【正文】 ? 是來自總體 X 的樣本 , 2,SX 分別為樣本均值和方差 ,則S nX )( ?? 服從 分布 . 解 )1( ?nt . ),(~ 211 ??NX , ),(~ 222 ??NY ,X 與 Y 相互獨立 .從 X ,Y 中分別抽取容量為 21,nn 的樣本 ,樣本均值分別為 YX, ,則 YX? 服從分布 . 18 解 ),(22212121 nnN ???? ??. X 和 Y 的相關(guān)系數(shù)為 ,若 ?? XZ ,則 Y 與 Z 的相關(guān)系數(shù)為 ____________. 解 ),c o v (),c o v (),c o v ( ???? XYXYZY . 二 .單項選擇題 (每小題 2 分 ,共 12 分 ) 1. 設(shè) 隨 機 變量 X 的數(shù)學(xué)期望 EX 與 2??DX 均存在 , 由切 比 雪 夫 不 等式 估 計概 率}4{ ??? EXXP 為 ( ) (A) 161? (B) 161? (C) 1615? (D) 1615? 解 本題應(yīng)選 C. 2. BA, 為隨機隨機事件 ,且 AB? ,則下列式子正確的是 ( ). (A) )()( APBAP ?? (B) )()()( APBPABP ??? (C) )()( APABP ? (D) )()( BPABP ? 解 本題應(yīng)選 A. 3. 設(shè)隨機變量 X 的密度函數(shù)為??? ???? 其他， ，0 10)( xBAxxf且 127?EX ,則 ( ). (A) ,1 ??? BA (B) 1, ??? BA (C) 1, ?? BA (D) ,1 ?? BA 解 令 1d)(10 ??? xBAx, 127d)(10 ??? xxBAx,解 得 ,1 ?? BA ,故本題應(yīng)選 D. X 與 Y 不相關(guān) ,則有 ( ). (A) )(9)()3( YDXDYXD ??? (B) )()()( YDXDXYD ?? (C) 0)]}()][({[ ??? YEYXEXE (D) 1)( ??? baXYP 解 本題應(yīng)選 C. ),(~ 21 nnFF ,且 ?? ?? )},({ 21 nnFFP ,則 ?? ),( 211 nnF ? ( ). (A) ),( 1 21 nnF? (B) ),(1 121 nnF ?? (C)),( 1 12 nnF? (D) ),(1 211 nnF ?? 解 ,記事件 : ?1A {擲第一次出現(xiàn)正面 }, ?2A {擲第二次出現(xiàn)正面 }, ?3A {正、反面各出現(xiàn)一次 }, ?4A {正面出現(xiàn)兩次 },則事件 ( ). (A) 321 , AAA 相互獨立 (B) 432 , AAA 相互獨立 (C) 321 , AAA 兩兩獨立 (D) 432 , AAA 兩兩獨立 解 21)(1 ?AP, 21)(2 ?AP, 21)(3 ?AP, 41)(4 ?AP,再由事件獨立的充分必要條件可知321 , AAA 兩兩獨立 ,本題應(yīng)選 C. 三 .計算題 (每小題８分 ,共 48 分 ) 19 ,乙 ,丙三個車間生產(chǎn)同 一種產(chǎn)品 ,它們的產(chǎn)量之比為 3:2:1, 各車間產(chǎn)品的不合格率依次為 8%,9%,12%.現(xiàn)從該廠產(chǎn)品中任意抽取一件 ,求 :(1) 取到不合格產(chǎn)品的概率；(2) 若取到的是不合格品 ,求它是由甲廠生產(chǎn)的概率 . 解 (1) 運用全概率公式 , 。 (2) 運用貝葉斯公式 , .(具體做法參見模擬試卷 (一 )第四題 ) ,第 i 個零件是不合格品的概率為)3,2,1(1 1 ??? iip i ,以 X 表示三個零件中合格品的個數(shù) ,求 :(1) X 的概率分布； (2) X 的方差DX . 解 (1) 12234132411241 ??????EX , (2) 2741924114412 ??????EX ,故 5 2 )( 22 ??? EXEXDX . X ),0(~ 2?N , 2? 為未知參數(shù) , nxxx , 21 ? 是來自總體 X 的一組樣本值 ,求 2? 的最大似然估 計 . 解 似然函數(shù) 21221222222 e)2 1(e)2 1()( ?? ????????? ?? ??ni ini ixnxnL , 兩邊取對數(shù) 21222 2ln22ln4)(ln ???? ????? ?ni ixnnL , 關(guān)于 2? 求導(dǎo) ,并令其為零 ,得 0)(212 22122 ????? ???ni ixn , 從而解得極大似然估計量為 ???ni ixn 122 1?? . (X ,Y )的聯(lián)合概率密度 : ??? ??? ?? 其它， ，0 0,0e2),( )2( yxyxf yx 求 : (1) X 與 Y 之間是否相互獨立 ,判斷 X 與 Y 是否線性相關(guān)； (2) )1( ?? XYP . 解 (1) ????????? ?? ?? ?????? 0,0,0,de2d),()( 0 )2(xxyyyxfxf yxX X 0 1 2 3 P 241 41 2411 41 20 ??? ??? ? .0,0 ,0,e xxx 同理 ??? ??? ? .0,0 ,0,e)( 2 yyyf yY 從而 )()(),( yfxfyxf YX? , 故 X 與 Y 相互獨立 ,因而 X 與 Y 一定不相關(guān) . (2) ??? )1( XYP ??? ? ?? yx x yx d2ed 10 )2(1021)e1( ?? . ,他等車的時間 X (單位 :分鐘 )服從參數(shù)為 51 的指數(shù)分布 ,如果等車時間超過10 分 鐘他就步行上班 .若此人一周上班 5次 ,以 Y 表示他一周步行上班的次數(shù) .求 Y 的概率分布；并求他一周內(nèi)至少有一次步行上班的概率 . 解 此人每天等車時間超過 10分鐘也即步行上班的概率為 210 ede51)10( ???? ??? ? xXP sx. 故 )e,5(~ 2?BY . 52 )e1(1)1( ?????YP . X 的概率密度為 ????? ???其他，，0]8,1[3 1)( 3 2 xxxf )(xF 是 X 的分布函數(shù) .求隨機變量 )(XFY? 的概率分布 . 解 ?????????????.8,1,81,1,1,0)( 31xxxxxF (3) 當(dāng) 0?y 時 , 0)()( ??? yYPyF Y 。 當(dāng) 10 ??y 時 , ))1(()1()()( 331 ???????? yXPyXPyYPyF Y yyF X ??? ))1(( 3 。 當(dāng) 1?y 時 , 1)()( ??? yYPyF Y . 故對 )(yFY 求導(dǎo)可得 Y 的概率密度 , ??? ??? 其它， ，0 101)( yyf Y 即 ]10[~ ，UY 四 .應(yīng)用題 (第 1 題 7 分、第 2 題 8 分 ,共 15 分 ) 21 400發(fā)炮彈 ,已知每一發(fā)炮彈的命中率等于 ,用中心極限定理計算命中 60發(fā)到 100發(fā)之間的概率 . 解 設(shè)???? 發(fā)炮彈命中第發(fā)炮彈沒有命中第 iiX i ,1 ,0 ( 400,2,1 ??i ),則 ???4001i iXX ),400(~ B 表示 400發(fā)炮彈命中的發(fā)數(shù) ,且 80?EX , 64?DX ,故由中心極限定理知 , )6420|64 80(|)20|80(|)10060( ???????? XPXPXP 98 )820(2 ???? . ,生產(chǎn)一向穩(wěn)定 .現(xiàn)從該廠產(chǎn)品中隨機抽出 10 段檢查其折斷力 ,測后經(jīng)計算 : )(, 1 2 ??? ??ni i xxx .假定銅絲折斷力服從正態(tài)分布 ,問是否可以相信該廠生產(chǎn)的銅絲的折斷力方差為 16?( ?? ) 解 1616 2120 ?? ?? ：，： HH . 采用統(tǒng)計量 222 1Sn?? ?? ,在 0H 成立時 , )9(~ 22 ?? . 由 ?? ,查得臨界值 )9(2 2/1 ??? ?? ? , )9(2 2/ ?? ?? ? , 由樣本值算得 ??? ,由于 2 2/22 2/1 ?? ??? ??? ,所以不拒絕 0H ,即該廠生產(chǎn)的銅絲的折斷力方差為 16. 五 .證明題 (5 分 ) 若隨機變量 X 的密度函數(shù) )(xf ,對任意的 Rx? ,滿足 : )()( xfxf ?? , )(xF 是其分布函數(shù) .證明 :對任意實數(shù) a ,有 ???? a xxfaF 0 d)(21)( . 證明 ??? ?????? ???? aa xxfxxfxxfaF 00 d)(d)(d)()( ???? a xxf0 d)(21 (令 xt ?? ) ??? ??????? aaa xxfttfttf 000 d)(21d)(21d)(21 .