1B,得 AD⊥平面 A1BC,又 BC? 平面 A1BC， 所以 AD⊥ BC. 因為三棱柱 ABC— A1B1C1是直三棱柱， 則 AA1⊥底面 ABC， 所以 AA1⊥ BC. 又 AA1 AD=A,從而 BC⊥側(cè)面 A1ABB1， 又 AB? 側(cè)面 A1ABB1，故 AB⊥ BC. （Ⅱ）解法 1：連接 CD，則由（Ⅰ）知 ACD? 是直線 AC 與平面 A1BC 所成的角， 1ABA? 是二面角 A1— BC— A 的平面角，即 1,A CD A B A? ? ? ? ? ? 于是在 Rt△ ADC 中， sin ,ADAC?? 在 Rt△ ADB 中， sin ,ADAB?? 由 AB＜ AC，得 sin sin??＜ ， 又 0 2???＜ ， ＜ ， 所以 ??＜ ， 解法 2：由（Ⅰ）知，以點 B 為坐標原點，以 BC、 BA、 BB1 所在的直線分 別為 x 軸、 y 軸、 z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè) AA1=a,AC=b, AB=c,則 B(0,0,0), A(0,c,0), 22 1( , 0 , 0 ) , (0 , , ) ,C b c A c a? 于是 22 1( , 0 , 0 ) , (0 , , ) ,B C b c B A c a? ? ? 22 1( , , 0 ) , (0 , 0 , ) .A C b c c A A a? ? ? ? 設(shè)平面 A1BC 的一個法向量為 n=(x,y,z)，則 由 1 0,0,n BAn BC? ??????得220,0,cy azb c x????????? 可取 n=(0,a,c)，于是 0n AC ac AC? ＞ ， 與 n 的夾角 ? 為銳角，則 ? 與 ? 互為余角 . 16 22s i n c o s ,n A C a cn A C b a c? ? ? ? ? ? 1221c o s ,B A B A cB A B A ac? ? ? ?所以 sin ,aac?? ? 于是由 c＜ b，得2 2 2 2 ,a c ab a c a c??＜ 即 sin sin ,??＜ 又 0,2???＜ ， ＜ 所以 ,??＜
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