【正文】 2022 年高考數(shù)學(xué)試題匯編 —— 圓錐曲線（一） （重慶文）已知以 F1（ 2,0）， F2（ 2,0）為焦點(diǎn)的橢圓與直線 有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（ C ） （ A） （ B） （ C） （ D） 【解答】 設(shè)橢圓方程為 消 x 得： 即： 又 聯(lián)立解得 由焦點(diǎn)在 x 軸上，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 （重慶文）（ 21）（本小題滿分 12 分，（Ⅰ）小問(wèn) 4 分，（Ⅱ）小問(wèn) 8 分） 如題（ 21）圖，傾斜角為 a 的直線經(jīng)過(guò)拋物線 的焦點(diǎn) F，且與拋物線交于 A、 B 兩點(diǎn)。 題（ 21）圖 （Ⅰ）求拋物線的焦點(diǎn) F 的坐標(biāo)及準(zhǔn)線 l的方程； （Ⅱ）若 a 為銳角，作線段 AB 的垂直平分線 m 交 x 軸于點(diǎn) P，證明 |FP||FP|cos2a 為定值，并求此定值。 【解答】 （Ⅰ）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，則 ，從而 因此焦點(diǎn) 的坐標(biāo)為（ 2， 0） . 又準(zhǔn)線方程的一般式為 。 從而所求準(zhǔn)線 l 的方程為 。 答（ 21）圖 （Ⅱ）解法一：如圖（ 21）圖作 AC⊥ l， BD⊥ l，垂足為 C、 D，則由拋物線的定義知 |FA|=|FC|,|FB|=|BD|. 記 A、 B 的 橫坐標(biāo)分別為 xxxz，則 |FA|＝ |AC|＝ 解得 ， 類似地有 ，解得 。 記直線 m 與 AB 的交點(diǎn)為 E，則 所以。 故 。 解法二：設(shè) ， ，直線 AB 的斜率為 ，則直線方程為 。 將此式代入 ,得 ，故 。 記直線 m 與 AB 的交點(diǎn)為 ，則 ， ， 故直線 m 的方程為 . 令 y=0,得 P 的橫坐標(biāo) 故 。 從而 為定值。 （重慶理）過(guò)雙曲線 的右焦點(diǎn) F 作傾斜角為 的直線，交雙曲線于 PQ 兩點(diǎn)，則 |FP||FQ|的值為 __________. 【分析】 ： 代入 得： 設(shè) 又 （重慶理） (本小題滿分 12 分 )如圖，中心在原點(diǎn) O 的橢圓的右焦點(diǎn)為 F（ 3， 0），右準(zhǔn)線 l 的方程為： x = 12。 （ 1）求橢圓的方程； （ 2）在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn) ，使 ，證明 為定值，并求此定值。 解：（ I）設(shè)橢圓方程為 ． 因焦點(diǎn)為 ，故半焦距 ． 又右準(zhǔn)線 的方程為 ，從而由已知 ， 因此 ， ． 故所求橢圓方程為 ． （ II）記橢圓的右頂 點(diǎn)為 ，并設(shè) （ 1， 2， 3），不失一般性， 假設(shè) ，且 ， ． 又設(shè)點(diǎn) 在 上的射影為 ，因橢圓的離心率 ，從而有 ． 解得 ． 因此 ， 而 ， 故 為定值． （浙江文）已知雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為 F F2， P 是準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且 P F1⊥ P F2，｜ P F1｜ ｜ P F2 ｜＝ 4ab，則雙曲線的離心率是（ B） (A) (B) (C)2 (D)3 【解答】 ：設(shè)準(zhǔn)線與 x 軸交于 A 點(diǎn) . 在 中 , , 又 , 化簡(jiǎn)得 , 故選答案 B 【 高考考點(diǎn) 】雙曲線的離心率的求法解三角形的相關(guān)知識(shí)。 【易錯(cuò)點(diǎn)】： 不能聯(lián)系三角形的有關(guān)知識(shí)，找不到解題方法而亂選。 【備考提示】： 雙曲線的離心率的求法是解析幾何的一個(gè)重點(diǎn)，且方法較多，要善于總結(jié)各種方法，靈活應(yīng)用。 （浙江文） (本題 15 分 )如圖，直線 y＝ kx＋ b 與橢圓 交于 A、 B 兩點(diǎn)，記△ AOB 的面積為 S． （ I）求在 k＝ 0， 0＜ b＜ 1 的條件下， S 的最大值； （Ⅱ）當(dāng)｜ AB｜＝ 2， S＝ 1 時(shí)，求直線 AB 的方程． 本題主要考查橢圓的幾何 性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力． （Ⅰ）解：設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，由 ，解得 ， 所以 ． 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， 取到最大值 ． （Ⅱ）解：由 得 ， ，① ． ② 設(shè) 到 的距離為 ，則 ， 又因?yàn)?，所以 ，代入②式并整理，得 ，解得 ， ，代入①式檢驗(yàn)， ， 故直線 的方程是 或 或 ，或 ． 【 高考考點(diǎn) 】橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等知識(shí) 【易錯(cuò)點(diǎn)】： 不能準(zhǔn)確計(jì)算或輕易舍掉一些答 案。 【備考提示】： 本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．故此類問(wèn)題一方面要求考生能熟練掌握相關(guān)知識(shí)，并且能夠有較高的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，同時(shí)還要有較強(qiáng)的運(yùn)算能力和不懈的毅力。 （浙江理）已知雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為 ， ， 是準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且 ， ，則雙曲線的離心率是（ B ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【分析】 ：設(shè)準(zhǔn)線與 x 軸交于 A 點(diǎn) . 在 中 , , 又 , 化簡(jiǎn)得 , 故選答案 B （天津文）設(shè)雙曲線 的離心率為 ，且它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則此雙曲線的方程為（ D ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【解析】∵拋物線 的準(zhǔn)線為 ,故有 ① 又∵雙曲線 的離心率為 ,故有 : ② , ① ②得到 ,進(jìn)而求出 , ∴雙曲線的方程為 2022 年高考數(shù)學(xué)試題匯編 —— 圓錐曲線（二） （天津文）（本小題滿分 14 分）設(shè)橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 是橢圓上的一點(diǎn)， ，原點(diǎn) 到直線 的距離為 ． （Ⅰ）證明 ； （Ⅱ）求 使得下述命題成立：設(shè)圓 上任意點(diǎn) 處的切線交橢圓于 ，兩點(diǎn)，則 ． 本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、兩條直線垂直、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運(yùn)算能力．滿分 14 分． （Ⅰ）證法一：由題設(shè) 及 ， ，不妨設(shè)點(diǎn) ，其中 ，由于點(diǎn) 在橢圓上，有 ， ， 解得 ，從而得到 ， 直線 的方程為 ，整理得 ． 由題設(shè)，原點(diǎn) 到直線 的距離為 ，即 ， 將 代入原式并化簡(jiǎn)得 ，即 ． 證法二：同證法一，得 到點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， 過(guò)點(diǎn) 作 ，垂足為 ，易知 ，故 由橢圓定義得 ，又 ，所以 ， 解得 ，而 ，得 ，即 ． （Ⅱ）解法一：圓 上的任意點(diǎn) 處的切線方程為 ． 當(dāng) 時(shí)，圓 上的任意點(diǎn)都在橢圓內(nèi)，故此圓在點(diǎn) 處的切線必交橢圓于兩個(gè)不同的點(diǎn) 和 ，因此點(diǎn) ， 的坐標(biāo)是方程組 的解．當(dāng) 時(shí)，由①式得 代入②式，得 ，即 ， 于是 ， ． 若 ，則 ． 所以， ．由 ，得 ．在區(qū)間 內(nèi)此方程的解為． 當(dāng) 時(shí)，必有 ，同理求得在區(qū)間 內(nèi)的解為 ． 另一方面，當(dāng) 時(shí)，可推出 ，從而 ． 綜上所述， 使得所述命題成立． （天津理）（本小題滿分 14 分） 設(shè)橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 是橢圓上的一點(diǎn)， ，原點(diǎn)到直線 的距離為 ． （Ⅰ）證明 ； （Ⅱ）設(shè) 為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)， ，過(guò)原點(diǎn) 作直線 的垂線 ，垂足為 ，求點(diǎn) 的軌跡方程． 本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、求曲線的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運(yùn)算能力．滿 分 14 分． （Ⅰ）證法一：由題設(shè) 及 ， ，不妨設(shè)點(diǎn) ，其中 ．由于點(diǎn)在橢圓上，有 ，即 ． 解得 ，從而得到 ． 直線 的方程為 ，整理得 ． 由題設(shè)，原點(diǎn) 到直線 的距離為 ，即 ， 將 代入上式并化簡(jiǎn)得 ，即 ． 證法二：同證法一，得到點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ． 過(guò)點(diǎn) 作 ，垂足為 ，易知 ，故 ． 由橢圓定義得 ，又 ， 所以 ， 解得 ，而 ，得 ，即 ． （Ⅱ）解法一：設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ． 當(dāng) 時(shí)，由 知 ， 直 線 的斜率為 ， 所 以 直 線 的方程為，或 ，其中 ， ． 點(diǎn) 的坐標(biāo)滿足方程組 將①式代入②式，得 ， 整理得 ， 于是 ， ． 由①式得 ． 由 知 ．將③式和④式代入得 ， ． 將 代入上式，整理得 ． 當(dāng) 時(shí)，直線 的方程為 ， 的坐標(biāo)滿足方程組 所以 ， ． 由 知 ，即 ， 解得 ． 這時(shí)，點(diǎn) 的坐標(biāo)仍滿足 ． 綜上，點(diǎn) 的軌跡方程為 ． 解法二：設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，直線 的方程為 ，由 ，垂足為 ，可知直線 的方程為 ． 記 （顯然 ），點(diǎn) 的坐標(biāo)滿足 方程組 由①式得 ． ③ 由②式得 ． ④ 將③式代入④式得 ． 整理得 ， 于是 ． ⑤ 由①式得 ． ⑥ 由②式得 ． ⑦ 將⑥式代入⑦式得 ， 整理得 ， 于是 ． ⑧ 由 知 ．將⑤式和⑧式代入得 ， ． 將 代入上式，得 ． 所以，點(diǎn) 的軌跡方程為 ． 1（四川文） 如果雙曲線 ＝ 1 上一點(diǎn) P 到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是 2,那么點(diǎn) P 到 y 軸的距離是 (A) (B) (C) (D) 解析：選 A．由點(diǎn) 到雙曲線右焦點(diǎn) 的距離是 2 知 在雙曲線右支上．又由雙曲線的第二定義知點(diǎn) 到雙曲線右準(zhǔn)線的距離是 ，雙曲線的右準(zhǔn)線方程是 ，故點(diǎn) 到 軸的距離是 ． 1（四川文） 已知拋物線 yx2+3 上存在關(guān)于直線 x+y=0 對(duì)稱的相異兩點(diǎn) A、 B，則