【正文】 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》試題（1） 一 、 判斷題（本題共15分，每小題3分。正確打“√”，錯(cuò)誤打“”）⑴ 對(duì)任意事件A和B，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 設(shè)A、B是Ω中的隨機(jī)事件,則(A∪B)B=A ( ) ⑶ 若X服從參數(shù)為λ的普哇松分布，則EX=DX ( ) ⑷ 假設(shè)檢驗(yàn)基本思想的依據(jù)是小概率事件原理 （ ） ⑸ 樣本方差S2n=1n229。(Xi=1niX)2是母體方差DX的無(wú)偏估計(jì) （ ）二 、（20分）設(shè)A、B、C是Ω中的隨機(jī)事件，將下列事件用A、B、C表示出來(lái)（1）僅A發(fā)生，B、C都不發(fā)生；（2）A,B,C中至少有兩個(gè)發(fā)生；（3）A,B,C中不多于兩個(gè)發(fā)生；（4）A,B,C中恰有兩個(gè)發(fā)生；（5）A,B,C中至多有一個(gè)發(fā)生。三、（15分） 把長(zhǎng)為a的棒任意折成三段，求它們可以構(gòu)成三角形的概率.四、（10分） 已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為XP22101111156515311 301|x|e ，165。＜ x＜165。， 2求Y=X的分布列. 五、（10分）設(shè)隨機(jī)變量X具有密度函數(shù)f(x)=求X的數(shù)學(xué)期望和方差.六、（15分）某保險(xiǎn)公司多年的資料表明，在索賠戶(hù)中，被盜索賠戶(hù)占20%，以X表示在隨機(jī)抽查100個(gè)索賠戶(hù)中因被盜而向保險(xiǎn)公司索賠的戶(hù)數(shù)，求P(14163。X163。30). x 0 1 2 3 Ф(x) 七、（15分）設(shè)X1,X2,L,Xn是來(lái)自幾何分布P(X=k)=p(1p)k1,k=1,2,L,0p1，的樣本，試求未知參數(shù)p的極大似然估計(jì). 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》試題（1）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一 ⑴ ；⑵ ；⑶ √；⑷ √；⑸ 。二 解 （1）（2）ABUACUBC或ABCUUU；（3）UU或UUUUUU；（4）UU；（5）UU或UUU每小題4分；三 解 設(shè)A=‘三段可構(gòu)成三角形’，又三段的長(zhǎng)分別為x,y,axy，則0xa,0ya,0x+y，aaax+yaA發(fā)生219。0x,0y,222 不等式確定S的子域A，10分所以P(A)=四 解 Y的分布列為 A的面積1= 15分 S的面積4 1P5五 解 EX=+165。Y1730415911 . 30 Y的取值正確得2分，分布列對(duì)一組得2分； 1|x|x（因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù)）4分 242。165。2dx=0，+165。+165。12x2e|x|dx=242。x2exdx DX=EX=242。165。02=xe2x+165。0+2242。+242。+165。0+165。0xexdx exdx]= =2[xex+165。0六 解 X～b(k。100,), EX=100=20, DX=100=F10分 =F()F() P(14163。X163。30)187。F =+=nL,xnp。=)七 解 L(x1,213。pi=1n(p1xi1)=pn229。xinp(1i=1)5分lnL=nlnp+(229。Xi=1nnin)ln(1p),XindlnLn229。=i=1@0,10分 dpp1p解似然方程n+229。Xini=1 ， =p1p得p的極大似然估計(jì)1p=。15分 @ n 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》期末試題（2）與解答 一、填空題（每小題3分，共15分）1． 設(shè)事件A,，且P(A)+P(B)=，則A,B至少有一個(gè)不發(fā)生的概率為_(kāi)_________.2． 設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布，且P(X163。1)=4P(X=2)，則P(X=3)=______.3． 設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(0,2)上服從均勻分布，則隨機(jī)變量Y=X在區(qū)間(0,4) f(x)=237。 q1. 239。其它238。0,X1,X2,L,Xn是來(lái)自X的樣本，則未知參數(shù)q的極大似然估計(jì)量為_(kāi)________. 解：1．P(A+B)=即 =P(A)+P(B)=P(A)P(AB)+P(B)P(AB)=(AB)所以 P(AB)=P(U)=P(AB)=1P(AB)=.2．P(X163。1)=P(X=0)+P(X=1)=el+le,lP(X=2)=l22el由 P(X163。1)=4P(X=2) 知 el+lel=2l2el2 即 2ll1=0 解得 l=1，故11e. 63．設(shè)Y的分布函數(shù)為FY(y),X的分布函數(shù)為F(x)，密度為fX(x)則P(X=3)= FY(y)=P(Y163。y)=P(X163。2y)=y163。)yX)Xy )y 因?yàn)閄~U(0,2)，所以FX(=0，即FY(y)=FX故0y4,fY(y)=FY162。(y)=fX=0,另解 在(0,2)上函數(shù)y=x2嚴(yán)格單調(diào)，反函數(shù)為h(y)所以0y4,fY(y)=fX= 238。0,其它.4．P(X1)=1P(X163。1)=el=e2，故 l=2P{min(X,Y)163。1}=1P{min(X,Y)1}=1P(X1)P(Y1) =1e4.5．似然函數(shù)為 L(x1,L,xn。q)=213。(q+1)xq=(q+1)(x,L,x)q ni1ni=1nlnL=nln(q+1)+q229。lnxi=1nindlnLn =+229。lnxi@0 dqq+1i=1解似然方程得q的極大似然估計(jì)為$= q11n229。lnxini=11. 二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1．設(shè)A,B,C為三個(gè)事件，且A,B相互獨(dú)立，則以下結(jié)論中不正確的是（A）若P(C)=1，則AC與BC也獨(dú)立.（B）若P(C)=1，則AUC與B也獨(dú)立.（C）若P(C)=0，則AUC與B也獨(dú)立.（D）若C204。B，則A與C也獨(dú)立. （ ）2．設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1),X的分布函數(shù)為F(x)，則P(|X|2)的值為（A）2[1F(2)]. （B）2F(2)1.（C）2F(2). （D）12F(2). （ ）3．設(shè)隨機(jī)變量X和Y不相關(guān)，則下列結(jié)論中正確的是（A）X與Y獨(dú)立. （B）D(XY)=DX+DY.（C）D(XY)=DXDY. （D）D(XY)=DXDY. （ ）4．設(shè)離散型隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率分布為(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1111Pab69183若X,Y獨(dú)立，則a,b的值為2112 （A）a=,b=. （A）a=,b=. 99991151,b=. （ ） （C） a=,b= （D）a=6618185．設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望為m,X1,X2,L,Xn為來(lái)自X的樣本，則下列結(jié)論中正確的是（A）X1是m的無(wú)偏估計(jì)量. （B）X1是m的極大似然估計(jì)量.（C）X1是m的相合（一致）估計(jì)量. （D）X1不是m的估計(jì)量. （ ）解：1．因?yàn)楦怕蕿?的事件和概率為0的事件與任何事件獨(dú)立，所以（A），（B），（C）都是正確的，只能選（D）.事實(shí)上由圖 可見(jiàn)A與C不獨(dú)立.2．X~N(0,1)所以P(|X|2)=1P(|X|163。2)=1P(2X163。2)(2)+F(2)=1[2F(2) =1F3．由不相關(guān)的等價(jià)條件知應(yīng)選（B）.4．若X,Y獨(dú)立則有1]=2[1 F 應(yīng)選（A）. a=P(X=2,Y=2)=P(X=2)P(Y=2) 1121 =(+a+b)(+a)=(+a) 393921 \a=， b= 99 故應(yīng)選（A）.5．EX1=m，所以X1是m的無(wú)偏估計(jì)，應(yīng)選（A）. 三、（7分）已知一批產(chǎn)品中90%是合格品，檢查時(shí)，一個(gè)合格品被誤認(rèn)為是次品的概率為，求（1）一個(gè)產(chǎn)品經(jīng)檢查后被認(rèn)為是合格品的概率；（2）一個(gè)經(jīng)檢查后被認(rèn)為是合格品的產(chǎn)品確是合格品的概率.解：設(shè)A=‘任取一產(chǎn)品，經(jīng)檢驗(yàn)認(rèn)為是合格品’B=‘任取一產(chǎn)品確是合格品’則（1） P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=180。+180。=.（2） P(B|A)=P(AB)180。==. P(A)四、（12分）從學(xué)校乘汽車(chē)到火車(chē)站的途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是2/5. 設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布列、分布函數(shù)、數(shù)學(xué)期望和方差.解：X的概率分布為P(X=k)=C3()()k25k353kk=0,1,2,3.X即 P02712515412523612538 125X的分布函數(shù)為236。0,239。27239。,