【導(dǎo)讀】的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,若P. 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)（0，2）。A．，B．，C．，D．，）的左、右焦點(diǎn)分別是12FF，，byax的兩個(gè)焦點(diǎn)到一條準(zhǔn)線(xiàn)的距離之比為3：2,率e=過(guò)頂點(diǎn)A(0,b)作AM?l,垂足為M，則直線(xiàn)FM的斜率等于.1. 的焦點(diǎn)F作傾角為30的直線(xiàn)，與拋物。圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則該橢圓的離心率e?，則FA與FB的比值等于．322?于A、B兩點(diǎn)若1222??（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）當(dāng)過(guò)點(diǎn)(4,1)P的動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓C相交與兩不同點(diǎn),AB時(shí)，在線(xiàn)段AB上取點(diǎn)Q，，證明：點(diǎn)Q總在某定直線(xiàn)上。，所求橢圓方程為22142xy??設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為1122(,),(,),(,)xyxyxy。又A，P，B，Q四點(diǎn)共線(xiàn)，從而,APPBAQQB?????

　　

【正文】 22 2 211 4 ( 1 ) 1 1 622kk k k??? ? ? ? ? ? ? ?????． 2 221 6 1 1 1 684k kk?? ? ? ?，解得 2k?? ． 即存在 2k?? ，使 0NA NB? ． 解法二：（Ⅰ）如圖，設(shè) 221 1 2 2( 2 ) ( 2 )A x x B x x， ， ，把 2y kx??代入 22yx? 得 22 2 0x kx? ? ? ．由韋達(dá)定理得1 2 1 2 12kx x x x? ? ? ?，． ? 1224NM xx kxx ?? ? ?， ?N 點(diǎn)的坐標(biāo)為 248kk??????，． 22yx? ， 4yx??? ， 23 ?拋物線(xiàn) 在點(diǎn) N 處的切線(xiàn) l 的斜率為 4 4k k??， l AB?∥ ． （Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù) k ，使 0NA NB? ． 由（Ⅰ）知 22221 1 2 2224 8 4 8k k k kN A x x N B x x? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ， ，則 22221 2 1 2224 4 8 8k k k kN A N B x x x x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 22221 2 1 244 4 1 6 1 6k k k kx x x x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 2144 4 4 4k k k kx x x x??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? 221 2 1 2 1 2 1 21 4 ( )4 1 6 4k k kx x x x x x k x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 221 1 4 ( 1 )4 2 1 6 2 4k k k k kk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? 2 23131 6 4k k????? ? ? ? ????????? 0? ， 21016k? ? ? ， 23304 k?? ? ? ，解得 2k?? ． 即存在 2k?? ，使 0NA NB? ． 13.（四川卷 21） ．（本小題滿(mǎn)分 12 分） 設(shè)橢圓 ? ?22 1, 0xy abab? ? ? ?的左右焦點(diǎn)分別為 12,FF，離心率 22e? ，右準(zhǔn)線(xiàn)為 l ，,MN是 l 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 120F M F N?? （ Ⅰ ）若12 25F M F N??，求 ,ab的值； （ Ⅱ ）證明：當(dāng) MN 取最小值時(shí)， 12FM F N? 與 12FF 共線(xiàn)。 【解】： 由 2 2 2a b c??與 22ae c?? ，得 222ab? 24 122200F a F a? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ， ， l 的方程為 2xa? 設(shè) ? ? ? ?1222M a y N a y， ， ， 則1 1 2 23 2 222F M a y F N a y? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ， ， 由 120F M F N??得 212 3 02y y a?? ＜ ① （ Ⅰ ）由12 25F M F N??，得 22132 252 ay???????? ② 2222 252 ay???????? ③ 由 ①、②、③三式，消去 12,yy，并求得 2 4a? 故 22, 22ab? ? ? （ Ⅱ ） ? ?2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 4 6M N y y y y y y y y y y y y a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng)且僅當(dāng)12 62y y a? ? ?或21 62y y a? ? ?時(shí)， MN 取最小值 62a 此時(shí)， ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 1 23 2 2 2 2 , 2 2 , 0 222F M F N a y a y a y y a F F? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ， 故 12FM F N? 與 12FF 共線(xiàn)。 【 點(diǎn)評(píng) 】： 此題重點(diǎn)考察橢圓中的基本量的關(guān)系，進(jìn)而求橢圓待定常數(shù)，考察向量的綜合應(yīng)用； 【 突破 】： 熟悉橢圓各基本量間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，熟練地進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，設(shè)而不求消元的思想在圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中的靈活應(yīng)用。 14.（天津卷 22） （本小題滿(mǎn)分 14 分） 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn) C的一個(gè)焦點(diǎn)是 ? ?0,31 ?F ，一條漸近線(xiàn)的方程是 025 ?? yx ． （Ⅰ）求雙曲線(xiàn) C 的方程； （Ⅱ）若以 ? ?0?kk 為斜率的直線(xiàn) l 與雙曲線(xiàn) C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn) M， N，且線(xiàn)段 MN的 25 垂直平分線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為281，求 k 的取值范圍． （ 22）本小題主要考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線(xiàn)方程、兩條直線(xiàn)垂直、線(xiàn)段的定比分點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線(xiàn)和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理運(yùn)算能力．滿(mǎn)分 14 分． （ Ⅰ）解：設(shè) 雙曲線(xiàn) C 的方程為 221xyab??（ 0, 0ab??） ．由題設(shè)得 22952abba? ???? ???，解得 2245ab? ??????，所以雙曲線(xiàn)方程為 22145xy??． 的方程為 y kx m??（ 0k? ）．點(diǎn) 11( , )M x y ， 22( , )N x y 的坐（Ⅱ） 解：設(shè)直線(xiàn) l22145y kx mxy????? ???? 標(biāo) 滿(mǎn) 足 方 程組將 ①式代入②式，得 22()145x kx m???，整理得 2 2 2( 5 4 ) 8 4 20 0k x k m x m? ? ? ? ?． 此方程有兩個(gè)一等實(shí)根，于是 25 04k? ? ，且 2 2 2( 8 ) 4( 5 4 )(4 20) 0km k m? ? ? ? ? ? ?．整理得 225 4 0mk? ? ?． ③ 由根與系數(shù)的關(guān)系可知線(xiàn)段 MN 的中點(diǎn)坐標(biāo) 00( , )xy 滿(mǎn)足 120 242 5 4xx kmx k????， 00 2554my k x m k? ? ? ?． 從而線(xiàn)段 MN 的垂直平分線(xiàn)方程為225 1 4()5 4 5 4m k myxk k k? ? ? ???． 此直線(xiàn)與 x 軸， y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為29( ,0)54kmk?，29(0, )54mk?．由題設(shè)可得221 9 9 8 1| | | |2 5 4 5 4 2k m mkk????．整理得 222 (5 4 )||km k??， 0k? ． 將上式代入 ③ 式得 22 2(5 4 ) 5 4 0||k kk? ? ? ?，整理得 22( 4 5 ) ( 4 | | 5 ) 0k k k? ? ? ?， 0k? ． 解得 50 | | 2k?? 或 5||4k? ． 所以 k 的取值范圍是 5 5 5 5, ) ( , 0 ) ( 0 , ) ( , )4 2 2 4( ? ? ?? ??． 26 15.（浙江卷 20） （本題 15 分）已知曲線(xiàn) C 是到點(diǎn) P（83,21?）和到直線(xiàn)85??y距離相等的點(diǎn)的軌跡。 ? 是過(guò)點(diǎn) Q（ 1， 0）的直線(xiàn)， M 是 C 上（不在 ? 上）的動(dòng)點(diǎn)； A、 B 在? 上， xMBMA ?? ,? 軸（如圖）。 （Ⅰ）求曲線(xiàn) C 的方程； （Ⅱ）求出直線(xiàn) ? 的方程，使得QAQB2 為常數(shù)。 本題主要考查求曲線(xiàn)的軌跡方程、兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方 法和綜合解題能力．滿(mǎn)分 15 分． （ Ⅰ ）解：設(shè) ()N x y， 為 C 上的點(diǎn)，則 2213||28N P x y? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， N 到直線(xiàn) 58y?? 的距離為 58y? ． 由題設(shè)得 221 3 52 8 8x y y? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?． 化簡(jiǎn)，得曲線(xiàn) C 的方程為 21 ()2y x x??． （ Ⅱ ）解法一： 設(shè) 22xxMx???????，直線(xiàn) :l y kx k??，則 ()B x kx k?， ，從而 2| | 1 | 1 |Q B k x? ? ?． 在 Rt QMA△ 中，因?yàn)? 222| | ( 1) 14xQ M x ??? ? ?????， 2222( 1 ) 2|| 1xxkMA k????????? ?． 所以 22 2 2 22( 1 )| | | | | | ( 2 )4 ( 1 )xQ A Q M M A k xk?? ? ? ?? . 2| 1 | | 2 ||| 21x k xQA k??? ?， A B O Q y x l M 27 2 2 2| | 2( 1 ) 1 12| | | |Q B k k xQ A k xk? ? ???． 當(dāng) 2k? 時(shí)， 2||55||QBQA ?， 從而所求直線(xiàn) l 方程為 2 2 0xy???． 解法二：設(shè) 22xxMx???????， 直線(xiàn) :l y kx k??，則 ()B x kx k?， ，從而 2| | 1 | 1 |Q B k x? ? ?． 過(guò) Q ( 10)?， 垂直于 l 的直線(xiàn)1 1: ( 1)l y xk? ? ?． 因?yàn)?| | | |QA MH? ，所以2| 1 | | 2 ||| 21x k xQA k??? ?， 2 2 2| | 2( 1 ) 1 12| | | |Q B k k xQ A k xk? ? ???． 當(dāng) 2k? 時(shí)， 2||55||QBQA ?， 從而所求直線(xiàn) l 方程為 2 2 0xy???． 16.（重慶卷 21）（本小題滿(mǎn)分 12分，（Ⅰ）小問(wèn) 5分，（Ⅱ）小問(wèn) 7分 .） 如圖（ 21）圖， M（ 2， 0）和 N（ 2， 0）是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P滿(mǎn)足： PN?? （Ⅰ）求點(diǎn) P的軌跡方程； （Ⅱ）若 2 1 c o sP M P N M P N??＝ ,求點(diǎn) P的坐標(biāo) . 解： (Ⅰ )由橢圓的定義，點(diǎn) P的軌跡是以 M、 N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng) 2a=6的橢圓 . 因此半焦距 c=2，長(zhǎng)半軸 a=3，從而短半軸 b= 22 5ac??， 所以橢圓的方程為 ?? (Ⅱ )由 2 ,1 c o sP M P N M P N? ?得 A B O Q y x l M H l1 28 c os M P N M P N P M P N?? ① 因?yàn)?cos 1,MPN P? 不為橢圓長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，故 P、 M、 N 構(gòu)成三角形 .在△ PMN中， 4,MN ? 由 余 弦 定 理 有 2 2 2 2 c o s .M N P M P N P M P N M P N? ? ? ② 將①代入②，得 2224 2 ( 2 ) .P M P N P M P N? ? ? ? 故點(diǎn) P在以 M、 N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為 23的雙曲線(xiàn) 2 2 13x y??上 . 由 (Ⅰ )知，點(diǎn) P的坐標(biāo)又滿(mǎn)足 22195xy??，所以 由方程組 22225 9 45,3 3.xyxy? ???????? 解得33,25 .2xy? ?????? ???? 即 P點(diǎn)坐標(biāo)為 3 3 5 3 3 5 3 3 5 3 3 5( , )2 2 2 2 2 2 2 2?、 （ ， ） 、 （ ， ） 或 （ ， ） .