【正文】 （ 3）設數(shù)列 {}nb 中有三項 ? ?, , , , ,m n pb b b m n p m n p N ?? ? ?成等差數(shù)列，則有 2 1 1 11 1 1 ,n m pa q a q a q? ? ???設 ? ?, , ,n m x p n y x y N ?? ? ? ? ?，所以 2 1 yx qq??，令1, 2xy??，則 3 2 1 0,qq? ? ? ? ?? ?21 1 0q q q? ? ? ?，因為 1q? ，所以 2 10qq? ? ? ，所以 ? ?512q ?? 舍 去 負 值，即存在 512q ?? 使得 {}nb 中有三項 ? ?13,m m mb b b m N ??? ?成等差數(shù)列。 (Ⅱ )對任意給定的正整數(shù) n(n≥ 2),數(shù)列 {bk}滿足11?? ??bkk a nkbb （ k=1,2,?， n1） ,b1=1. 求 b1+b2+? +bn. 解：（Ⅰ）當 1k? ，由1 1 1 212a S a a??及 1 1a? ，得 2 2a? ． 當 2k≥ 時，由1 1 11122k k k k k k ka S S a a a a? ? ?? ? ? ?，得 11( ) 2k k k ka a a a????． 因為 0ka? ，所以 112kkaa????．從而 21 1 ( 1 ) 2 2 1ma m m? ? ? ? ? ?． 2 2 ( 1) 2 2ma m m? ? ? ?， *m?N ．故 *()ka k k??N ． （Ⅱ）因為 kak? ，所以 11 1kkkb n k n kb a k????? ? ? ? ?． 所以 11 211 2 1 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )( 1 ) 1( 1 ) 2 1kkkk kkbb b n k n k nbbb b b k k???? ? ? ? ? ?? ? ? ? 1 1( 1 ) ( 1 2 )kknC k nn?? ? ? ， ， ，． 故 1 2 3 nb b b b? ? ? ? 1 2 3 11 ( 1 ) nnn n n nC C C Cn ???? ? ? ? ? ??? ? ?0 1 2111 ( 1 ) nnn n n nC C C Cnn? ? ? ? ? ? ? ?． 陜西文 20 已知實數(shù)列 是}{na 等比數(shù)列 ,其中 5547 ,14,1 aaa ?? 且 成等差數(shù)列 . (Ⅰ )求數(shù)列 }{na 的通項公式 。( ) ( )n n ny f x f x x x? ? ?． 即 2( 4) 2 ( )n n ny x x x x? ? ? ?． 令 0y? ，得 2 1( 4) 2 ( )n n n nx x x x?? ? ? ?． 即 2 142n n nx x x ??? ． 顯然 0nx? ，∴1 22nn nxx x? ??． （Ⅱ）由1 22nn nxx x? ??，知 21 ( 2 )22222nnn nnxxx xx? ?? ? ? ? ?，同理 21 ( 2)2 2nn nxx x? ???． 故 21122()nnxx???????． 從而 1122lg 2 lgnnxx???????，即 1 2nnaa? ? ．所以，數(shù)列 {}na 成等比數(shù)列． 故 1 1 111 1 22 2 l g 2 l g 32n n nn xaa x? ? ??? ? ??． 即 12lg 2 lg 32 nnnxx ?? ??． 從而 122 32 nnnxx ?? ?? 所以 11222(3 1)31nnnx???? ? （Ⅲ）由（Ⅱ）知 11222(3 1)31nnnx???? ? ， ∴12 42031nnnbx ?? ? ? ?? ∴ 11 1 1 1212 2 2 23 1 1 1 1 133 1 3 1 3 3nn n nn nbb ?? ? ???? ? ? ? ??? 歡迎光臨 《 中 學 數(shù) 學 信息網(wǎng)》 《 中 學 數(shù) 學 信息網(wǎng)》 系列資料 版權所有 《 中 學 數(shù) 學 信息網(wǎng)》 當 1n? 時，顯然 1123Tb? ? ? ． 當 1n? 時， 211 2 11 1 1( ) ( )3 3 3 nn n nb b b b???? ? ? ? ∴ 12nnT b b b? ? ? ? 11 1 111()33nb b b?? ? ? ? 11[1 ( ) ]311 3nb ??? 13 3 ( ) 33 n? ? ? ? ． 綜上， 3nT? ( *)nN? ． 上海理 20 若有窮數(shù)列 12, ... na a a （ n 是正整數(shù)），滿足 1 2 1 1, .. ..n n na a a a a a?? ? ?即 1i n iaa??? （ i 是正整數(shù)，且 1 in?? ），就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”。 12 12 2 2 2nn nn a n? ?? ??? ，≥ ≥． 所以 ③ 式成立． 因此，存在 1k? ，使得 1121nkaa aa a a???≤ 對任意 n ??N 均成立． 天津文 20 在數(shù)列 ??na 中， 1 2a? ， 1 4 3 1nna a n? ? ? ?， n?*N ． （ Ⅰ ）證明數(shù)列 ? ?nan? 是等比數(shù)列； （ Ⅱ ）求數(shù)列 ??na 的前 n 項和 nS ； （ Ⅲ ）證明不等式 1 4nnSS? ≤ ，對任意 n?*N 皆成立． 歡迎光臨 《 中 學 數(shù) 學 信息網(wǎng)》 《 中 學 數(shù) 學 信息網(wǎng)》 系列資料 版權所有 《 中 學 數(shù) 學 信息網(wǎng)》 本小題以數(shù)列的遞推關系式為載體，主要考查等比數(shù)列的概念、 等比數(shù)列的通項公式及前 n 項和公式、不等式的證明等基礎知識，考查運算能力和推理論證能力．滿分 12分． （ Ⅰ ）證明：由題設 1 4 3 1nna a n? ? ? ?，得 1 ( 1) 4 ( )nna n a n? ? ? ? ?， n?*N ． 又 1 11a?? ，所以數(shù)列 ? ?nan? 是首項為 1，且公比為 4 的等比數(shù)列． （ Ⅱ ）解：由（ Ⅰ ）可知 14nnan??? ，于是數(shù)列 ??na 的通項公式為 14nnan???． 所以數(shù)列 ??na 的前 n 項和 4 1 ( 1)32nn nnS ????． （ Ⅲ ）證明：對任意的 n?*N ， 11 4 1 ( 1 ) ( 2 ) 4 1 ( 1 )443 2 3 2nnnn n n n nSS?? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ????? 21 (3 4 ) 02 nn? ? ? ? ≤． 所以不等式 1 4nnSS? ≤ ，對任意 n?*N 皆成立． 四川文 22 已知函數(shù) f（ x） =x2－ 4，設曲線 y＝ f（ x）在點（ xn， f（ xn））處的切線與 x 軸的交點為（ xn+1,u）（ u,N +），其中為正實數(shù) . （ Ⅰ ）用 xx 表示 xn+1； （ Ⅱ ）若 a1=4，記 an=lg 22nnxx??，證明數(shù)列｛ a1｝成等比數(shù)列，并求數(shù)列｛ xn｝的通項公式； （ Ⅲ ）若 x1＝ 4， bn＝ xn－ 2， Tn 是數(shù)列｛ bn｝的前 n 項和，證明 Tn3. 解析：本題綜合考查數(shù)列、函數(shù)、不等式、導數(shù)應用等知識，以及推理論證、計算及解決問題的能力． 歡迎光臨 《 中 學 數(shù) 學 信息網(wǎng)》 《 中 學 數(shù) 學 信息網(wǎng)》 系列資料 版權所有 《 中 學 數(shù) 學 信息網(wǎng)》 （Ⅰ）由題可得 39。322l o g13 xn An nT ??????? ??? ? ＞ )3(l o g)23(l o g2l o g 222 ???? nnnn anCBA 。 因13 233 1313 3 ???? nnnnn n ＞＞，因此2 233 ?? nCBAA nnnn＞。7843 ??， Cn＝13 2356 令 An＝nn332l o g 222 ?????? nannn?。48 由此不等式有 3332 13 115112112l o g13 ?????? ???????? ??????? ??? nT n ? ?????? ???????? ??????? ? 13 315312312l o g 2 n?＞ 歡迎光臨 《 中 學 數(shù) 學 信息網(wǎng)》 《 中 學 數(shù) 學 信息網(wǎng)》 系列資料 版權所有 《 中 學 數(shù) 學 信息網(wǎng)》 ＝ )3(l o g)23(l o g13 23 證法二：同證法一求得 bn 及 Tn。 因 079)23)(53()33( 22 ＞?????? nnnn ，故 )()1( nfnf ＞? . 特別的 12027)1()( ＞?? fnf。23)(3??????? ?? n nxf ?,則 233)23)(53( )33(23n 33n 令23n 25613 323l o g21 n nbbbT znn ??。從而｛ an｝是公差為 3，首項為 2 的等差數(shù)列，故｛ an｝的通項為an＝ 3n2。 歡迎光臨 《 中 學 數(shù) 學 信息網(wǎng)》 《 中 學 數(shù) 學 信息網(wǎng)》 系列資料 版權所有 《 中 學 數(shù) 學 信息網(wǎng)》 又由 an+1＝ Sn+1 Sn＝ )2)(1(61)2)(1(61 11 ????? ?? nnnn aaaa， 得 an+1 an3＝ 0 或 an+1＝ an 因 an＞ 0，故 an+1＝ an 不成立，舍去。歡迎光臨 《 中 學 數(shù) 學 信息網(wǎng)》 《 中 學 數(shù) 學 信息網(wǎng)》 系列資料 版權所有 《 中 學 數(shù) 學 信息網(wǎng)》 2022 年高考數(shù)學試題匯編 3—— 數(shù)列 重慶文 1 在等比數(shù)列 {an}中， a2＝ 8， a5＝ 64，則公比 q 為（ A ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 8 重慶理 1 若等差數(shù)列 { na }的前三項和 93?S 且 11?a ，則 2a 等于（ A ） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 安徽文 3 等差數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 xS 若 ＝則 432 ,3,1 Saa ?? （ B ） A． 12 B． 10 C． 8 D． 6 遼寧文 5 設等差數(shù)列 {}na 的前 n 項和為 nS ，若 3 9S? ， 6 36S ? ，則 7 8 9a a a? ? ? （ B ） A． 63 B． 45 C． 36 D． 27 福建文 2 等比數(shù)列 ??na 中， 4 4a? ，則 26aa? 等于（ C ） Ａ． 4 Ｂ． 8 Ｃ． 16 Ｄ． 32 福建理 2 數(shù)列 {}na 的前 n 項和為 nS ，若 1( 1)na nn? ?，則 5S 等于（ B ） A． 1 B． 56 C． 16 D． 130 廣東理 5 歡迎光臨 《 中 學 數(shù) 學 信息網(wǎng)》 《 中 學 數(shù) 學 信息網(wǎng)》 系列資料 版權所有 《 中 學 數(shù) 學 信息網(wǎng)》 已知數(shù)列 { na }的前 n 項和 2 9nS n n??，第 k 項滿足 58ka??，則 k? （ B ） A． 9 B． 8 C. 7 D． 6 湖北理 5 已知 p 和 q 是兩個不相等的正整數(shù)，且 2q≥ ，則111lim 111pqnnn????????? ?????????→（ C ） A． 0 B． 1 C． pq D． 11pq?? 湖南文 4 在等比數(shù)列 {}na （ n?N* ）中，若 1 1a? ，4 18a?，則該數(shù)列的前 10 項和為（ B ） A．412 2? B．212 2? C．1012 2? D．1112 2? 湖北理 8 已知兩個等差數(shù)列 {}n