【正文】 12 分 11.（山東卷 22) (本小題滿分 14 分 ) 如圖，設(shè)拋物線 方程為 x2=2py(p＞ 0),M為 直線 y=2p上任意一點，過 M引拋物線的切線，切點分別為 A， B. （Ⅰ）求證： A， M， B 三點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列； （Ⅱ）已知當(dāng) M 點的坐標(biāo)為（ 2， 2p）時， 4 10AB? ，求此時拋物線的方程； （Ⅲ）是否存在點 M，使得點 C 關(guān)于直線 AB 的對稱點 D在拋物線2 2 ( 0)x py p? ＞ 上，其中，點 C 滿足 OC OA OB??（ O 為坐標(biāo)原點） .若存在，求出所有適合題意的點 M 的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由 . （Ⅰ）證明：由題意設(shè) 22121 2 1 2 0( , ) , ( , ) , , ( , 2 ) .22xxA x B x x x M x ppp ?＜ 由 2 2x py? 得 22xy p?，則 ,xyp?? 所以 12,.M A M Bxxkkpp?? 因此直線 MA 的方程為 102 ( ),xy p x xp? ? ? 直線 MB 的方程為 202 ( ).xy p x xp? ? ? 所以 211102 ( ),2xxp x xpp? ? ? ① 222202 ( ).2xxp x xpp? ? ? ② 20 由①、②得 2121 2 0 ,2xx x x x? ? ? ? 因此 2120 2xxx ??，即 0 1 x x?? 所以 A、 M、 B 三點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列 . （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當(dāng) x0=2 時， 將其代入①、②并整理得： 22114 4 0,x x p? ? ? 224 4 0,x x p? ? ? 所以 x x2是方程 224 4 0x x p? ? ?的兩根， 因此 21 2 1 24 , 4 ,x x x x p? ? ? ? 又22210122122 ,2ABxxxxxppkx x p p? ?? ? ?? 所以 2.ABk p? 由弦長公式得 2 2 21 2 1 2 241 ( ) 4 1 1 6 1 6 .A B k x x x x pp? ? ? ? ? ? ? 又 4 10AB? ， 所以 p=1 或 p=2， 因此所求拋物線方程為 2 2xy? 或 2 ? （Ⅲ）解：設(shè) D(x3,y3)，由題意得 C(x1+ x2, y1+ y2), 則 CD 的中點坐標(biāo)為 1 2 3 1 2 3( , ) ,22x x x y y yQ ? ? ? ? 設(shè)直線 AB 的方程為 011( ),xy y x xp? ? ? 由點 Q 在直線 AB 上，并注意到點 1 2 1 2( , )22x x y y??也在直線 AB 上， 代入得 0? 21 若 D（ x3,y3）在拋物線上，則 23 3 0 32 2 ,x py x x?? 因此 x3=0 或 x3=2x0. 即 D(0， 0)或 200 2(2 , ).xDxp （ 1）當(dāng) x0=0 時，則 1 2 020x x x? ? ?，此時，點 M(0,2p)適合題意 . （ 2）當(dāng) 0 0x? ，對于 D(0， 0)，此時22122 2 2 21 2 1 20002( 2 , ) , ,2 2 4CDxxx x x xpC x kp x px????? 又 0 ,AB xk p?AB⊥ CD， 所以 2 2 2 20 1 2 1 220 1,44A B C D x x x x xkk p p x p??? ? ? ? 即 2 2 212 4,x x p? ?? 矛盾 . 對于 200 2(2 , ),xDxp因為 22120(2 , ),2xxCx p?此時直線 CD 平行于 y 軸， 又 0 0,AB xk p?? 所以 直線 AB 與直線 CD 不垂直，與題設(shè)矛盾， 所以 0 0x? 時 ，不存在符合題意的 M 點 . 綜上所述，僅存在一點 M(0， 2p)適合題意 . 12.（陜西卷 20） ．（本小題滿分 12 分） 已知拋物線 C ： 22yx? ，直線 2y kx??交 C 于 AB， 兩點， M 是線段 AB 的中點，過 M作 x 軸的垂線交 C 于點 N ． （Ⅰ）證明：拋物線 C 在點 N 處的切線與 AB 平行； （Ⅱ）是否存在實數(shù) k 使 0NA NB? ，若存在，求 k 的值；若不存在，說明理由． 20．解法一：（Ⅰ）如圖，設(shè) 211( 2 )A x x， ， 222( 2 )B x x， ，把 2y kx??代入 22yx? 得 22 2 0x kx? ? ? ， 由韋達(dá)定理得122kxx??， 12 1xx?? ， x A y 1 1 2 M N B O 22 ? 1224NM xx kxx ?? ? ?， ?N 點的坐標(biāo)為 248kk??????，． 設(shè) 拋物線 在點 N 處的切線 l 的方程為 284kky m x??? ? ?????， 將 22yx? 代入上式得 222048m k kx m x? ? ? ?， 直線 l 與拋物線 C 相切， 22 2 2 28 2 ( ) 048m k km m m k k m k??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????， mk??． 即 l AB∥ ． （Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù) k ，使 0NA NB? ，則 NA NB? ，又 M 是 AB 的中點， 1| | | |2MN AB?? ． 由（Ⅰ）知1 2 1 2 1 21 1 1( ) ( 2 2 ) [ ( ) 4 ]2 2 2My y y k x k x k x x? ? ? ? ? ? ? ? ? 221 422 2 4kk??? ? ? ?????． MN? x 軸， 2 2 2 16| | | | 24 8 8MN k k kM N y y ?? ? ? ? ? ? ?． 又 2 2 21 2 1 2 1 2| | 1 | | 1 ( ) 4A B k x x k x x x x? ? ? ? ? ? ? 22 2 211 4 ( 1 ) 1 1 622kk k k??? ? ? ? ? ? ? ?????． 2 221 6 1 1 1 684k kk?? ? ? ?，解得 2k?? ． 即存在 2k?? ，使 0NA NB? ． 解法二：（Ⅰ）如圖，設(shè) 221 1 2 2( 2 ) ( 2 )A x x B x x， ， ，把 2y kx??代入 22yx? 得 22 2 0x kx? ? ? ．由韋達(dá)定理得1 2 1 2 12kx x x x? ? ? ?，． ? 1224NM xx kxx ?? ? ?， ?N 點的坐標(biāo)為 248kk??????，． 22yx? ， 4yx??? ， 23 ?拋物線 在點 N 處的切線 l 的斜率為 4 4k k??， l AB?∥ ． （Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù) k ，使 0NA NB? ． 由（Ⅰ）知 22221 1 2 2224 8 4 8k k k kN A x x N B x x? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ， ，則 22221 2 1 2224 4 8 8k k k kN A N B x x x x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 22221 2 1 244 4 1 6 1 6k k k kx x x x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 2144 4 4 4k k k kx x x x??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? 221 2 1 2 1 2 1 21 4 ( )4 1 6 4k k kx x x x x x k x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 221 1 4 ( 1 )4 2 1 6 2 4k k k k kk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? 2 23131 6 4k k????? ? ? ? ????????? 0? ， 21016k? ? ? ， 23304 k?? ? ? ，解得 2k?? ． 即存在 2k?? ，使 0NA NB? ． 13.（四川卷 21） ．（本小題滿分 12 分） 設(shè)橢圓 ? ?22 1, 0xy abab? ? ? ?的左右焦點分別為 12,FF，離心率 22e? ，右準(zhǔn)線為 l ，,MN是 l 上的兩個動點， 120F M F N?? （ Ⅰ ）若12 25F M F N??，求 ,ab的值； （ Ⅱ ）證明：當(dāng) MN 取最小值時， 12FM F N? 與 12FF 共線。 4yx? ， 439。 由題設(shè)知 , , ,A P P B A Q Q B均不為零，記 AP AQPB QB? ??,則 0?? 且 1?? 又 A， P， B， Q 四點共線，從而 ,A P P B A Q Q B??? ? ? 于是 124 1xx???? ? ， 121 1yy???? ? 121xxx ???? ? ， 121yyy ???? ? 從而 2 2 2122 41xxx??? ??， （ 1） 2 2 21221yyy??? ??， （ 2） 又點 A、 B 在橢圓 C 上，即 22112 4 , (3)xy?? 222 4 , ( 4)xy?? （ 1） +（ 2） 2 并結(jié)合（ 3），（ 4）得 4 2 4sy?? 即點 ( , )Qxy 總在定直線 2 2 0xy? ? ? 上 方法二 設(shè)點 1 1 2 2( , ) , ( , ) , ( , )Q x y A x y B x y，由題設(shè)， , , ,P A P B A Q Q B均不為零。 3 分 （Ⅱ）設(shè) 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ，其坐標(biāo)滿足 22 141.yxy kx? ????????， 消去 y 并整理得 22( 4 ) 2 3 0k x k x? ? ? ?， 故1 2 1 2222344kx x x xkk? ? ? ? ???，． 6 分 （ Ⅱ ）解法一：根據(jù)點到直線的距離公式和 ① 式知，點 EF， 到 AB 的距離分別為2111 222 2 ( 1 2 1 4 )55 ( 1 4 )x k x kkhk?? ? ? ????， 2222 222 2 ( 1 2 1 4 )55 ( 1 4 )x k x kkhk?? ? ? ????． 14.（天津卷 22） （本小題滿分 14 分） 已知中心在原點的雙曲線 C的一個焦點是 ? ?