【正文】 廣東理數(shù)） 1（本小題滿分 14分） 已知函 數(shù) ( ) si n( 3 ) ( 0 , ( , ) , 0f x A x A x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在 12x ?? 時取得最大值 4． (1) 求 ()fx的最小正周期； (2) 求 ()fx的解析式； (3) 若 f (23 α +12? )=125 ,求 sinα． [來源 :高考資源網(wǎng) ] 3sin( 2 )25?? ??， 3cos2 5?? ， 2 31 2sin 5???， 2 1sin 5?? ， 5sin 5??? ． [來 （ 2022 廣東文數(shù)） （ 2022全國卷 1理數(shù)） (17)(本小題滿分 10分 ) 已知 ABCV 的內角 A ， B 及其對邊 a ， b 滿足 c ot c ota b a A b B? ? ?，求內角 C ． （ 2022 四川文數(shù)） （ 19）（本小題滿分 12 分） w_w w. k o*（Ⅰ） ○ 1 證明兩角和的余弦公式 C : c o s( ) c o s c o s sin sin?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?； ○ 2 由 C??? 推導兩角和的正弦公式 S : sin ( ) sin c o s c o s sin?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?. （Ⅱ） 已知 4 3 1c o s , ( , ) , ta n , ( , ) , c o s ( )5 2 3 2?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?，求 cos( )??? （ 2022 湖北文數(shù)） 16.（本小題滿分 12 分） 已經(jīng)函數(shù) 22c o s s in 1 1( ) , ( ) s in 2 .2 2 4xxf x g x x?? ? ? (Ⅰ )函數(shù) ()fx的圖象可由函數(shù) ()gx 的圖象經(jīng)過怎樣變化得出？ （Ⅱ）求函數(shù) ( ) ( ) ( )h x f x g x??的最小值，并求使用 ()hx 取得最 小值的 x 的集合。 （ 2022山東理數(shù)） （ 2022 湖南理數(shù)） 16． （本小題滿分 12 分） 已知函數(shù) 2( ) 3 si n 2 2 si nf x x x??． （Ⅰ）求函數(shù) ()fx的最大值； （ II）求函數(shù) ()fx的零點的集合。 （ 2022 湖北理數(shù)） 16．（本小題滿分 12 分） 已知函數(shù) f(x)= 11c o s( ) c o s( ) , ( ) si n 23 3 2 4x x g x x??? ? ? ? （ Ⅰ ）求函數(shù) f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求函數(shù) h（ x） =f(x)－ g(x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合。 （ 2022福建理數(shù)） 19． （本小題滿分 13分） O某 港 口 要 將 一 件 重 要 物 品 用 小 艇 送 到 一 艘 正 在 航 行 的 輪 船 上。 在 小 艇 出 發(fā) 時 ，輪船位于港口O 北偏西 30 且與該港口相距 20 海里的 A處，并以 30海里 /小時的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設該小船沿直線方向以 v 海里 /小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過 t小時與輪船相遇。 （ 1）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？ （ 2）假設小艇的最高航行速度只能達到 30 海里 /小時，試設計航行方案（即確定航行方向與航行速度的大?。?，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由。 【解析】如圖，由（ 1）得 10 3 ,A C=1 0, , , A CO C O C A C A C??故 且 對 于 線 段 上 任 意 點 P 有 OP OC ，而小艇的最高航行速度只能達到 30 海里 /小時，故輪船與小艇不可能在 A、 C（包含 C）的任意位置相遇，設CO D = ( 0 9 0 ) , 1 0 3 ta nR t CO D CD? ? ?? ? ?則 在 中 ， OD=103cos? ， 由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時間分別為 10 10 3 ta n30t ??? 和 10 3cost v ?? ， 所以 10 10 3 tan30 ?? 103cosv ?? ，解得 1 5 3 3, 3 0 , s in ( + 3 0 )s in ( + 3 0 ) 2vv ??? ? ?又 故， 從而 3 0 9 0 , 3 0 ta n? ? ???由 于 時 ， 取 得 最 小值，且最小值為 33 ，于是 當 30?? 時 ， 10 10 3 ta n30t ??? 取得最小值，且最小值為 23 。 此時，在 OAB? 中， 20OA OB AB???，故可設計航行方案如下： 航行方向為北偏東 30 ，航行速度為 30海里 /小時，小艇能以最短時間與輪船相遇。 （ 2022 安徽理數(shù)） 1（ 本小題滿分 12分） 設 ABC? 是銳角三角形， ,abc分別是內角 ,ABC 所對邊長，并且 22si n si n ( ) si n ( ) si n33A B B B??? ? ? ?。 (Ⅰ )求角 A 的值； (Ⅱ )若 12 , 2 7AB AC a??，求 ,bc（其中 bc? ）。 （ 2022 江蘇卷） 1（本小題滿分 14 分） 某興趣小組測量電視塔 AE 的高度 H(單位： m），如示意圖，垂直放置的標桿 BC 的高度 h=4m，仰角∠ ABE=? ，∠ ADE=? 。 (1)該小組已經(jīng)測得一組 ? 、 ? 的值， tan? =， tan? =，請據(jù)此算出 H 的值； (2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認為適當調整標桿到電視塔的距離 d（單位： m），使 ? 與 ? 之差較大，可以提高測量精確度。若電視塔的實際高度為 125m，試問 d 為多少時， ? ? 最大？ [解析 ] 本 題主要考 查 解三角形的知識、兩角差的正切及不等式的應用。 （ 1） ta nta nHHADAD ? ?? ? ?，同理： tanHAB ?? ，tanhBD ??。 AD— AB=DB，故得ta n ta n ta nH H h? ? ???，解得： ta n 4 1 . 2 4 124ta n ta n 1 . 2 4 1 . 2 0hH ??? ?? ? ???。 因此，算出的電視塔的高度 H 是 124m。 （ 2）由題設知 d AB? ，得 ta n , ta nH H h H hd A D D B d?? ?? ? ? ?， 2ta n ta nta n ( )()1 ta n ta n ( )1H H hh d hddH H h H H hd H H h dd d d?????????? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? () 2 ( )H H hd H H hd ?? ? ?，（當且僅當 ( ) 1 2 5 1 2 1 5 5 5d H H h? ? ? ? ?時，取等號） 故當 55 5d? 時， tan( )??? 最大。 因為 0 2???? ? ? ，則 0 2???? ? ? ，所以當 55 5d? 時， ? ? 最大。 故所求的 d 是 555 m。 （ 2022 江蘇卷） 23.（本小題滿分 10 分） 已知△ ABC 的三邊長都是有理數(shù)。 （ 1） 求證 cosA 是有理數(shù)；（ 2）求證：對任意正整數(shù) n， cosnA 是有理數(shù)。 [解析 ] 本 題主要考查 余弦定理、數(shù)學歸納法等基礎知識，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力 。 滿分 10 分。 （方法一）（ 1） 證明：設三邊長分別為 ,abc， 2 2 2cos 2b c aA bc??? ， ∵ ,abc是有理數(shù)， 2 2 2b c a?? 是有理數(shù)，分母 2bc 為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對于除法的具有封閉性， ∴ 2 2 22b c abc?? 必為 有理數(shù) ，∴ cosA 是有理數(shù) 。 （ 2） ① 當 1n? 時，顯然 cosA 是有理數(shù) ； 當 2n? 時，∵ 2cos 2 2 cos 1AA??，因為 cosA 是有理數(shù) ， ∴ cos2A 也是有理數(shù)； ②假設 當 ( 2)n k k??時，結論成立，即 coskA、 cos( 1)kA? 均 是有理數(shù)。 當 1nk??時， c o s( 1 ) c o s c o s si n si nk A k A A k A A? ? ?， 1c o s ( 1 ) c o s c o s [ c o s ( ) c o s ( ) ]2k A k A A k A A k A A? ? ? ? ? ?， 11c o s ( 1 ) c o s c o s c o s ( 1 ) c o s ( 1 )22k A k A A k A k A? ? ? ? ? ?， 解得： c os( 1 ) 2 c os c os c os( 1 )k A k A A k A? ? ? ? ∵ cosA， coskA ， cos( 1)kA? 均是有理數(shù)，∴ 2 c os c os c os( 1 )kA A k A??是有理數(shù)， ∴ cos( 1)kA? 是有理數(shù)。 即當 1nk??時，結論成立。 綜上所述，對于 任意正整數(shù) n， cosnA 是有理數(shù)。 （方法二）證明：（ 1）由 AB、 BC、 AC 為有理數(shù)及余弦定理知 2 2 2c o s 2A B A C B CA A B A C??? ?是有理數(shù)。 （ 2）用數(shù)學歸納法證明 cosnA 和 sin sinA nA? 都是有理數(shù)。 ①當 1n? 時，由（ 1）知 cosA 是有理數(shù)，從而有 2si n si n 1 c osA A A? ? ?也是有理數(shù)。 ②假設 當 ( 1)n k k??時， coskA 和 sin sinA kA? 都是有理數(shù)。 當 1nk??時，由 c os( 1 ) c os c os si n si nk A A k A A k A? ? ? ? ?， si n si n( 1 ) si n ( si n c os c os si n ) ( si n si n ) c os ( si n si n ) c osA k A A A k A A k A A A k A A k A A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 及①和歸納假設，知 cos( 1)kA? 和 sin sin( 1)A k A??都是有理數(shù)。 即 當 1nk??時，結論成立。 綜合 ①、②可知，對任意正整數(shù) n， cosnA 是有理數(shù)。