【正文】 nq213。ei=1n(xiq)=e229。xi+nqi=1n,xi179。q,i=1,2,L,n.229。Xi=1ni8分dlnL=n185。0 dq$=x15分 由極大似然估計(jì)的定義，q的極大似然估計(jì)為q(1) 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》試題（6） 一、 判斷題（本題共15分，每小題3分。正確打“√”，錯(cuò)誤打“”）⑴ 設(shè)A、B是Ω中的隨機(jī)事件，則Ａ－Ｂ204。A （ ） ⑵ 對(duì)任意事件A與B，則有P(A∪B)=P(A)+P(B) （ ） ⑶ 若X服從二項(xiàng)分布b(k。n,p),則EX=npq ( ) ⑷ X~ N（m，s2 ），X1 ，X 2 ，??Xn是X的樣本，則C~ N（m，s2 ） （） ⑸X為隨機(jī)變量，則DX=Cov（X，X）（ ）二、（10分）一袋中裝有m枚正品硬幣，n枚次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國徽）從袋中任取一枚，已知將它投擲r次，每次都得到國徽，問這枚硬幣是正品的概率是多少？.三、（15分）在平面上畫出等距離a(a0)的一些平行線，向平面上隨機(jī)地投擲一根長l(la)的針，求針與任一平行線相交的概率.四、（15分） 從學(xué)校到火車站的途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是分布函數(shù)和數(shù)學(xué)期望. 五、（15分）設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）在圓域x2+y2≤a2上服從均勻分布，（1）求X和Y的相關(guān)系數(shù)r；（2）問X,Y是否獨(dú)立？六、（10分）若隨機(jī)變量序列X1,X2,L,Xn,L滿足條件n1 lim2D(229。Xi)=0 n174。165。ni=12，設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布律、5試證明{Xn}服從大數(shù)定律.$n(X,L,X)是q的一七、（10分） 設(shè)X1,X2,L,Xn是來自總體F(x,q)的一個(gè)樣本，q1n$n=q+k,Dq$n=s且limk=lims=0 個(gè)估計(jì)量，若Eqnnnn22n174。165。n174。165。$n是q的相合（一致）估計(jì)量。 試證q 八、（10分）某種零件的尺寸標(biāo)準(zhǔn)差為σ=，對(duì)一批這類零件檢查9件得平均尺寸數(shù)據(jù)（毫米）：x=,設(shè)零件尺寸服從正態(tài)分布，問這批零件的平均尺寸能否認(rèn)為是26毫米（a=）.正態(tài)分布表如下x 0 Ф(x) 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》試題（6）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一 ⑴ √；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ √。 二解 設(shè)A=‘任取一枚硬幣擲r次得r個(gè)國徽’，B=’任取一枚硬幣是正品’，則所求概率為P(B|A)= A=BA+，5分 P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)+P()P(A|)=m230。1246。231。247。m+n232。2248。rrm230。1246。n231。247。+m+n232。2248。m+n= rm+n2 三 解 設(shè)A=‘針與某平行線相交’，針落在平面上的情況不外乎圖中的幾種，設(shè)x為針的中點(diǎn)到最近的一條平行線的距離。 j為針與平行線的夾角，則0xa,0jp，不等式確定了平面上 2 A發(fā)生219。x163。sinj， 2L1 故 P(A)=ap2 四 解 X~B(3不等式確定S的子域A10分 242。p0L2L sinjdj=2ap 15分 223)P(X=k)=C3k()k()3k，分布律為555k=0,1,2,3.即X P027125154125236125385分 125X的分布函數(shù)為x0,236。0,239。27239。,0163。x1,125239。239。239。81,1163。x2,有所不同10分 F(x)=237。125239。239。1172163。x3,239。125,239。x179。,5472241506++==15分 EX=1251251251255 五． 解 (X,Y)的密度為236。1222239。2,x+y163。r, f(x,y)=237。pr3分239。238。0,其他.2pr11 （1）EX=242。242。x2dxdy=242。242。rcosq2rdrdq 00prprx2+y2163。r22pr2p242。02pr113 EXY=242。242。xy2dxdy=sin2qdqrdr 2242。0242。0xr2prx2+y2163。r2 =sinq01rr2dr=0=1[cos2q24pr2p0]242。r3dr=0 0r故 X,Y的相關(guān)系數(shù)r=（2）關(guān)于X的邊緣密度為fX(x)=242。+165。165。236。dy,|x|163。r,239。 f(x,y)dy=237。242。239。0,|x|r,238。|x|163。r, =239。|x|,關(guān)于Y的邊緣密度的|y|163。r,fY(y)=239。|y|,因?yàn)閒(x,y)185。fX(x)fY(y)，所以X,六 證：由契貝曉夫不等式，對(duì)任意的e0有236。1n252。1nP237。229。Xi229。EXi179。e253。163。ni=1238。ni=1254。所以對(duì)任意的e0 1nD(229。Xi)ni=1e2=n1D(229。Xi)n2i=1e25分n236。1n252。111nlimP237。229。Xi229。EXi179。e253。163。2lim2D(229。Xi)=0 n174。165。ni=1i=1238。ni=1254。en174。165。n故{Xn}服從大數(shù)定律。10分七 證 由契貝曉夫不等式，對(duì)任意的e0有$nDq$ P(|qnqkn|179。e)163。25分 e$nqk|179。e)163。limsn=0 于是 0163。limP(|qnn174。165。n174。165。2e$n依概率收斂于q，故q$n是q的相合估計(jì)。10分 即 q 2八 解 問題是在s已知的條件下檢驗(yàn)假設(shè)H0：m0=26查正態(tài)分布表，1－a2=, m1a=21u1=＜,應(yīng)當(dāng)接受H0，即這批零件的平均尺寸應(yīng)認(rèn)為是26毫米。15分 模擬試題A（每小題3分，共9分）1. 打靶 3 發(fā)，事件表示“擊中 i 發(fā)” ， i = 0， 1， 2， 3。 那么事 件 表 示 ( )。( A ) 全 部 擊 中 ； ( B ) 至少有一發(fā)擊中；( C ) 必 然 擊 中； ( D ) 擊 中 3 發(fā) x 的分布律為 ( )。( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 則 常 數(shù) A 應(yīng) 為，服從二項(xiàng)分布 B ( n，p )，其中 0 amp。lt。 p amp。lt。 1 ， n = 1， 2,?， 那么，對(duì)等 于 ( )。于任一實(shí)數(shù) x ，有 ( A ) 。( B ) 。( C ) 。( D ) 二、填空題（每小題3分，共12分） , B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(B)amp。gt。0，則由乘法公式知 P(AB) =__________ ,且 ,則有 =___________。 ，他們是否需用臺(tái)秤是相互獨(dú)立的，在1小時(shí)試求 ：( 1 ) 該地區(qū)居民患高血壓病的概率。( 2 ) 若知某人患高血壓, 則他屬于肥胖者的概率有多大？六、（10分）從兩家公司購得同一種元件，兩公司元件的失效時(shí)間分別是隨機(jī)變量其概率密度分別是 ：和， 如果與相互獨(dú)立，寫出的聯(lián)合概率密度，并求下列事件的概率:( 1 ) 到時(shí)刻 ( 2 ) 到時(shí)刻 ( 3 ) 在時(shí)刻兩家的元件都失效(記為A)， 兩家的元件都未失效(記為 B)， 至少有一家元件還在工作(記為 D)。七、（7分）證明：事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)x的方差一定不超過 八、（10分）設(shè)和是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為。 又知隨機(jī)變量, 試求w 的