【文章內容簡介】 解：（1）1= ∴ a=242。+165。165。a2f(x)dx=242。(ax+1)dx=(x2+x)0=2a+202212（2）X的分布函數(shù)為236。0,239。xxu239。F(x)=242。fu(du)=237。242。(du)165。02239。239。238。1,x0,236。0,239。x2239。,0163。x163。2, =237。x4239。x,（3）P(1x3)=x0,163。x0163。x2.2,242。31x1f(x)dx=242。(1)dx=.1242五、（12分）設(X,Y)的概率密度為236。ex,0yx,f(x,y)=237。,求（1）邊緣概率密度fX(x),fY(y)； （2）P(X+Y1)； （3）Z=X+Y的概率密度fZ(z).,x163。0236。0,236。0239。=237。x=237。xxedy,x,239。242。0238。236。0,+165。239。f(x,y)dx=237。+165。x =242。165。edx,239。238。242。y+165。x163。0,x0. y163。0y0. =237。y238。e, （2）P(X+Y1)=236。0,y163。0,y0. 233。f(x,y)dxdy=242。242。242。234。235。242。x+y11201yyexdx249。dy12= （3）fZ(z)=242。120(eee)dy=12eyy1+e1.242。+165。165。f(x,zx)dxx236。239。e,x0,xz163。2x,f(x,zx)=237。239。238。0,其它. z163。0 時 fZ(z)=0 z0 時 fZ(z)=242。zz2edx=exz2ez0,z163。0,236。239。fZ(z)=237。zz2239。238。ee,z0. 六、（10分）（1）設X~U[0,1]，Y~U[0,1]且X與Y獨立，求E|XY|； （2）設X~N(0,1),Y~N(0,1)且X與Y獨立，求E|XY|. Y|==242。10242。242。165。+165。+165。165。f(x,y)|xy|dxdy10242。x0(xy)dxdy+242。242。1x(yx)dxdy=；3（2）因X,Y相互獨立，所以Z=XY~N(0,2)1=~N(0,1) E|XY|==七、（10分）設總體的概率密度為236。qxq1,0x1,(q0) f(x。q)=237。,試用來自總體的樣本x1,x2,L,xn，求未知參數(shù)q的矩估計和極大似然估計.解：先求矩估計 m1=EX= 242。10qxqdx=qq+1 q=m1$= 故q的矩估計為q11m1再求極大似然估計 L(x1,L,xn。q)=213。qxqii=1ni=1n1=qn(x1Lxn)q1ilnL=nlnq+(q1)229。lnx dlnLnn=+229。lnxi@0dqqi=1所以q的極大似然估計為$= q11n229。lnxini=1.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》期末試題（4）與解答一、填空題（每小題3分，共15分）（1） 設P(A)=,P(B)=,P(B|)=，則A,B至少發(fā)生一個的概率為_________.（2） 設X服從泊松分布，若EX2=6，則P(X1)=___________.236。1239。(x+1),0x2,（3） 設隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=237。4 今對X進行8次239。,獨立觀測，以Y表示觀測值大于1的觀測次數(shù)，則DY=___________.（4） 元件的壽命服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，由5個這種元件串聯(lián)而組成的系統(tǒng)，能夠100正常工作100小時以上的概率為_____________.（5） 設測量零件的長度產(chǎn)生的誤差X服從正態(tài)分布N(m,s2)，今隨機地測量16個零件，得1616229。Xi=1i=8，229。Xi2=34. ，m的置信區(qū)間為___________. i=1((1=)55 ),=(15)P()P(B)P(AB) 得 P(AB)= =1P(A)P(AUB)=P(A)+P(B)P(AB)==.222 （2）X~P(l),6=EX=DX+(EX)=l+l 故 l=2.P(X1)=1P(X163。1)=1P(X=0)P(X=1) 解：（1）=P(B|)==1e2e22=13e2.（3）Y~B(8,p)，其中p=P(X1)=DY=8180。180。242。2115(x+1)dx= 485315=. 8881i=1,2,3,4,5100. 系統(tǒng)的壽命為Y，所 （4）設第i件元件的壽命為Xi，則Xi~E(求概率為P(Y100)=P(X1100,X2100,L,X5100)=[P(X1100)]=[11+e]=e.（5）m的置信度1a下的置信區(qū)間為 (ta/2(n25155+ta/2(n 11622 =,S=[229。Xi16]=2,S=,n=16 15i=1(15)=.所以m的置信區(qū)間為（,）. 二、單項選擇題（下列各題中每題只有一個答案是對的，請將其代號填入（ ） 中，每小題3分，共15分）（1）A,B,C是任意事件，在下列各式中，不成立的是（A）(AB)UB=AUB.（B）(AUB)A=B.（C）(AUB)AB=U.（D）(AUB)=(AC)U(BC). （ ）（2）設X1,X2是隨機變量，其分布函數(shù)分別為F1(x),F2(x)，為使F(x)=aF1(x)+bF2(x)是某一隨機變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值 中應取3222,b=. （B）a=,b=. 55331313 （C）a=,b=. （D）a=,b=. （ ） 2222（3）設隨機變量X的分布函數(shù)為FX(x)，則Y=35X的分布函數(shù)為FY(y)= （A）a=（A）FX(5y3). （B）5FX(y)3.y+33y). （D）1FX(). （ ） 55Xi101（4）設隨機變量X1,X2的概率分布為. 111 i=1,2P424且滿足P(X1X2=0)=1，則X1,X2的相關系數(shù)為rXX= （C）FX(1211. （C）. （D）1. （ ） 421,B~2,X,)Y相互獨立，根據(jù)切比 （5）設隨機變量X~U[0,6]Y且4雪夫不等式有P(X3YX+3)55 （A）163。. （B）163。. （C）179。. （D）179。. （ ） 1212解：（1）（A）：成立，（B）：(AUB)A=BA185。B 應選（B） （A）0. （B）（2）F(+165。)=1=a+b. 應選（C）（3）FY(y)=P(Y163。y)=P(35X163。y)=P(X(3y)/5)=1P(3y3y179。X)=1FX() 應選（D） 55（4）(X1,X2)的分布為 EX1=0,EX2=0,EX1X2=0，所以cov(X1,X2)=0，于是 rX1X2=0. 應選（A）（5）P(X3YX+3)=P(|YX|3)+ E(YX)=EYEX=0 D(YX)=DY+DX=3由切比雪夫不等式 921= 44215 P(|YX|3)179。1= 應選（D） 912 三、（8分）在一天中進入某超市的顧客人數(shù)服從參數(shù)為l的泊松分布，而進入超市的每一個人購買A種商品的概率為p，若顧客購買商品是相互獨立的，求一天中恰有k個顧客購買A種商品的概率。解：設B=‘一天中恰有k個顧客購買A種商品’ k=0,1,LCn=‘一天中有n個顧客進入超市’ n=k,則 P(B)==k+1,L 229。165。n=k165。n=kP(CB=)229。n=n165。P(nC)P(Bn| Ck229。n!lClnknpk(1p)nk(pl)kl165。lnk=e229。(1p)nk k!n=k(nk)!(lp)klpe k=0,1, =L. k! 四、（10分）設考生的外語成績（百分制）X服從正態(tài)分布，平均成績（即參數(shù)m之值）為72分，%，今任取100個考生的成績，以Y表示成績在60分至84分之間的人數(shù)，求（1）Y的分布列. （2） EY和DY.=, (F(2)=(1)0. 88472 解：（1）Y~B(100,p)，其中p=P(60X163。84)=F(s)F(6072s12)=2F()1 s3PX( 由 =得 F(9=6)F124967224=)F (ss)24s)=，即s=2，故12s=1所以 p=2F(1)1=.k 故Y的分布列為P(Y=k)=C100()k()100k（2）EY=100180。=，DY=180。=.五、（10分）設(X,Y)在由直線x=1,x=e2,y=0及曲線y=上服從均勻分布，（1）求邊緣密度fX(x)和fY(y)，并說明X與Y是否獨立.（2）求P(X+Y179。2).解：區(qū)域D的面積 SD= (X,Y