【導(dǎo)讀】的兩個焦點為F1、F2,若P. 上的一個動點，則點P到點（0，2）。A．，B．，C．，D．，）的左、右焦點分別是12FF，，byax的兩個焦點到一條準(zhǔn)線的距離之比為3：2,率e=過頂點A(0,b)作AM?l,垂足為M，則直線FM的斜率等于.1. 的焦點F作傾角為30的直線，與拋物。圓經(jīng)過點C，則該橢圓的離心率e?，則FA與FB的比值等于．322?于A、B兩點若1222??（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）當(dāng)過點(4,1)P的動直線l與橢圓C相交與兩不同點,AB時，在線段AB上取點Q，，證明：點Q總在某定直線上。，所求橢圓方程為22142xy??設(shè)點Q、A、B的坐標(biāo)分別為1122(,),(,),(,)xyxyxy。又A，P，B，Q四點共線，從而,APPBAQQB?????

　　

【正文】 22 2 211 4 ( 1 ) 1 1 622kk k k??? ? ? ? ? ? ? ?????． 2 221 6 1 1 1 684k kk?? ? ? ?，解得 2k?? ． 即存在 2k?? ，使 0NA NB? ． 解法二：（Ⅰ）如圖，設(shè) 221 1 2 2( 2 ) ( 2 )A x x B x x， ， ，把 2y kx??代入 22yx? 得 22 2 0x kx? ? ? ．由韋達(dá)定理得1 2 1 2 12kx x x x? ? ? ?，． ? 1224NM xx kxx ?? ? ?， ?N 點的坐標(biāo)為 248kk??????，． 22yx? ， 4yx??? ， 23 ?拋物線 在點 N 處的切線 l 的斜率為 4 4k k??， l AB?∥ ． （Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù) k ，使 0NA NB? ． 由（Ⅰ）知 22221 1 2 2224 8 4 8k k k kN A x x N B x x? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ， ，則 22221 2 1 2224 4 8 8k k k kN A N B x x x x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 22221 2 1 244 4 1 6 1 6k k k kx x x x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 2144 4 4 4k k k kx x x x??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? 221 2 1 2 1 2 1 21 4 ( )4 1 6 4k k kx x x x x x k x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 221 1 4 ( 1 )4 2 1 6 2 4k k k k kk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? 2 23131 6 4k k????? ? ? ? ????????? 0? ， 21016k? ? ? ， 23304 k?? ? ? ，解得 2k?? ． 即存在 2k?? ，使 0NA NB? ． 13.（四川卷 21） ．（本小題滿分 12 分） 設(shè)橢圓 ? ?22 1, 0xy abab? ? ? ?的左右焦點分別為 12,FF，離心率 22e? ，右準(zhǔn)線為 l ，,MN是 l 上的兩個動點， 120F M F N?? （ Ⅰ ）若12 25F M F N??，求 ,ab的值； （ Ⅱ ）證明：當(dāng) MN 取最小值時， 12FM F N? 與 12FF 共線。 【解】： 由 2 2 2a b c??與 22ae c?? ，得 222ab? 24 122200F a F a? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ， ， l 的方程為 2xa? 設(shè) ? ? ? ?1222M a y N a y， ， ， 則1 1 2 23 2 222F M a y F N a y? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ， ， 由 120F M F N??得 212 3 02y y a?? ＜ ① （ Ⅰ ）由12 25F M F N??，得 22132 252 ay???????? ② 2222 252 ay???????? ③ 由 ①、②、③三式，消去 12,yy，并求得 2 4a? 故 22, 22ab? ? ? （ Ⅱ ） ? ?2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 4 6M N y y y y y y y y y y y y a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng)且僅當(dāng)12 62y y a? ? ?或21 62y y a? ? ?時， MN 取最小值 62a 此時， ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 1 23 2 2 2 2 , 2 2 , 0 222F M F N a y a y a y y a F F? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ， 故 12FM F N? 與 12FF 共線。 【 點評 】： 此題重點考察橢圓中的基本量的關(guān)系，進(jìn)而求橢圓待定常數(shù)，考察向量的綜合應(yīng)用； 【 突破 】： 熟悉橢圓各基本量間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，熟練地進(jìn)行向量的坐標(biāo)運算，設(shè)而不求消元的思想在圓錐曲線問題中的靈活應(yīng)用。 14.（天津卷 22） （本小題滿分 14 分） 已知中心在原點的雙曲線 C的一個焦點是 ? ?0,31 ?F ，一條漸近線的方程是 025 ?? yx ． （Ⅰ）求雙曲線 C 的方程； （Ⅱ）若以 ? ?0?kk 為斜率的直線 l 與雙曲線 C相交于兩個不同的點 M， N，且線段 MN的 25 垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為281，求 k 的取值范圍． （ 22）本小題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、兩條直線垂直、線段的定比分點等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理運算能力．滿分 14 分． （ Ⅰ）解：設(shè) 雙曲線 C 的方程為 221xyab??（ 0, 0ab??） ．由題設(shè)得 22952abba? ???? ???，解得 2245ab? ??????，所以雙曲線方程為 22145xy??． 的方程為 y kx m??（ 0k? ）．點 11( , )M x y ， 22( , )N x y 的坐（Ⅱ） 解：設(shè)直線 l22145y kx mxy????? ???? 標(biāo) 滿 足 方 程組將 ①式代入②式，得 22()145x kx m???，整理得 2 2 2( 5 4 ) 8 4 20 0k x k m x m? ? ? ? ?． 此方程有兩個一等實根，于是 25 04k? ? ，且 2 2 2( 8 ) 4( 5 4 )(4 20) 0km k m? ? ? ? ? ? ?．整理得 225 4 0mk? ? ?． ③ 由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段 MN 的中點坐標(biāo) 00( , )xy 滿足 120 242 5 4xx kmx k????， 00 2554my k x m k? ? ? ?． 從而線段 MN 的垂直平分線方程為225 1 4()5 4 5 4m k myxk k k? ? ? ???． 此直線與 x 軸， y 軸的交點坐標(biāo)分別為29( ,0)54kmk?，29(0, )54mk?．由題設(shè)可得221 9 9 8 1| | | |2 5 4 5 4 2k m mkk????．整理得 222 (5 4 )||km k??， 0k? ． 將上式代入 ③ 式得 22 2(5 4 ) 5 4 0||k kk? ? ? ?，整理得 22( 4 5 ) ( 4 | | 5 ) 0k k k? ? ? ?， 0k? ． 解得 50 | | 2k?? 或 5||4k? ． 所以 k 的取值范圍是 5 5 5 5, ) ( , 0 ) ( 0 , ) ( , )4 2 2 4( ? ? ?? ??． 26 15.（浙江卷 20） （本題 15 分）已知曲線 C 是到點 P（83,21?）和到直線85??y距離相等的點的軌跡。 ? 是過點 Q（ 1， 0）的直線， M 是 C 上（不在 ? 上）的動點； A、 B 在? 上， xMBMA ?? ,? 軸（如圖）。 （Ⅰ）求曲線 C 的方程； （Ⅱ）求出直線 ? 的方程，使得QAQB2 為常數(shù)。 本題主要考查求曲線的軌跡方程、兩條直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方 法和綜合解題能力．滿分 15 分． （ Ⅰ ）解：設(shè) ()N x y， 為 C 上的點，則 2213||28N P x y? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， N 到直線 58y?? 的距離為 58y? ． 由題設(shè)得 221 3 52 8 8x y y? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?． 化簡，得曲線 C 的方程為 21 ()2y x x??． （ Ⅱ ）解法一： 設(shè) 22xxMx???????，直線 :l y kx k??，則 ()B x kx k?， ，從而 2| | 1 | 1 |Q B k x? ? ?． 在 Rt QMA△ 中，因為 222| | ( 1) 14xQ M x ??? ? ?????， 2222( 1 ) 2|| 1xxkMA k????????? ?． 所以 22 2 2 22( 1 )| | | | | | ( 2 )4 ( 1 )xQ A Q M M A k xk?? ? ? ?? . 2| 1 | | 2 ||| 21x k xQA k??? ?， A B O Q y x l M 27 2 2 2| | 2( 1 ) 1 12| | | |Q B k k xQ A k xk? ? ???． 當(dāng) 2k? 時， 2||55||QBQA ?， 從而所求直線 l 方程為 2 2 0xy???． 解法二：設(shè) 22xxMx???????， 直線 :l y kx k??，則 ()B x kx k?， ，從而 2| | 1 | 1 |Q B k x? ? ?． 過 Q ( 10)?， 垂直于 l 的直線1 1: ( 1)l y xk? ? ?． 因為 | | | |QA MH? ，所以2| 1 | | 2 ||| 21x k xQA k??? ?， 2 2 2| | 2( 1 ) 1 12| | | |Q B k k xQ A k xk? ? ???． 當(dāng) 2k? 時， 2||55||QBQA ?， 從而所求直線 l 方程為 2 2 0xy???． 16.（重慶卷 21）（本小題滿分 12分，（Ⅰ）小問 5分，（Ⅱ）小問 7分 .） 如圖（ 21）圖， M（ 2， 0）和 N（ 2， 0）是平面上的兩點，動點 P滿足： PN?? （Ⅰ）求點 P的軌跡方程； （Ⅱ）若 2 1 c o sP M P N M P N??＝ ,求點 P的坐標(biāo) . 解： (Ⅰ )由橢圓的定義，點 P的軌跡是以 M、 N為焦點，長軸長 2a=6的橢圓 . 因此半焦距 c=2，長半軸 a=3，從而短半軸 b= 22 5ac??， 所以橢圓的方程為 ?? (Ⅱ )由 2 ,1 c o sP M P N M P N? ?得 A B O Q y x l M H l1 28 c os M P N M P N P M P N?? ① 因為 cos 1,MPN P? 不為橢圓長軸頂點，故 P、 M、 N 構(gòu)成三角形 .在△ PMN中， 4,MN ? 由 余 弦 定 理 有 2 2 2 2 c o s .M N P M P N P M P N M P N? ? ? ② 將①代入②，得 2224 2 ( 2 ) .P M P N P M P N? ? ? ? 故點 P在以 M、 N為焦點，實軸長為 23的雙曲線 2 2 13x y??上 . 由 (Ⅰ )知，點 P的坐標(biāo)又滿足 22195xy??，所以 由方程組 22225 9 45,3 3.xyxy? ???????? 解得33,25 .2xy? ?????? ???? 即 P點坐標(biāo)為 3 3 5 3 3 5 3 3 5 3 3 5( , )2 2 2 2 2 2 2 2?、 （ ， ） 、 （ ， ） 或 （ ， ） .