【正文】 239。125239。239。81, F(x)=237。239。125239。117239。125,239。239。238。1,26=, 552318 DX=3180。180。=. 5525 EX=3180。x0,0163。x1,1163。x2, 2163。x3,x179。3.五、（10分）設(shè)二維隨機變量(X,Y)在區(qū)域D={(x,y)|x179。0,y179。0,x+y163。1} 上服從均勻分布. 求（1）(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度；（2）Z=X+Y的分布函數(shù)與概率密 （1）(X,Y)的概率密度為f(x,y)=237。238。0,236。2,(x,y)206。D 其它.fX(x)= （2）利用公式fZ(z)=242。+165。165。236。22x,0163。x163。1f(x,y)dy=237。238。0,其它242。+165。165。f(x,zx)dx其中f(x,zx)=237。236。2,0163。x163。1,0163。zx163。1x238。0,其它236。2,0163。x163。1,x163。z163。1.=237。 238。0,其它.當(dāng) z0或z1時fZ(z)=0 0163。z163。1時 fZ(z)=2 故Z的概率密度為242。z0dx=2x0=2zz236。239。2z,0163。z163。1,fZ(z)=237。239。238。0,其它.Z的分布函數(shù)為z165。fZ(z)=242。z0236。0,236。0,z0,239。239。239。zfZ(y)dy=237。242。2ydy,0163。z163。1=237。z2,0163。z163。1,0239。239。1,z1.238。z1239。238。1,或利用分布函數(shù)法236。z0,239。0,239。FZ(z)=P(Z163。z z1,)=P(X+Y163。)z,y0163。163。237。=242。242。2dxd239。D1239。1,z236。0,239。2, =237。z239。1,238。z0,0163。z163。1, z1.236。2z,fZ(z)=FZ162。(z)=237。238。0, 0163。z163。1,其它. 六、（10分）向一目標射擊，目標中心為坐標原點，已知命中點的橫坐標X和縱坐標Y相互獨立，且均服從N(0,2)分布. 求（1）命中環(huán)形區(qū)域D={(x,y)|1163。x+y163。2}的概率；（2）命中點到目標中心距離Z=222.1）P{X,Y)206。D}=242。242。f(x,y)dxdyD=1242。242。2p4Dx2+y28dxdy=18p242。242。 2p21er28rdrdq=242。21er28rd()=e82r282=ee；1x2+y281812（2）EZ=E=242。242。165。r28+165。165。1e8pr2dxdy1=8p242。242。 2p+165。0re1+165。rdrdq=242。e8r2dr40r28 =rer28+165。+242。 +165。0edr=242。+165。165。8dr=. r2七、（11分）設(shè)某機器生產(chǎn)的零件長度（單位：cm）X~N(m,s2)，今抽取容量為16的樣本，測得樣本均值=10，樣本方差s2=. （1）；（2）檢驗假設(shè)H0:s2163。（）. （附注）(16)=,(15)=,(15)=,222(16)=,(15)=,(15)=.解：（1）m的置信度為1a下的置信區(qū)間為(ta/2(n+ta/2(n =10,s=,n=16,a=,(15)=（，）2（2）H0:s2163。179。ca(n1).15S22=15180。=24， c=(15)= 2因為 c2=24=(15)，所以接受H0.2 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》期末試題（3）與解答 一、填空題（每小題3分，共15分）（1） 設(shè)事件A與B相互獨立，事件B與C互不相容，事件A與C互不相容，且P(A)=P(B)=，P(C)=，則事件A、B、C中僅C發(fā)生或僅C不發(fā)生的概率為___________.（2） 甲盒中有2個白球和3個黑球，乙盒中有3個白球和2個黑球，今從每個盒中各取2個球，發(fā)現(xiàn)它們是同一顏色的，則這顏色是黑色的概率為___________.（3） 設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)=237。236。2x,0x1, 現(xiàn)對X進行四次獨立重復(fù)觀238。0,其它,2察，則EY=___________.（4） 設(shè)二維離散型隨機變量(X,Y)的分布列為(X,Y)(1,0)(1,1)(2,0) 若EXY=，則Cov(X,Y)=____________.2(2,1)b（5） 設(shè)X1,X2,L,X17是總體N(m,4)的樣本，S是樣本方差，若P(S2a)=，則a=____________.2222 （注：(17)=, (17)=, (16)=, (16)=）解：（1）P(+)=P()+P()因為 A與C不相容，B與C不相容，所以201。C,201。C，故=C 同理 A=P(C+A. B)C=(P)+C(PA)=B0.+20.180。50.=5. （2）設(shè)A=‘四個球是同一顏色的’，B1=‘四個球都是白球’，B2=‘四個球都是黑球’則 A=B1+B2.所求概率為 P(B2|A)=P(AB2)P(B2) =P(A)P(B1)+P(B2)22C32C32C2C233 P(B1)=22= ,P(B2)=22=C5C5100C5C51001 所以 P(B2|A)=. 2（3）Y~B(4,p),(X163。)= 其中 p=PEY==1,DY=4441522 EY=DY+(EY)=+1=. 4412xdx=， 433， 441220（4）(X,Y)的分布為這是因為 a+b=，由EXY= 得 +2b=\a=,b=0. 3EXE=.=7. EX=+2180。=，EY= (Y,=)EXY 故 covX216S24a}= （5）P(Sa)=P42 即 c0，亦即 4a=32 \a=8. )(116= 二、單項選擇題（每小題3分，共15分）（1）設(shè)A、B、C為三個事件，P(AB)0且P(C|AB)=1，則有（A）P(C)163。P(A)+P(B)1. （B）P(C)163。P(AUB).（C）P(C)179。P(A)+P(B)1. （D）P(C)179。P(AUB). （ ）（2）設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)=(x+2)24,165。x165。 且Y=aX+b~N(0,1)，則在下列各組數(shù)中應(yīng)?。ˋ）a=1/2,b=1. （B）a=2,b（C）a=1/2,b=1. （D）a=2,b= （ ）（3）設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，其概率分布分別為 則有（A）P(X=Y)=0. （B）P(X=Y)=.（C）P(X=Y)=. （D）P(X=Y)=1. （ ）（4）對任意隨機變量X，若EX存在，則E[E(EX)]等于（A）0. （B）X. （C）EX. （D）(EX). （ ）（5）設(shè)x1,x2,L,xn為正態(tài)總體N(m,4)的一個樣本，表示樣本均值，則m的 置信度為1a的置信區(qū)間為 +ua/2 +ua/2 （B）(u1a/2 （A）(ua/2+ua （D）(ua/2+ua/2 （ ） 解 （1）由P(C|AB)=1知P(ABC)=P(AB)，故P(C)179。P(AB) （C）(uaP(C)179。P(AB)=P(A)+P(B)P(AUB)179。P(A)+P(B)1應(yīng)選C.（2）f(x)=(x+2)242= 即X~N(2 )b==時 Y=aX+b~N(0,1) 故當(dāng)a= 應(yīng)選B.（3）P(X=Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=1)=180。+180。=應(yīng)選C.（4）E[E(EX)]=EX應(yīng)選C.（5）因為方差已知，所以m的置信區(qū)間為 (ua/應(yīng)選D. 三、（8分）裝有10件某產(chǎn)品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丟失一件產(chǎn)品，但不知是幾等品，今從箱中任取2件產(chǎn)品，結(jié)果都 是一等品，求丟失的也是一等品的概率。解：設(shè)A=‘從箱中任取2件都是一等品’Bi=‘丟失i等號’ i=1,2,3.則 P(A)=P(1B)P(A|1B+),+au) P2(B)P(AB)2|+3 3A|B)P(B)P(21C43C521C522 =2+2+2=； 2C910C95C99所求概率為P(B1|A)=P(B1)P(A|B1)3=. P(A)8四、（10分）設(shè)隨機變量X的概率密度為236。ax+1,0163。x163。2, f(x)=,求（1）常數(shù)a； （2）X的分布函數(shù)F(x)； （3）P(1X3).