概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)(已修改)
2025-08-17 08:41 本頁面
【正文】 第1章 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)一、隨機(jī)事件與概率1. 隨機(jī)事件－－簡稱事件自然界中的事件可分為必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件三種：必然事件（U）：指在一定條件下必然發(fā)生的事件，如“1atm下水加熱至100℃時(shí)沸騰”是必然事件。不可能事件（V）：指在一定條件下不發(fā)生的事件，如“1atm下水加熱至50℃時(shí)沸騰”是不可能事件。隨機(jī)事件（A、B……）：指一定條件下，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件。2. 概率與頻率對(duì)每一次試驗(yàn)而言，隨機(jī)事件是否發(fā)生是帶有偶然性的。但在大量重復(fù)試驗(yàn)下，并把這些試驗(yàn)結(jié)果綜合在一起，就可以看出支配這些偶然性的某種必然規(guī)律性來。實(shí)踐證明，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小是它本身所固有的屬性，不隨人們的主觀意愿而轉(zhuǎn)移，并且這種屬性可以通過大量試驗(yàn)來認(rèn)識(shí)。為便于研究，我們將隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性的大小用一個(gè)數(shù)值p來表示，并把這個(gè)數(shù)值p叫做事件A的概率。記作：P（A）＝p 為了確定事件A的概率p，首先必須說明頻率的概念。設(shè)A為某試驗(yàn)可能出現(xiàn)的隨機(jī)事件，在同樣條件下，該試驗(yàn)重復(fù)做n次，事件A出現(xiàn)了m次（0≤m≤n），則稱m為A在這n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻數(shù)，稱m/n為A在這n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率。（見書上表11）頻率m/n本身不是常數(shù)，它與試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān)，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增加，頻率總是在某一常數(shù)附近擺動(dòng)，而且n愈大，頻率與這個(gè)常數(shù)的偏差往往愈小，這種性質(zhì)叫做頻率的穩(wěn)定性。這個(gè)常數(shù)是客觀存在的，與所做的若干次具體試驗(yàn)無關(guān)，它反映了事件本身所蘊(yùn)含的規(guī)律性，反映了事件出現(xiàn)的可能性大小。因此，這個(gè)常數(shù)（p）就是事件A的概率。即事件A的概率就是事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值（p）。P（A）＝p拋擲硬幣試驗(yàn)試驗(yàn)者投擲次數(shù) n出現(xiàn)正面次數(shù) m出現(xiàn)正面頻率 m/n蒲 豐40402048皮爾遜120006019皮爾遜2400012012維 尼30000149943. 概率的基本性質(zhì) 0≤P（A）≤1 即任何事件的概率都介于0和1之間 P(U)=1 即必然事件的概率為1 P(V)=0 即不可能事件的概率為0二、隨機(jī)變量及其概率分布1. 隨機(jī)變量的概念有些隨機(jī)事件有數(shù)量標(biāo)識(shí)，如射擊時(shí)命中的環(huán)數(shù)，擲一枚骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)等等。但也有些隨機(jī)事件無數(shù)量標(biāo)識(shí)，如擲一枚硬幣時(shí)，試驗(yàn)結(jié)果為“正面朝上”或“反面朝上”，而不是數(shù)量。這會(huì)使我們感到不太方便，能否用量來代替事？這就促使我們引入隨機(jī)變量的概念。事實(shí)上，很多事都和量有關(guān)。例如，擲硬幣時(shí)“正面朝上”或“反面朝上”這兩件事，我們可以分別記為“0”或“1”。經(jīng)這樣規(guī)定后，隨機(jī)事件就可以用一個(gè)數(shù)來表示了。試驗(yàn)結(jié)果能用一個(gè)數(shù)ξ(希臘字母，讀“克西”)來表示，這個(gè)數(shù)ξ隨試驗(yàn)結(jié)果不同而變化，我們稱ξ為隨機(jī)變量。 隨機(jī)變量與一般實(shí)變量不同，它是隨機(jī)的，即它的取值有一定的概率。擲硬幣試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)變量ξ的取值為0或1。隨機(jī)變量分為離散型和非離散型兩類。離散型隨機(jī)變量取值為有限個(gè)或無限可列個(gè)。非離散型隨機(jī)變量的取值不能一一列舉出來，情況比較復(fù)雜，其中最重要的，在實(shí)際中最常見的是連續(xù)型隨機(jī)變量。2. 隨機(jī)變量的概率分布（1） 離散型隨機(jī)變量 掌握離散型隨機(jī)變量的變化規(guī)律，除了要了解它的取值以外，更重要的是還要了解它取各可能值的概率是多少。例如，要檢驗(yàn)一批產(chǎn)品的質(zhì)量，從中任意抽取5件，僅僅知道次品數(shù)ξ的可能取值（0，1，2，3，4，5）還不夠，還應(yīng)當(dāng)知道“次品數(shù)為0”的概率有多大，“次品數(shù)為1”的概率有多大，……，“次品數(shù)為5”的概率有多大，只有這樣才能對(duì)產(chǎn)品中的次品情況有一個(gè)較全面的了解。設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為x0，x1，……，xk，……，ξ取各個(gè)可能值的概率為P(ξ＝xk)＝p(xk) (k=0,1,2……) （11）（12）則稱式（1－1）為離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布或分布律（也稱概率函數(shù)），若將其用表格形式表示，則為ξx0x1 ……xk ……pp(x0)p(x1 )……p(xk ) …… 若用圖形表示，則如課本上的圖11所示。由概率的基本性質(zhì)可知，概率分布具有以下性質(zhì)：（i） 0≤p(xk)≤1 (k=0,1,2……)（ii）＝1 這兩條性質(zhì)可以作為檢驗(yàn)一張表能否成為一個(gè)離散型隨機(jī)變量的分布律的條件。（2） 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度離散型隨機(jī)變量的概率分布的變化規(guī)律可以用分布律來描述，但是這種方法不適用于連續(xù)型隨機(jī)變量，因?yàn)楹笳叩娜≈禑o法一一列舉出來，因此不能用分布律的形式來描述。對(duì)這類隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律的描述通常是以研究“隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間上取值的概率”來實(shí)現(xiàn)的。為此，我們引入概率分布密度函數(shù)的概念。定義：若隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù)F（x）恰好是某個(gè)非負(fù)函數(shù)p（x）在（∞，x）上的積分，即F(x)＝則稱ξ為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱p（x）為ξ的概率分布密度函數(shù)（簡稱為分布密度或密度函數(shù)）。稱ξ的分布為連續(xù)型分布。分布密度函數(shù)p（x）具有以下性質(zhì)：（i） p（x）≥0（ii） 這兩條性質(zhì)可以作為判斷一個(gè)函數(shù)是否可以作為一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度的條件。（iii） P（aξ≤b）= F(b) F(a) 顯然，一旦知道了分布密度p（x），即可求出ξ在任何實(shí)數(shù)區(qū)間（a，b]上取值的概率，即（aξ≤b ）這件事的概率等于分布密度函數(shù)p（x）從a到b的積分。注意，對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量，任一點(diǎn)的概率均為零，因?yàn)閜（x）在任一點(diǎn)上的積分為零。因此，概率為零的事件未必不發(fā)生，而概率為1的事件未必發(fā)生！ （iv） 在p（x）的連續(xù)點(diǎn)處，有F′(x)＝p(x)。 概率分布密度函數(shù)p（x）的圖形如圖1－2所示。3. 隨機(jī)變量的分布函數(shù)若ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)F（x）＝P(ξ≤x)稱為隨機(jī)變量ξ的概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。對(duì)離散型隨機(jī)變量ξ，分布函數(shù)為F（x）＝P（ξ≤x）＝，(k=0,1,2,……。∞x+∞)如圖13所示。對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量ξ，p(x)為其分布密度，則分布函數(shù)為F（x）＝P（ξ≤x）＝ （－∞x+∞）如圖14所示。連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的幾何意義是，分布函數(shù)等于位于x左方的分布密度曲線下的面積。根據(jù)定義，隨機(jī)變量的分布函數(shù)F（x）具有以下性質(zhì)：（i） F(x)是一個(gè)非減函數(shù)，即若x1x2，則必有F(x1) F(x2)（ii） 0≤F（x）≤1（iii）
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