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概率論與數理統(tǒng)計基礎-文庫吧

2025-07-21 08:41 本頁面


【正文】 F(∞)==0, F(+∞)==1 (iv) 對任意實數a和b(ab),有P(aξ≤b)=P(ξ≤b)P(ξ≤a)=F(b)– F(a)三、正態(tài)分布(Gauss 高斯分布)1. 正態(tài)分布的定義隨機變量的分布形式有多種,但最重要,最常用的是所謂的正態(tài)分布。自然界中許多隨機變量的分布均服從正態(tài)分布。此外,還有許多隨機變量近似服從正態(tài)分布。正態(tài)分布的數學表達式首先由高斯(Gauss)給出,所以也叫高斯分布。 設隨機變量ξ的分布密度函數為p(x)= (∞x+∞)其中μ和都是常數,且0,則稱ξ服從參數為μ和2的正態(tài)分布,記作N(μ,2)。為方便起見,常把隨機變量ξ服從參數為μ和2的正態(tài)分布簡記為ξ~ N(μ,2)。正態(tài)分布的分布函數為F(x)= (∞x+∞)特別的,當μ=0和=1時稱ξ服從標準正態(tài)分布,記作ξ~N(0,1)。此時,其分布密度函數用(x)表示,即(x)= (∞x+∞)相應地,分布函數用Φ(x)表示,即Φ(x)= (∞x+∞) 正態(tài)分布是一種十分重要的分布,在實際上也是最常見的一種分布,如產品的質量指標、人的身高、體重及測量的誤差等一般認為是服從正態(tài)分布的。 (面相、手相、算命等傳統(tǒng)民間文化,實質上就是把人的一生的命運按概率分布函數進行計算和推測!可是,這些分布密度函數經驗公式的適用條件是什么???)2. 正態(tài)分布密度函數的特點(i) p(x)≥0;(ii) ;(iii) p(x)的圖形對稱于x=μ;(iv) 當x時 p(x);(v) 在x=μ處,p(x)有極大值。μ和是正態(tài)分布的兩個重要參數,決定著正態(tài)分布密度曲線的位置和形狀。μ決定位置,決定形狀。 標準正態(tài)分布函數Φ(x)=在實際工作中廣泛應用,但它難以直接進行積分運算,通常是查表,參見書后的附表1。若ξ~N(0,1),對任意ab,有P(aξ≤b)==Φ(b)-Φ(a)Φ(b)和Φ(a)可從附表1中查得。若ξ~N(μ,2),對任意αβ,有P(ξ≤β)=四、隨機變量的數字特征(數學期望、方差)我們知道,隨機變量的分布函數(或分布密度、分布律)能很好地描述隨機變量的統(tǒng)計特征,但對于一個實際的問題要找出一個隨機變量的分布函數(或分布密度、分布律)不是一件很容易的事;另外,在實際上有時也并不要求出隨機變量的分布函數,而只要知道隨機變量的某些特征就可以了。它能部分地描述分布函數的特征。反映隨機變量的分布情形的某些特征數字,我們稱為隨機變量的數字特征。最常用且最重要的兩種數字特征是數學期望和方差。1.數學期望(均值)(1)數學期望的概念例:設對某食品的水分進行了n次測量,其中有m1次測得結果為x1,有m2次測得結果為x2,……,有mk次測得結果為xk,則測定結果的平均值為x1m1+x2m2+……+xkmk)=其中n=m1+m2+……+mk=,mi為xi出現的頻數,為xi出現的頻率。因此,所求平均值為得到的諸量值以其出現的頻率為權的加權平均。由于頻率具有偶然性,所以我們用頻率的穩(wěn)定值——概率代替頻率,就消除了偶然性,從本質上反映了隨機變量的平均值。習慣上,我們把這個平均值稱為隨機變量ξ的數學期望或均值。數學期望的意思是通過大量觀察,可以期望這個隨機變量取這個值。下面分別討論離散型和連續(xù)型兩種隨機變量的數學期望的定義及其性質。(2)離散型隨機變量的數學期望定義:設ξ為離散型隨機變量,其分布率為ξx1 x2 …… xkPp1 p2 …… pk如果級數絕對收斂,則稱級數為隨機變量ξ的數學期望(或均值)并記作E(ξ),即E(ξ)=顯然,對于分布已經確定的隨機變量來說,隨機變量的數學期望是一個常數。如果級數發(fā)散,則稱ξ的期望不存在。 數學期望是算術平均值概念的拓廣,說得明確些,就是概率意義下的平均,因而也稱數學期望為均值。(3) 連續(xù)型隨機變量的數學期望定義:設連續(xù)型隨機變量ξ的分布密度為p(x),若廣義積分絕對收斂,則E(ξ)=稱為連續(xù)型隨機變量ξ的數學期望。例:設ξ~N(μ,),求E(ξ)解:E(ξ)===μ∴正態(tài)分布N(μ,)中的參數μ就是ξ的數學期望。(4) 數學期望的性質(i) 若C為常數,則E(C)=C(ii) 若ξ為一隨機變量,C為常數,則E(Cξ)=C E(ξ), E(C+ξ)=E(ξ)+C(iii) 若ξ1和ξ2為兩個同類隨機變量(同為離散型或連續(xù)型隨機變量)則E(ξ1+ξ2)=E(ξ1)+E(ξ2)(iv) 若ξ和η為相互獨立的隨機變量,則E(ξη)=E(ξ) E(η)(1)方差的概念隨機變量ξ的數學期望E(ξ)反映了隨機變量取值的平均水平,但在許多實際中,只知道ξ的數學期望是不夠的,還要知道ξ的取值偏離期望的程度。為此,引進方差的概念。定義:設ξ為一隨機變量,如果其數學期望E(ξ)存在,則稱[ξE(ξ)]為隨機變量的ξ的離差。離差的平方的數學期望稱為隨機變量ξ的方差,記作D(ξ),即D(ξ)=E{[ξE(ξ)]2}顯然,對任意隨機變量有D(ξ)≥0。[ξE(ξ)]2是隨機變量ξ的函數,是一個新的隨機變量,它的期望表示這個新的隨機變量取值的平均情況。D(ξ)大,則ξ與E(ξ)的偏差也大,離散程度越大。故D(ξ)定義域很好地反映了方差是描述隨機變量ξ與E(ξ)的偏離情況,也便于數學上的分析。方差的算術平方根稱為ξ的標準差或均方差,記作(ξ)=.與數學期望一樣,對有確定分布的隨機變量來說,方差也是一個常量。(2)離散型隨機變量的方差設離散型隨機變量ξ的分布律為ξx1 x2 …… xkPp1 p2 …… pk則D(ξ)=E{[ξE(ξ)]2}=[xkE(ξ)]2 p(xk)(3)連續(xù)型隨機變量的方差若ξ為連續(xù)型隨機變量,p(x)為分布密度,則D(ξ)=E{[ξE(ξ)]2}=[xE(ξ)]2 p(x)dx方差D(ξ)表示ξ取值對E(ξ)的偏離程度,即ξ取值的發(fā)散程度,D(ξ)越大,表示ξ取值越發(fā)散,反之,表示ξ取值越集中在E(ξ)的附近。例:設ξ~N(μ,),求D(ξ).解:∵E(ξ)=μ ∴D(ξ)=E{[ξE(ξ)]2}
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