【正文】 設 ，求 與 的比值； （ II）當 e 變化時，是否存在直線 l，使得 BO∥ AN，并說明理由． 20．解：（ I）因為 C1， C2 的離心率相同，故依題意可設 設直線 ，分別與 C1， C2的方程聯立，求得 ?????? 4 分 當 表示 A， B 的縱坐標，可知 ?????? 6 分 （ II） t=0 時的 l 不符合題意 . 時， BO//AN 當且僅當 BO 的斜率 kBO 與 AN 的斜率 kAN 相等，即 解得 因為 所以當 時，不存在直線 l，使得 BO//AN； 當 時，存在直線 l 使得 BO//AN. 23．（本小題滿分 10 分）選修 44：坐標系統與參數方程 在平面直角坐標系 xOy 中，曲線 C1 的參數方程為 （ 為參數），曲線 C2的參數方程為（ ， 為參數），在以 O 為極點， x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線 l： θ=與 C1， C2各有一個交點．當 =0 時，這兩個交點間的距離為 2，當 = 時，這兩個交點重合． （ I）分別說明 C1， C2 是什么曲線，并求出 a 與 b 的值； （ II）設當 = 時， l 與 C1， C2 的交點分別為 A1， B1，當 = 時， l 與 C1， C2的交點為 A2， B2，求四邊形 A1A2B2B1的面積． 23．解： （ I） C1 是圓， C2是橢圓 . 當 時，射線 l 與 C1， C2交點的直角坐標分別為（ 1， 0），（ a， 0），因為這兩點間的距離為 2，所以a=3. 當 時，射線 l 與 C1， C2 交點的直角坐標分別為（ 0， 1），（ 0， b），因為這兩點重合，所以 b=1. （ II） C1， C2 的普通方程分別為 當 時，射線 l 與 C1 交點 A1的橫坐標為 ，與 C2交點 B1 的橫坐標為 當 時，射線 l 與 C1， C2 的兩個交點 A2， B2分別與 A1， B1關于 x 軸對稱，因此， 四邊形 A1A2B2B1為梯形 . 故四邊形 A1A2B2B1 的面積為 2022 年高考數學試題匯編 —— 圓錐曲線（八） 5（福建文）以雙曲線 的右焦點為圓心，且與其右準線相切的圓的方程是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【解答】 雙曲線 的右焦點為（ 2， 0），即圓心為（ 2， 0），右準線為 x=1，半徑為 1，圓方程為 ，即 + — 4x+3=0，選 B 60、（福建文）如圖，已知 ，直線 ， 為平面上的動點，過點 作 的垂線，垂足為點 ，且 ． （Ⅰ） 求動點 的軌跡 的方程； （Ⅱ）過點 的直線交軌跡 于 兩點，交直線 于點 ． （ 1）已知 ， ，求 的值； （ 2）求 的最小值． 【解答】 本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力．滿分 14分． 解法一：（Ⅰ）設點 ，則 ，由 得： ，化簡得 ． （Ⅱ）（ 1）設直線 的方程為： ． 設 ， ，又 ， 聯立方程組 ，消去 得： ， ， 由 ， 得： ， ，整理得： ， ， ． 解法二：（Ⅰ）由 得： ， ， ， ． 所以點 的軌跡 是拋物線，由題意，軌跡 的方程為： ． （Ⅱ）（ 1）由已知 ， ，得 ． 則： ．????① 過點 分別作準線 的垂線，垂足分別為 ， ， 則有： ．????② 由①②得： ，即 ． （Ⅱ）（ 2）解：由解法一， ． 當且僅當 ，即 時等號成立，所以 最小值為 ． 6（北京理）矩形 的兩條對角線相交于點 ， 邊所在直線 的方程為，點 在 邊所在直線上． （ I）求 邊所在直線的方程； （ II）求矩形 外接圓的方程； （ III）若動圓 過點 ，且與矩形 的外接圓外切，求動圓 的圓心的軌跡方程． 【解答】 （ I）因為 邊所在直線的方程為 ，且 與 垂直，所以直線的斜率為 ． 又因為點 在直線 上， 所以 邊所在直線的方程為 ． ． （ II）由 解得點 的坐標為 ， 因為矩形 兩條對角線的交點為 ． 所以 為矩形 外接圓的圓心． 又 ． 從而矩形 外接圓的方程為 ． （ III）因為動圓 過點 ，所以 是該圓的半徑，又因為動圓 與圓 外切， 所以 ， 即 ． 故點 的軌跡是以 為焦點，實軸長為 的雙曲線的左支． 因為實半軸長 ，半焦距 ． 所以虛半軸長 ． 從而動圓 的圓心的軌跡方程為 ． 2022 年高考數學試題匯編 —— 圓錐曲線（九） 6（北京文）橢圓 的焦點為 ， ，兩條準線與 軸的交點分別為，若 ，則該橢圓離心率的取值范圍是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【解答】 橢圓 的焦點為 ， ，兩條準線與 軸的交點分別為 ，若 ， ， ，則 ，該橢圓離心率 e≥ ，取值范圍是，選 D。 6（北京文）如圖，矩形 的兩條對角線相交于點 ， 邊所在直線的方程為 點 在 邊所在直線上． （ I）求 邊所在直線的方程； （ II）求矩形 外接圓的方程； （ III）若動圓 過點 ，且與矩形 的外接圓外切，求動圓 的圓心的軌跡方程． 【解答】 （ I）因為 邊所在直線的方程為 ，且 與 垂直，所以直線的斜率為 ． 又因為點 在直線 上， 所以 邊所在直線的方程為 ． ． （ II）由 解得點 的坐標為 ， 因為矩形 兩條對角線的交點為 ． 所以 為矩形 外接圓的圓心． 又 ． 從而矩形 外接圓的方程為 ． （ III）因為動圓 過點 ，所以 是該圓的半徑，又因為動圓 與圓 外切， 所以 ， 即 ． 故點 的軌跡是以 為焦點，實軸長為 的雙曲線的左支． 因為實半軸長 ，半焦距 ． 所以虛半軸長 ． 從而動圓 的圓心的軌跡方程為 ． 6（安徽理）如圖， 和 分別是雙曲線 的兩個焦點， 和 是以 為圓心，以 為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△ 是等邊三角形，則 雙曲線的離心率為 （ A） （ B） （ C） （ D） 【解答】 如圖， 和 分別是雙曲線 的兩個焦點， 和 是以 為圓心，以 為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△ 是等邊三角形，連接 AF1，∠ AF2F1=30176。 ， |AF1|=c， |AF2|= c，∴ ，雙曲線的離心率為 ，選 D。 6（安徽理）如圖，拋物線 y=x2+1與 x軸的正半軸交于點 A，將線段 OA的 n等分點從左至右依次記為 P1,P2,? ,Pn1,過這些分點分別作 x軸的垂線，與拋物線的交點依次為 Q1，Q2，?， Qn1， 從而得到 n1個直角三角形△ Q1OP1, △ Q2P1P2,? , △ Qn1Pn1Pn1,當 n→∞時，這些三角形的面積之和的極限為 . 【解答】 如圖，拋物線 y=－ x2+1與 x軸的正半軸交于點 A(1， 0)，將線段 OA的 n等分點從左至右依次記為 P1,P2,?, Pn－ 1,過這些分點分別作 x軸的垂線，與拋物線的交點依次為 Q1，Q2， ? ， Qn－ 1，從而得到 n－ 1個直角三角形△ Q1OP1, △ Q2P1P2,?, △ Qn－ 1Pn－ 2Pn－ 1, ∴ ， ， ，當 n→∞ 時，這些三角形的面積之和的極限為 . 整理得 = 。 6（安徽理）如圖，曲線 G的方程為 y2=2x（ y≥ 0） .以原點為圓心，以 t（ t 0）為半徑的圓分別與曲線 G和 y軸的正半軸相交于點 A與點 AB與 x軸相交于點 C. （Ⅰ）求點 A的橫坐標 a與點 C的橫坐標 c的關系式； （Ⅱ）設曲線 G上點 D的橫坐標為 a＋ 2，求證：直線 CD的斜率為定值 . 【解答】 本小題綜合考查平面解析幾何知識，主要涉及平面直角坐標系中的兩點間距離公式、直線的方程與斜率、拋物線上的點與曲線方程的關系，考查運算能力與思維能力、綜合分析問題的能力． 本小題滿分 12分． 解：（Ⅰ）由題意知， ． 因為 ，所以 ． 由于 ，故有 ． （ 1） 由點 的坐標知， 直線 的方程為 ． 又因點 在直線 上，故有 ， 將（ 1）代入上式，得 ， 解得 ． （Ⅱ）因為 ，所以直線 的斜率為 ． 所以直線 的斜率為定值． 6（安徽文） 橢圓 的離心率為 （ A） （ B） （ C） （ D） 【解答】 橢圓 中， ，∴ ，離心率為 ，選 A。 6（安徽文）設 F是拋物線 G:x2=4y的焦點 . （Ⅰ）過點 P（ 0， 4）作拋物線 G的切線，求切線方程： （Ⅱ）設 A、 B為勢物線 G上異于原點的兩點，且滿足 ,延長 AF、 BF分別交拋物線 G于點 C,D，求四邊形 ABCD 面積的最小值 . 【解答】 本小題主要考查拋物線的方程與性質，拋物線的切點與焦點，向量的數量積，直線與拋物線的位置關系，平均不等式等基礎知識，考查綜合分析問題、解決問題的能力． 解：（ I）設切點 ．由 ，知拋物線在 點處的切線斜率為 ，故所求切線方程為 ． 即 ． 因為點 在切線上． 所以 ， ， ． 所求切線方程為 ． （ II）設 ， ． 由題意知，直線 的斜率 存在，由對稱性，不妨設 ． 因直線 過焦點 ，所以直線 的方程為 ． 點 的坐標滿足方程組 得 ， 由根與系數的關系知 ． 因為 ，所以 的斜率為 ，從而 的方程為 ． 同理可求得 ． ． 當 時，等號成立．所以，四邊形 面積的最小值為 ．