【正文】 量ξ的所有可能取值為x0，x1，……，xk，……，ξ取各個可能值的概率為P(ξ＝xk)＝p(xk) (k=0,1,2……) （11）（12）則稱式（1－1）為離散型隨機變量ξ的概率分布或分布律（也稱概率函數(shù)），若將其用表格形式表示，則為ξx0x1 ……xk ……pp(x0)p(x1 )……p(xk ) …… 若用圖形表示，則如課本上的圖11所示。（2） 連續(xù)型隨機變量的分布密度離散型隨機變量的概率分布的變化規(guī)律可以用分布律來描述，但是這種方法不適用于連續(xù)型隨機變量，因為后者的取值無法一一列舉出來，因此不能用分布律的形式來描述。為此，我們引入概率分布密度函數(shù)的概念。稱ξ的分布為連續(xù)型分布。（iii） P（aξ≤b）= F(b) F(a) 顯然，一旦知道了分布密度p（x），即可求出ξ在任何實數(shù)區(qū)間（a，b]上取值的概率，即（aξ≤b ）這件事的概率等于分布密度函數(shù)p（x）從a到b的積分。因此，概率為零的事件未必不發(fā)生，而概率為1的事件未必發(fā)生！ （iv） 在p（x）的連續(xù)點處，有F′(x)＝p(x)。3. 隨機變量的分布函數(shù)若ξ是一個隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)F（x）＝P(ξ≤x)稱為隨機變量ξ的概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)?！辺+∞)如圖13所示。連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)的幾何意義是，分布函數(shù)等于位于x左方的分布密度曲線下的面積。自然界中許多隨機變量的分布均服從正態(tài)分布。正態(tài)分布的數(shù)學表達式首先由高斯（Gauss）給出，所以也叫高斯分布。為方便起見，常把隨機變量ξ服從參數(shù)為μ和2的正態(tài)分布簡記為ξ～ N（μ，2）。此時，其分布密度函數(shù)用（x）表示，即（x）＝ (∞x+∞)相應地，分布函數(shù)用Φ（x）表示，即Φ（x）＝ (∞x+∞) 正態(tài)分布是一種十分重要的分布，在實際上也是最常見的一種分布，如產(chǎn)品的質(zhì)量指標、人的身高、體重及測量的誤差等一般認為是服從正態(tài)分布的。μ和是正態(tài)分布的兩個重要參數(shù),決定著正態(tài)分布密度曲線的位置和形狀。 標準正態(tài)分布函數(shù)Φ(x）＝在實際工作中廣泛應用，但它難以直接進行積分運算，通常是查表，參見書后的附表1。若ξ～N(μ，2)，對任意αβ，有P（ξ≤β）＝四、隨機變量的數(shù)字特征（數(shù)學期望、方差）我們知道，隨機變量的分布函數(shù)（或分布密度、分布律）能很好地描述隨機變量的統(tǒng)計特征，但對于一個實際的問題要找出一個隨機變量的分布函數(shù)（或分布密度、分布律）不是一件很容易的事；另外，在實際上有時也并不要求出隨機變量的分布函數(shù)，而只要知道隨機變量的某些特征就可以了。反映隨機變量的分布情形的某些特征數(shù)字，我們稱為隨機變量的數(shù)字特征。1．數(shù)學期望（均值）（1）數(shù)學期望的概念例：設對某食品的水分進行了n次測量，其中有m1次測得結(jié)果為x1，有m2次測得結(jié)果為x2，……，有mk次測得結(jié)果為xk，則測定結(jié)果的平均值為x1m1+x2m2+……+xkmk)=其中n=m1+m2+……+mk＝，mi為xi出現(xiàn)的頻數(shù)，為xi出現(xiàn)的頻率。由于頻率具有偶然性，所以我們用頻率的穩(wěn)定值——概率代替頻率，就消除了偶然性，從本質(zhì)上反映了隨機變量的平均值。數(shù)學期望的意思是通過大量觀察，可以期望這個隨機變量取這個值。（2）離散型隨機變量的數(shù)學期望定義：設ξ為離散型隨機變量，其分布率為ξx1 x2 …… xkPp1 p2 …… pk如果級數(shù)絕對收斂，則稱級數(shù)為隨機變量ξ的數(shù)學期望（或均值）并記作E（ξ），即E（ξ）＝顯然，對于分布已經(jīng)確定的隨機變量來說，隨機變量的數(shù)學期望是一個常數(shù)。 數(shù)學期望是算術平均值概念的拓廣，說得明確些，就是概率意義下的平均，因而也稱數(shù)學期望為均值。例：設ξ～N（μ，），求E（ξ）解：E（ξ）＝＝＝μ∴正態(tài)分布N（μ，）中的參數(shù)μ就是ξ的數(shù)學期望。為此，引進方差的概念。離差的平方的數(shù)學期望稱為隨機變量ξ的方差，記作D（ξ），即D（ξ）＝E{[ξE（ξ）]2}顯然，對任意隨機變量有D（ξ）≥0。D（ξ）大，則ξ與E（ξ）的偏差也大，離散程度越大。方差的算術平方根稱為ξ的標準差或均方差，記作（ξ）＝.與數(shù)學期望一樣，對有確定分布的隨機變量來說，方差也是一個常量。例：設ξ～N（μ，），求D（ξ）.解：∵E（ξ）＝μ ∴D（ξ）＝E{[ξE（ξ）]2}＝[xE（ξ）]2 p（x）dx＝＝即D（ξ）＝（4）方差的性質(zhì)（i）C=常數(shù)， D（C）＝0（ii）D（Cξ）＝C2 D（ξ） D（C+ξ）＝D（ξ）（iii）ξ和η相互獨立 D（η+ξ）＝D（η）+D（ξ）（iv）D（ξ）＝E（ξ2） [E（ξ）]2 統(tǒng)計量及其分布一．基本概念總體與樣本（1）總體與個體在數(shù)理統(tǒng)計學中，我們把研究對象的全體稱為總體，把構(gòu)成總體的每一個個別對象稱為個體。如果一個總體ξ服從正態(tài)分布，即ξ～N（μ，），則稱ξ為正態(tài)總體。從總體中隨機地抽取n個個體（ξξ2……ξn），則（ξξ2……ξn）為總體的一個樣本。由于（ξξ2……ξn）是從總體中隨機抽取的，所以ξξ2……ξn分別為n個隨機變量。（3）簡單隨機樣本樣本通常只占總體的很小部分，因此，可以認為每次抽取一個個體之后，總體的分布并不會發(fā)生改變。符合上述2個條件的抽樣方法稱為簡單隨機抽樣，所獲得的樣本成為簡單隨機樣本。因為樣本是隨機變量，所以作為樣本的函數(shù)的統(tǒng)計量也是一個隨機變量。若（ξξ2……ξn）為總體ξ的一個樣本，如果樣本的函數(shù)f（ξξ2……ξn）不包含其它未知參數(shù)，則稱f（ξξ2……ξn）為總體的一個統(tǒng)計量。設從總體中隨機抽取一個容量為n的樣本，樣本值為xx2……xn，則稱為樣本均值，稱為樣本方差（S稱為樣本均方差或樣本標準差），稱R＝max（xx2……xn）－min（xx2……xn）為樣本極差。二．統(tǒng)計量的分布（）的分布設（ξξ2……ξn）為來自正態(tài)總體ξ～N（μ，）的一個樣本，樣本均值為，則可證明～N（μ，/n） ～N（0，1）這說明樣本均值的取值比總體ξ的取值更緊密地集中在總體均值μ的周圍，集中的程度與樣本容量n的大小有關。定理：設（ξξ2……ξn）為來自正態(tài)總體N（μ1，）的一個樣本，(ηη2……ηn)為來自正態(tài)總體N（μ