【正文】 F(∞)＝＝0, F(+∞)＝＝1 （iv） 對任意實數a和b（ab），有P(aξ≤b)＝P(ξ≤b）P(ξ≤a）＝F(b)– F(a)三、正態(tài)分布（Gauss 高斯分布）1. 正態(tài)分布的定義隨機變量的分布形式有多種，但最重要，最常用的是所謂的正態(tài)分布。自然界中許多隨機變量的分布均服從正態(tài)分布。此外，還有許多隨機變量近似服從正態(tài)分布。正態(tài)分布的數學表達式首先由高斯（Gauss）給出，所以也叫高斯分布。 設隨機變量ξ的分布密度函數為p(x）＝ （∞x+∞）其中μ和都是常數，且0，則稱ξ服從參數為μ和2的正態(tài)分布，記作N（μ，2）。為方便起見，常把隨機變量ξ服從參數為μ和2的正態(tài)分布簡記為ξ～ N（μ，2）。正態(tài)分布的分布函數為F（x）＝ （∞x+∞）特別的，當μ＝0和＝1時稱ξ服從標準正態(tài)分布，記作ξ～N(0，1)。此時，其分布密度函數用（x）表示，即（x）＝ (∞x+∞)相應地，分布函數用Φ（x）表示，即Φ（x）＝ (∞x+∞) 正態(tài)分布是一種十分重要的分布，在實際上也是最常見的一種分布，如產品的質量指標、人的身高、體重及測量的誤差等一般認為是服從正態(tài)分布的。 （面相、手相、算命等傳統(tǒng)民間文化，實質上就是把人的一生的命運按概率分布函數進行計算和推測！可是，這些分布密度函數經驗公式的適用條件是什么？？？）2. 正態(tài)分布密度函數的特點（i） p(x）≥0；（ii） ；（iii） p(x)的圖形對稱于x＝μ；（iv） 當x時 p(x)；（v） 在x＝μ處，p(x）有極大值。μ和是正態(tài)分布的兩個重要參數,決定著正態(tài)分布密度曲線的位置和形狀。μ決定位置，決定形狀。 標準正態(tài)分布函數Φ(x）＝在實際工作中廣泛應用，但它難以直接進行積分運算，通常是查表，參見書后的附表1。若ξ～N(0，1)，對任意ab，有P（aξ≤b）＝＝Φ(b)－Φ(a)Φ(b）和Φ(a）可從附表1中查得。若ξ～N(μ，2)，對任意αβ，有P（ξ≤β）＝四、隨機變量的數字特征（數學期望、方差）我們知道，隨機變量的分布函數（或分布密度、分布律）能很好地描述隨機變量的統(tǒng)計特征，但對于一個實際的問題要找出一個隨機變量的分布函數（或分布密度、分布律）不是一件很容易的事；另外，在實際上有時也并不要求出隨機變量的分布函數，而只要知道隨機變量的某些特征就可以了。它能部分地描述分布函數的特征。反映隨機變量的分布情形的某些特征數字，我們稱為隨機變量的數字特征。最常用且最重要的兩種數字特征是數學期望和方差。1．數學期望（均值）（1）數學期望的概念例：設對某食品的水分進行了n次測量，其中有m1次測得結果為x1，有m2次測得結果為x2，……，有mk次測得結果為xk，則測定結果的平均值為x1m1+x2m2+……+xkmk)=其中n=m1+m2+……+mk＝，mi為xi出現的頻數，為xi出現的頻率。因此，所求平均值為得到的諸量值以其出現的頻率為權的加權平均。由于頻率具有偶然性，所以我們用頻率的穩(wěn)定值——概率代替頻率，就消除了偶然性，從本質上反映了隨機變量的平均值。習慣上，我們把這個平均值稱為隨機變量ξ的數學期望或均值。數學期望的意思是通過大量觀察，可以期望這個隨機變量取這個值。下面分別討論離散型和連續(xù)型兩種隨機變量的數學期望的定義及其性質。（2）離散型隨機變量的數學期望定義：設ξ為離散型隨機變量，其分布率為ξx1 x2 …… xkPp1 p2 …… pk如果級數絕對收斂，則稱級數為隨機變量ξ的數學期望（或均值）并記作E（ξ），即E（ξ）＝顯然，對于分布已經確定的隨機變量來說，隨機變量的數學期望是一個常數。如果級數發(fā)散，則稱ξ的期望不存在。 數學期望是算術平均值概念的拓廣，說得明確些，就是概率意義下的平均，因而也稱數學期望為均值。（3） 連續(xù)型隨機變量的數學期望定義：設連續(xù)型隨機變量ξ的分布密度為p（x），若廣義積分絕對收斂，則E（ξ）＝稱為連續(xù)型隨機變量ξ的數學期望。例：設ξ～N（μ，），求E（ξ）解：E（ξ）＝＝＝μ∴正態(tài)分布N（μ，）中的參數μ就是ξ的數學期望。（4） 數學期望的性質（i） 若C為常數，則E（C）＝C（ii） 若ξ為一隨機變量，C為常數，則E（Cξ）＝C E(ξ)， E（C＋ξ）＝E（ξ）＋C（iii） 若ξ1和ξ2為兩個同類隨機變量(同為離散型或連續(xù)型隨機變量)則E（ξ1+ξ2）＝E（ξ1）+E（ξ2）（iv） 若ξ和η為相互獨立的隨機變量，則E（ξη）＝E（ξ） E（η）（1）方差的概念隨機變量ξ的數學期望E（ξ）反映了隨機變量取值的平均水平，但在許多實際中，只知道ξ的數學期望是不夠的，還要知道ξ的取值偏離期望的程度。為此，引進方差的概念。定義：設ξ為一隨機變量，如果其數學期望E（ξ）存在，則稱[ξE（ξ）]為隨機變量的ξ的離差。離差的平方的數學期望稱為隨機變量ξ的方差，記作D（ξ），即D（ξ）＝E{[ξE（ξ）]2}顯然，對任意隨機變量有D（ξ）≥0。[ξE（ξ）]2是隨機變量ξ的函數，是一個新的隨機變量，它的期望表示這個新的隨機變量取值的平均情況。D（ξ）大，則ξ與E（ξ）的偏差也大，離散程度越大。故D（ξ）定義域很好地反映了方差是描述隨機變量ξ與E（ξ）的偏離情況，也便于數學上的分析。方差的算術平方根稱為ξ的標準差或均方差，記作（ξ）＝.與數學期望一樣，對有確定分布的隨機變量來說，方差也是一個常量。（2）離散型隨機變量的方差設離散型隨機變量ξ的分布律為ξx1 x2 …… xkPp1 p2 …… pk則D（ξ）＝E{[ξE（ξ）]2}＝[xkE（ξ）]2 p（xk）（3）連續(xù)型隨機變量的方差若ξ為連續(xù)型隨機變量，p（x）為分布密度，則D（ξ）＝E{[ξE（ξ）]2}＝[xE（ξ）]2 p（x）dx方差D（ξ）表示ξ取值對E（ξ）的偏離程度，即ξ取值的發(fā)散程度，D（ξ）越大，表示ξ取值越發(fā)散，反之，表示ξ取值越集中在E（ξ）的附近。例：設ξ～N（μ，），求D（ξ）.解：∵E（ξ）＝μ ∴D（ξ）＝E{[ξE（ξ）]2}