【正文】 8 分 （ III）解：連結(jié) BC′交 EQ 于點(diǎn) M． 因?yàn)?PH AD?∥ ， PQ AB∥ ， 所以平面 ABCD?? 和平面 PQGH 互相平行，因此 DE? 與平面 PQGH 所成角與 DE? 與平面 ABCD??所成角相等 ． A B C D E F P Q H A? B? C? D? G A B C D E F P Q H A? B? C? D? G N M 大家網(wǎng)高考論壇 31 與（ Ⅰ ）同理可證 EQ⊥平面 PQGH， 可知 EM⊥平面 ABCD?? ，因此 EM 與 DE? 的比值就是所求的正弦值 ． 設(shè) AD? 交 PF 于點(diǎn) N， 連結(jié) EN，由 1FD b?? 知 2 22( 1 ) 2 ( 1 )22D E b N D b??? ? ? ? ? ?，． 因?yàn)?AD? ⊥平面 PQEF， 又已知 DE? 與平面 PQEF 成 45 角， 所以 2D E ND??? ， 即 2222 ( 1 ) ( 1 ) 222 bb??? ? ? ? ?????， 解得 12b? ， 可知 E 為 BC 中點(diǎn)。 4 分 （Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知 22PF AP PH PA ???， ，又截面 PQEF 和截面 PQGH 都是矩形，且 PQ=1，所以截面 PQEF 和截面 PQGH 面積之和是 ( 2 2 ) 2AP PA PQ?? ? ?，是定值 ． （Ⅰ）求證： AE//平面 DCF； （Ⅱ）當(dāng) AB 的長為何值時(shí) ,二面角 AEFC 的大小為 ?60 ？ 本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力 ． 滿分 14 分 ． 方法一： （ Ⅰ ）證明：過點(diǎn) E 作 EG CF? 交 CF 于 G ，連結(jié) DG ， 可得四邊形 BCGE 為矩形， F C P G E A B 圖 5 D D A B E F C H G 大家網(wǎng)高考論壇 29 又 ABCD 為矩形， 所以 AD EG ∥ ，從而四邊形 ADGE 為平行四邊形， 故 AE DG∥ ． 因?yàn)?AE? 平面 DCF ， DG? 平面 DCF ， 所以 AE∥ 平面 DCF ． （ Ⅱ ）解：過點(diǎn) B 作 BH EF? 交 FE 的延長線于 H ，連結(jié) AH ． 由平面 ABCD? 平面 BEFC ， AB BC? ，得 AB? 平面 BEFC ， 從而 AH EF? ． 所以 AHB? 為 二面角 A EF C??的平面角． 在 Rt EFG△ 中，因?yàn)?3EG AD??， 2EF? ，所以 60CFE??， 1FG? ． 又因?yàn)?CE EF? ，所以 4CF? ， 從而 3BE CG??． 于是 33s in 2B H B E B E H? ? ?． 因?yàn)?tanA B B H A HB??， 所以當(dāng) AB 為 92 時(shí)，二面角 A EF C??的 大小為 60 ． 方法二：如圖，以點(diǎn) C 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 CB CF， 和 CD 分別作為x 軸， y 軸和 z 軸，建立 空間直角坐標(biāo)系 C xyz? ． 設(shè) AB a BE b C F c? ? ?， ， 則 (000)C ， ， ， ( 30 )Aa， ， ， ( 300)B ， ， ， ( 3 0)Eb， ， ，(0 0)Fc， ， ． （ Ⅰ ）證明： (0 )AE b a??， ， ， ( 3 0 0)CB ? ， ， ， (0 0)BE b? ， ， ， 所以 0CB CE? ， 0CB BE? ，從而 CB AE? ， CB BE? ， 所以 CB? 平面 ABE ． 因?yàn)?CB? 平面 DCF ， 所以平面 ABE∥ 平面 DCF ． 故 AE∥ 平面 DCF ． （ Ⅱ ）解：因?yàn)?( 3 0 )E F c b? ? ?， ， ( 3 0)CE b? ， ， ， 所以 0EFCE? ， | | 2EF? ，從而 23 ( ) 03 ( ) 2b c bcb? ? ? ????? ? ???， 解得 34bc??， ． D A B E F C y z x 大家網(wǎng)高考論壇 30 所以 ( 330)E ， ， ， (040)F ， ， ． 設(shè) (1 )n y z? ， ， 與平面 AEF 垂直， 則 0n AE? ， 0nEF? ， 解得 33(1 3 )n a? ， ， ． 又因?yàn)?BA? 平面 BEFC ， (0 0 )BA a? ， ， ， 所以2| | 3 3 1| c o s | 2| | | | 4 2 7B A n an B A B A n aa? ? ? ? ??， ， 得到 92a? ． 所以當(dāng) AB 為 92 時(shí)，二面角 A EF C??的大小為 60 ． 遼寧卷 19． （本小題滿分 12 分） 如圖，在棱長為 1 的正方體 AB C D A B C D? ? ? ?? 中， AP=BQ=b（ 0b1），截面 PQEF∥ AD? ，截面 PQGH∥ AD? ． （ Ⅰ ）證明：平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直； （ Ⅱ ）證明：截面 PQEF 和截面 PQGH 面積之和是定值， 并求出這個(gè)值； （ Ⅲ ）若 DE? 與平面 PQEF 所成的角為 45 ，求 DE? 與平 面 PQGH 所成角的正弦值． 19．本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，面面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力與邏輯思維能力。 設(shè)點(diǎn) D 到面 PAB 的距離為 H ,由 P ABD D PABVV??? 有 PA AB H AB AD PD? ,即 3 2 2 2 6 61111A D P D R RHRPA R? ? ? 66sin 11HBD? ??。 所以， AF=2AB=2=AP. 在等腰 Rt△ PAF 中，取 PF 的中點(diǎn) G，連接 AG. 則 AG⊥ HG，由三垂線定理的逆定理得， PF⊥ ∠ AGH 是平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角的平面角（銳角） . 在等腰 Rt△ PAF 中， 2 G P A?? 在 Rt△ PAB 中， 222 2 5 .55A P A B A P A BAH PB A P A B? ? ? ?? 所以，在 Rt△ AHG 中， 25 105si n .52AHAGH AG? ? ? ? 故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（銳角）的大小是 10arcsin .5 解法二 : 如圖所示，以 A 為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 .則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 A（ 0， 0， 0）， B（ 1， 0， 0）， 33( , ,0),22C 13( , ,0),22D P（ 0， 0， 2） , 3(1, ,0).2E （Ⅰ）因?yàn)?3(0, ,0)2BE ? ， 平面 PAB 的一個(gè)法向量是 0 (0,1,0)n ? ， 所以 0BE n和 共線 .從而 BE⊥平面 PAB. 又因?yàn)?BE? 平面 PBE， 故平面 PBE⊥平面 PAB. (Ⅱ )易知 3(1 , 0 , 2 ) , ( 0 , 02P B B E? ? ? ， ） ， 13( 0 , 0 , 2 ) , ( , , 0 )22P A A D? ? ? 設(shè)1 1 1 1( , , )n x y z?是平面 PBE的一個(gè)法向量，則由 110,0n PBn BE? ??????得 大家網(wǎng)高考論壇 22 1 1 11 2 20 2 0 ,30 0 0.2x y zx y z? ? ? ???? ? ? ? ? ???所以 1 1 1 10 , 2 . ( 2 , 0 , 1 ) .y x z n? ? ?故 可 取 設(shè) 2 2 2 2( , , )n x y z? 是平面 PAD的一個(gè)法向量，則由 220,0n PAn AD? ??????得 2 2 22 2 20 0 2 0 ,13 0 0.22x y zx y z? ? ? ? ???? ? ? ? ???所以 2 2 20, 3 .z x y? ? ? 故可取 2 ( 3, 1, 0).n ?? 于是， 1212122 3 1 5c o s , .552nnnnnn? ?? ? ?? 故平面 PAD和平面 PBE所成二面角（銳角）的大小是 15arccos .5 陜西卷 19．（本小題滿分 12 分） 三棱錐被平行于底面 ABC 的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為1 1 1ABC ， 90BAC??， 1AA? 平面 ABC ， 1 3AA? ， 2AB? ，2AC? ， 111AC? ， 12BDDC? ． （Ⅰ）證明：平面 1AAD? 平面 11BCCB ； （Ⅱ）求二面角 1A CC B??的大?。? 解法一：（Ⅰ） 1AA? 平面 ABC BC ?， 平面 ABC ， ? 1AA BC? ．在 Rt ABC△ 中， 2 2 6A B A C B C? ? ? ?， ， : 1 : 2BD DC ? ， 63BD??，又 33BD ABAB BC??， DB A AB C?△ ∽ △ ， 90AD B BA C? ? ? ? ?，即 AD BC? ． 又 1A A AD A? ， BC??平面 1AAD ， BC? 平面 11BCCB ， ?平面 1AAD ? 平面 11BCCB ． （Ⅱ）如圖，作 1AE CC? 交 1CC于 E 點(diǎn)，連接 BE ， 由已知得 AB? 平面 11ACCA ． A1 A C1 B1 B D C 大家網(wǎng)高考論壇 23 AE? 是 BE 在面 11ACCA 內(nèi)的射影． 由 三垂線定理 知 1BE CC? ， AEB?? 為二面角 1A CC B??的平面角． 過 1C 作 1CF AC? 交 AC 于 F 點(diǎn)， 則 1C F AC AF? ? ?， 11 3C F A A??， 1 60C CF?? ? ． 在 Rt AEC△ 中， 3s in 6 0 2 32A E A C? ? ? ?． 在 Rt BAE△ 中， 26ta n33ABAEB AE? ? ?． 6a rc ta n 3AEB? ? ? ， 即二面角 1A CC B??為 6arctan 3 ． 解法二：（Ⅰ）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系， 則 11( 0 0 0 ) ( 2 0 0 ) ( 0 2 0 ) ( 0 0 3 ) ( 0 1 3 )A B C A C， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， : 1 : 2BD DC ? ， 13BD BC?? ． D? 點(diǎn)坐標(biāo)為 2 2 2 033??????， ，． ? 2 2 2 033AD ??? ????， ， 1( 2 2 0) ( 0 0 3 )B C A A? ? ?， ， ， ， ，． 1 0BC AA ? ， 0BC AD? ， 1BC AA??， BC AD? ，又 1A A AD A? ， BC??平面 1AAD ，又 BC? 平面 11BCCB ， ?平面 1AAD? 平面 11BCCB ． （Ⅱ） BA? 平 面 11ACCA ，取 ( 2 0 0)AB?? ， ，m 為平面 11ACCA 的法向量， 設(shè)平面 11BCCB 的法向量為 ()l m n? ， ，n ，則 100B C C C??，nn． A1 A C1 B1 B D C F E （第 19 題，解法一） A1 A C1 B1 B D C z y x （第 19 題，解法二） 大家網(wǎng)高考論壇 24 2 2 030lmmn?? ? ??? ?? ? ???，32 3l m n m? ? ?， ， 如圖，可取 1m? ，則 3213???????， ，n， 22 2 2 2 232 2 0 1 0153c os53( 2 ) 0 0 ( 2 ) 1 3? ? ? ? ?? ?? ???? ? ? ?????，mn ， 即二面角 1A CC B??為 15arccos 5 ． 重慶卷 （ 19）（本小題滿分 13分，（Ⅰ）小問 6分，（Ⅱ）小問 7分 .） 如題（ 19）圖，在 ABC 中， B=90 ,AC=152 ,D、E兩點(diǎn)分別在 AB、 AC上 .使 2AD AEDB EC??,DE=3.現(xiàn)將 ABC 沿 DE折成直二角角，求： （Ⅰ）異面直線 AD與 BC的距離； （Ⅱ）二面角 AECB 的大?。ㄓ?