【正文】 6（安徽文）設(shè) F是拋物線 G:x2=4y的焦點(diǎn) . （Ⅰ）過點(diǎn) P（ 0， 4）作拋物線 G的切線，求切線方程： （Ⅱ）設(shè) A、 B為勢(shì)物線 G上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足 ,延長(zhǎng) AF、 BF分別交拋物線 G于點(diǎn) C,D，求四邊形 ABCD 面積的最小值 . 【解答】 本小題主要考查拋物線的方程與性質(zhì)，拋物線的切點(diǎn)與焦點(diǎn)，向量的數(shù)量積，直線與拋物線的位置關(guān)系，平均不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析問題、解決問題的能力． 解：（ I）設(shè)切點(diǎn) ．由 ，知拋物線在 點(diǎn)處的切線斜率為 ，故所求切線方程為 ． 即 ． 因?yàn)辄c(diǎn) 在切線上． 所以 ， ， ． 所求切線方程為 ． （ II）設(shè) ， ． 由題意知，直線 的斜率 存在，由對(duì)稱性，不妨設(shè) ． 因直線 過焦點(diǎn) ，所以直線 的方程為 ． 點(diǎn) 的坐標(biāo)滿足方程組 得 ， 由根與系數(shù)的關(guān)系知 ． 因?yàn)?，所以 的斜率為 ，從而 的方程為 ． 同理可求得 ． ． 當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立．所以，四邊形 面積的最小值為 ． 。 6（安徽理）如圖，拋物線 y=x2+1與 x軸的正半軸交于點(diǎn) A，將線段 OA的 n等分點(diǎn)從左至右依次記為 P1,P2,? ,Pn1,過這些分點(diǎn)分別作 x軸的垂線，與拋物線的交點(diǎn)依次為 Q1，Q2，?， Qn1， 從而得到 n1個(gè)直角三角形△ Q1OP1, △ Q2P1P2,? , △ Qn1Pn1Pn1,當(dāng) n→∞時(shí)，這些三角形的面積之和的極限為 . 【解答】 如圖，拋物線 y=－ x2+1與 x軸的正半軸交于點(diǎn) A(1， 0)，將線段 OA的 n等分點(diǎn)從左至右依次記為 P1,P2,?, Pn－ 1,過這些分點(diǎn)分別作 x軸的垂線，與拋物線的交點(diǎn)依次為 Q1，Q2， ? ， Qn－ 1，從而得到 n－ 1個(gè)直角三角形△ Q1OP1, △ Q2P1P2,?, △ Qn－ 1Pn－ 2Pn－ 1, ∴ ， ， ，當(dāng) n→∞ 時(shí)，這些三角形的面積之和的極限為 . 整理得 = 。 6（北京文）如圖，矩形 的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn) ， 邊所在直線的方程為 點(diǎn) 在 邊所在直線上． （ I）求 邊所在直線的方程； （ II）求矩形 外接圓的方程； （ III）若動(dòng)圓 過點(diǎn) ，且與矩形 的外接圓外切，求動(dòng)圓 的圓心的軌跡方程． 【解答】 （ I）因?yàn)?邊所在直線的方程為 ，且 與 垂直，所以直線的斜率為 ． 又因?yàn)辄c(diǎn) 在直線 上， 所以 邊所在直線的方程為 ． ． （ II）由 解得點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， 因?yàn)榫匦?兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為 ． 所以 為矩形 外接圓的圓心． 又 ． 從而矩形 外接圓的方程為 ． （ III）因?yàn)閯?dòng)圓 過點(diǎn) ，所以 是該圓的半徑，又因?yàn)閯?dòng)圓 與圓 外切， 所以 ， 即 ． 故點(diǎn) 的軌跡是以 為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為 的雙曲線的左支． 因?yàn)閷?shí)半軸長(zhǎng) ，半焦距 ． 所以虛半軸長(zhǎng) ． 從而動(dòng)圓 的圓心的軌跡方程為 ． 6（安徽理）如圖， 和 分別是雙曲線 的兩個(gè)焦點(diǎn)， 和 是以 為圓心，以 為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且△ 是等邊三角形，則 雙曲線的離心率為 （ A） （ B） （ C） （ D） 【解答】 如圖， 和 分別是雙曲線 的兩個(gè)焦點(diǎn)， 和 是以 為圓心，以 為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且△ 是等邊三角形，連接 AF1，∠ AF2F1=30176。 的離心率 e=2，則 m=____. 答案： 48. 解析：根據(jù)雙曲線方程： 知， ，并在雙曲線中有： ，離心率 e= =2 = , m=48 19.(本小題滿分 12分） 已知過拋物線 的焦點(diǎn)，斜率為 的直線交拋物線于 （ ）兩點(diǎn)，且 ． （ 1）求該拋物線的方程； （ 2） 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為拋物線上一點(diǎn)，若 ，求 的值． 解析：（ 1）直線 AB 的方程是 所以： ，由拋物線定義得： ，所以 p=4， 拋物線方程為： （ 2） 、由 p=4， 化簡(jiǎn)得 ，從而 ,從而 A:(1, ),B(4, ) 設(shè) = ，又 ，即 8（ 4 ），即 ，解得 。 14. 若橢圓 的焦點(diǎn)在 軸上，過點(diǎn) 作圓 的切線，切點(diǎn)分別為 ， ，直線恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程是 . 【答案】 【解析】作圖可知一個(gè)切點(diǎn)為（ 1,0），所以橢圓 .分析可知直線 為圓 與以 為圓心， 為半徑的圓的公共弦 .由 與 相減得直線 方程為：.令 ，解得 ，∴ ，又 ，∴ ，故所求橢圓方程為： 15（ 1） .（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）若曲線的極坐標(biāo)方程為 ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為 . 【答案】 【解析】對(duì)方程 左右兩邊同時(shí)乘 以 得 ，將， ， 代入得方程為： 20. （本小題滿分 13 分） 是雙曲線 ： 上一點(diǎn)， ， 分別是雙曲線 的左、右頂點(diǎn)，直線 ， 的斜率之積為 . （ 1）求雙曲線的離心率； （ 2）過雙曲線 E 的右焦點(diǎn)且斜率為 1 的直線交雙曲線于 、 兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為雙曲線上一點(diǎn)，滿足 ，求 的值 . 【解析】（ 1）點(diǎn) 是雙曲線 ： 上，有 ，由題意又有 ，可得 ， 則 （ 2）聯(lián)立 ，得 ，設(shè) ， 則 ，設(shè) ， ，即 又 為雙曲線上一點(diǎn)，即 ，有 化簡(jiǎn)得： 又 ， 在雙曲線上，所以 ， 由（ 1）式又 有 得： ，解出 ，或 。又∠ PMB=∠ BNO，所以 ON∥ MP，所以 ON∥ y軸，則 N 點(diǎn)在 y 軸上，又 BF 為△ PMO 中位線，∴ BF∥ OM，則 OM∥ OA，所以 M 點(diǎn)在 x 軸上。作圖分析： ， ， 又直線 （或直線 ）、 軸與圓共有四個(gè)不同 的交點(diǎn)，結(jié)合圖形可知 10. 如右圖，一個(gè)直徑為 1 的小圓沿著直徑為 2 的大圓內(nèi)壁的逆時(shí)針方向滾動(dòng)， M 和 N 是小圓的一條固定直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，那么，當(dāng)小圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周，點(diǎn) M， N 在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是 【答案】 A 【解析】 由運(yùn)動(dòng)過 程可知，小圓圓心始終在以原點(diǎn)為圓心 為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)。對(duì)直線截距式方程認(rèn)識(shí)不明確，認(rèn)識(shí)不到三類特殊直線不能用截距式方程表示；對(duì)圓上的整數(shù)點(diǎn)探索不準(zhǔn)確，或分類不明確，都會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤，胡亂選擇。綜上可知滿足題設(shè)的直線共有 條，選 A 點(diǎn)評(píng)：本題主要考察直線與圓的概念，以及組合的知識(shí)，既要數(shù)形結(jié)合，又要分類考慮，要結(jié)合圓上點(diǎn)的對(duì)稱性來考慮過點(diǎn)的直線的特征。 易錯(cuò)點(diǎn)：由于畏懼心理而胡亂選擇，不能將幾何條件有機(jī)聯(lián)系轉(zhuǎn)化，缺乏消元意識(shí)。 4（湖南理）設(shè) 分別是橢圓 （ ）的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在 使線段 的中垂線過點(diǎn) ，則橢圓離心率的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【解答】 由已知 P ，所以 的中點(diǎn) Q的坐標(biāo)為 ，由 當(dāng) 時(shí)， 不存在，此時(shí) 為中點(diǎn)， 綜上得 2022 年高考數(shù)學(xué)試題匯編 —— 圓錐曲線（六） 4（本小題滿分 12 分）已知雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為 ， ，過點(diǎn) 的動(dòng)直線與雙曲線相交于 兩點(diǎn)． （ I）若動(dòng)點(diǎn) 滿足 （其中 為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn) 的軌跡方程； （ II）在 軸上是否存在定點(diǎn) ，使 （ 4分） 【解答】 （ 1） 設(shè)過 C 點(diǎn)的直線為 ，所以 ，即 ，設(shè) A ， = ， ，因?yàn)?，所以 ，即 ， 所以 ，即 所以 （ 2）設(shè)過 Q的切線為 ， ，所以 ，即，它與 的交點(diǎn)為 M ，又，所以 Q ，因?yàn)?,所以 ，所以M ,所以點(diǎn) M和點(diǎn) Q重合，也就是 QA為此拋物線的切線。 2（全國(guó) 1理）拋物線 的焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 ，經(jīng)過 且斜率為 的直線與拋物線在 軸上方的部分相交于點(diǎn) ， ，垂足為 ，則 的面積是（ ） A． B． C． D． 【解答】 拋物線 的焦點(diǎn) F(1， 0)，準(zhǔn)線為 l： ，經(jīng)過 F且斜率為 的直線與拋物線在 x 軸上方的部分相交于點(diǎn) A(3， 2 )， ，垂足為 K(－ 1， 2 )，∴ △ AKF的面積是 4 ，選 C。 2（全國(guó) 2文）設(shè) 分別是雙曲線 的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn) 在雙曲線上，且 ，則 （ ） A． B． C． D． 【解答】 設(shè) 分別是雙曲線 的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn) 在雙曲線上，且 ，則 = ，選 B。 2（全國(guó) 2理）設(shè) 為拋物線 的焦點(diǎn)， 為該拋物線上三點(diǎn)，若，則 （ ） A． 9 B． 6 C． 4 D． 3 【解答】 設(shè) F為拋物線 y2=4x的焦點(diǎn)， A、 B、 C為該拋物線上三點(diǎn)，若 =0，則 F為△ ABC的重心，∴ A、 B、 C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和為 F點(diǎn)橫坐標(biāo)的 3倍，即等于 3， ∴ |FA|+|FB|+|FC|= ，選 B。 2022 年高考數(shù)學(xué)試題匯編 —— 圓錐曲線（四） 2（山東理）（本小題滿分 12分）已知橢圓 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 軸上，橢圓 上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為 ，最小值為 ． （Ⅰ）求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）若直線 與橢圓 相交于 ， 兩點(diǎn)（ 不是左右頂點(diǎn)），且以 為直徑的圓過橢圓 的右頂點(diǎn)，求證： 直線 過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． 【解答】 (I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ， (II)設(shè) ，由 得 ， ， . 以 AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn) ， ， ， ， ，解得 ，且滿足 . 當(dāng) 時(shí)， ，直線過定點(diǎn) 與已知矛盾； 當(dāng) 時(shí)， ，直線過定點(diǎn) 綜上可知，直線 過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 2（全國(guó) 2理）設(shè) 分別是雙曲線 的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn) ，使 且 ，則雙曲線的離心率為（ B ） A． B． C． D． 【解答