【正文】 率為權(quán)的加權(quán)平均。最常用且最重要的兩種數(shù)字特征是數(shù)學(xué)期望和方差。它能部分地描述分布函數(shù)的特征。若ξ～N(0，1)，對任意ab，有P（aξ≤b）＝＝Φ(b)－Φ(a)Φ(b）和Φ(a）可從附表1中查得。μ決定位置，決定形狀。 （面相、手相、算命等傳統(tǒng)民間文化，實質(zhì)上就是把人的一生的命運按概率分布函數(shù)進行計算和推測！可是，這些分布密度函數(shù)經(jīng)驗公式的適用條件是什么？？？）2. 正態(tài)分布密度函數(shù)的特點（i） p(x）≥0；（ii） ；（iii） p(x)的圖形對稱于x＝μ；（iv） 當x時 p(x)；（v） 在x＝μ處，p(x）有極大值。正態(tài)分布的分布函數(shù)為F（x）＝ （∞x+∞）特別的，當μ＝0和＝1時稱ξ服從標準正態(tài)分布，記作ξ～N(0，1)。 設(shè)隨機變量ξ的分布密度函數(shù)為p(x）＝ （∞x+∞）其中μ和都是常數(shù)，且0，則稱ξ服從參數(shù)為μ和2的正態(tài)分布，記作N（μ，2）。此外，還有許多隨機變量近似服從正態(tài)分布。根據(jù)定義，隨機變量的分布函數(shù)F（x）具有以下性質(zhì)：（i） F(x)是一個非減函數(shù)，即若x1x2，則必有F(x1) F(x2)（ii） 0≤F（x）≤1（iii） F(∞)＝＝0, F(+∞)＝＝1 （iv） 對任意實數(shù)a和b（ab），有P(aξ≤b)＝P(ξ≤b）P(ξ≤a）＝F(b)– F(a)三、正態(tài)分布（Gauss 高斯分布）1. 正態(tài)分布的定義隨機變量的分布形式有多種，但最重要，最常用的是所謂的正態(tài)分布。對連續(xù)型隨機變量ξ，p(x)為其分布密度，則分布函數(shù)為F（x）＝P（ξ≤x）＝ （－∞x+∞）如圖14所示。對離散型隨機變量ξ，分布函數(shù)為F（x）＝P（ξ≤x）＝，(k=0,1,2,……。 概率分布密度函數(shù)p（x）的圖形如圖1－2所示。注意，對連續(xù)型隨機變量，任一點的概率均為零，因為p（x）在任一點上的積分為零。分布密度函數(shù)p（x）具有以下性質(zhì)：（i） p（x）≥0（ii） 這兩條性質(zhì)可以作為判斷一個函數(shù)是否可以作為一個連續(xù)型隨機變量的分布密度的條件。定義：若隨機變量ξ的分布函數(shù)F（x）恰好是某個非負函數(shù)p（x）在（∞，x）上的積分，即F(x)＝則稱ξ為連續(xù)型隨機變量，稱p（x）為ξ的概率分布密度函數(shù)（簡稱為分布密度或密度函數(shù)）。對這類隨機變量的概率分布規(guī)律的描述通常是以研究“隨機變量在某個區(qū)間上取值的概率”來實現(xiàn)的。由概率的基本性質(zhì)可知，概率分布具有以下性質(zhì)：（i） 0≤p(xk)≤1 (k=0,1,2……)（ii）＝1 這兩條性質(zhì)可以作為檢驗一張表能否成為一個離散型隨機變量的分布律的條件。例如，要檢驗一批產(chǎn)品的質(zhì)量，從中任意抽取5件，僅僅知道次品數(shù)ξ的可能取值（0，1，2，3，4，5）還不夠，還應(yīng)當知道“次品數(shù)為0”的概率有多大，“次品數(shù)為1”的概率有多大，……，“次品數(shù)為5”的概率有多大，只有這樣才能對產(chǎn)品中的次品情況有一個較全面的了解。非離散型隨機變量的取值不能一一列舉出來，情況比較復(fù)雜，其中最重要的，在實際中最常見的是連續(xù)型隨機變量。隨機變量分為離散型和非離散型兩類。 隨機變量與一般實變量不同，它是隨機的，即它的取值有一定的概率。經(jīng)這樣規(guī)定后，隨機事件就可以用一個數(shù)來表示了。事實上，很多事都和量有關(guān)。但也有些隨機事件無數(shù)量標識，如擲一枚硬幣時，試驗結(jié)果為“正面朝上”或“反面朝上”，而不是數(shù)量。即事件A的概率就是事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值（p）。這個常數(shù)是客觀存在的，與所做的若干次具體試驗無關(guān)，它反映了事件本身所蘊含的規(guī)律性，反映了事件出現(xiàn)的可能性大小。設(shè)A為某試驗可能出現(xiàn)的隨機事件，在同樣條件下，該試驗重復(fù)做n次，事件A出現(xiàn)了m次（0≤m≤n），則稱m為A在這n次試驗中出現(xiàn)的頻數(shù)，稱m/n為A在這n次試驗中出現(xiàn)的頻率。為便于研究，我們將隨機事件A發(fā)生的可能性的大小用一個數(shù)值p來表示，并把這個數(shù)值p叫做事件A的概率。但在大量重復(fù)試驗下，并把這些試驗結(jié)果綜合在一起，就可以看出支配這些偶然性的某種必然規(guī)律性來。隨機事件（A、B……）：指一定條件下，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件。第1章 概率論與數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)一、隨機事件與概率1. 隨機事件－－簡稱事件自然界中的事件可分為必然事件、不可能事件和隨機事件三種：必然事件（U）：指在一定條件下必然發(fā)生的事件，如“1atm下水加熱至100℃時沸騰”是必然事件。不可能事件（V）：指在一定條件下不發(fā)生的事件，如“1atm下水加熱至50℃時沸騰”是不可能事件。2. 概率與頻率對每一次試驗而言，隨機事件是否發(fā)生是帶有偶然性的。實踐證明，隨機事件發(fā)生的可能性大小是它本身所固有的屬性，不隨人們的主觀意愿而轉(zhuǎn)移，并且這種屬性可以通過大量試驗來認識。記作：P（A）＝p 為了確定事件A的概率p，首先必須說明頻率的概念。（見書上表11）頻率m/n本身不是常數(shù)，它與試驗次數(shù)n有關(guān)，隨著試驗次數(shù)n的增加，頻率總是在某一常數(shù)附近擺動，而且n愈大，頻率與這個常數(shù)的偏差往往愈小，這種性質(zhì)叫做頻率的穩(wěn)定性。因此，這個常數(shù)（p）就是事件A的概率。P（A）＝p拋擲硬幣試驗試驗者投擲次數(shù) n出現(xiàn)正面次數(shù) m出現(xiàn)正面頻率 m/n蒲 豐40402048皮爾遜120006019皮爾遜2400012012維 尼30000149943. 概率的基本性質(zhì) 0≤P（A）≤1 即任何事件的概率都介于0和1之間 P(U)=1 即必然事件的概率為1 P(V)=0 即不可能事件的概率為0二、隨機變量及其概率分布1. 隨機變量的概念有些隨機事件有數(shù)量標識，如射擊時命中的環(huán)數(shù)，擲一枚骰子所出現(xiàn)的點數(shù)等等。這會使我們感到不太方便，能否用量來代替事？這就促使我們引入隨機變量的概念。例如，擲硬幣時“正面朝上”或“反面朝上”這兩件事，我們可以分別記為“0”或“1”。試驗結(jié)果能用一個數(shù)ξ(希臘字母，讀“克西”)來表示，這個數(shù)ξ隨試驗結(jié)果不同而變化，我們稱ξ為隨機變量。擲硬幣試驗時，隨機變量ξ的取值為0或1。離散型隨機變量取值為有限個或無限可列個。2. 隨機變量的概率分布（1） 離散型隨機變量 掌握離散型隨機變量的變化規(guī)律，除了要了解它的取值以外，更重要的是還要了解它取各可能值的概率是多少。設(shè)離散型隨機變