【正文】 ，近似地有，X~N(9000, 900), 則(),(90EpDXp??? 891)0()90?????????? (2) 根據(jù)題意, 設(shè) X 為正常工作的部件數(shù)，則 (),EXnp? 根據(jù)中心極限定理, 近似地有 X~N(, )()() .871...????? ???? ?? ?????????????? 查表得 , n=400,.1n 即, n 至少為 400 時(shí), 才能保證系統(tǒng)的可靠度達(dá)到 %.7. 某單位有 200 臺電話分機(jī)，每臺分機(jī)有 5％的時(shí)間要使用外線通話，假定每臺分機(jī)是否使用外線是相互獨(dú)立的，問該單位總機(jī)要安裝多少條外線才能以 90％以上的概率保證分機(jī)使用外線時(shí)不等待？解 設(shè) X 為某時(shí)刻需要使用外線的戶數(shù)（分機(jī)數(shù)） ，顯然 X~(200, )， E(X) = np = 10, D(X) = np(np) = .設(shè) k 是為要設(shè)置的外線的條數(shù)，要保證每個(gè)要使用外線的用戶能夠使用上外線，必須有 k≥X. 根據(jù)題意應(yīng)有：()??這里 n=200，較大，可使用中心極限定理，近似地有 X~N(10, )： ..5Xkk???????????????????概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第四章 第 34 頁 (共 57 頁)34經(jīng)過查表， ， 取 k = ,??即至少 14 條外線時(shí)，才能保證要使用外線的用戶都能使用外線的概率大于 95%.8. 設(shè) μ n 為 n 重伯努利試驗(yàn)中成功的次數(shù)，p 為每次成功的概率，當(dāng) n 充分大時(shí)，試用棣莫弗－拉普拉斯定律證明.(||)21nnPppq?????????????式中，p＋q＝1； 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù). ??x?證明 由題意， , , 當(dāng) n 很大時(shí)， 近似服從正~()nB(),()nnED?n?態(tài)分布，即 , 或者使用標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量： , Npq? ~(01)pNq?1q?? 因此，由棣莫弗拉普拉斯定理，有 nPp????????= ??nn pPq?????????????12nPpqpqnnpq????????????????????????????公 式 9. 現(xiàn)有一大批種子，其中良種占 ，今在其中任選 4000 粒，試問在這些種子中，良種所14占比例與 之差小于 1％的概率是多少？4解 設(shè) X 為 4000 粒種子中良種粒數(shù)，則所求的概率為： ???????? 因?yàn)椋琗 ~ B(4000, ), 由棣莫弗拉普拉斯定理，有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第四章 第 35 頁 (共 57 頁)35 ????????????????????????????????10. 一批種子中良種占 ，從中任取 6000 粒，問能以 的概率保證其中良種的比例與相差多少？這時(shí)相應(yīng)的良種粒數(shù)落在哪個(gè)范圍？16解 設(shè) X 為 6000 粒種子中良種粒數(shù)，設(shè)所求的差異為 p, 則所求的概率為： ????????? 因?yàn)椋琗 ~ B(6000, 1/6), E(X) = np = 1000, D(X) = np(1p)= 2500/3, 由棣莫弗 拉普拉斯定理，有 ??106025/325/????????????????????????因此 ??????查表可得 ,0解得??? 由于 所以, 良種的粒數(shù)大約落在區(qū)間(926, 1074)之間..4概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第五章 第 36 頁 (共 57 頁)36第五章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念1. 在總體 N(52，63 2)中隨機(jī)抽取一容量為 36 的樣本，求樣本均值 落在 到 之X間的概率. 解 由題意，由定理 1 (1), 52~(0,1)/???????????????? (.)././6/XPP? ????? ?? ?252()6./6.(174)1.(.)08293????2. 在總體 N(80，20 2)中隨機(jī)抽取一容量為 100 的樣本，求樣本均值與總體均值的絕對值大于 3 的概率是多少？解 這里總體均值為?=80, ?=20, n=100, 由定理 1(1) 801(80)~(,1)/2/XXNn??? 由題意得： (3)3180)PP??????22(.5)(1.)?????????????3. 求總體 N(20，3) 的容量分別為 10，15 的兩獨(dú)立樣本均值差的絕對值大于 的概率.解 由定理 2(1), ??12105().8~(0,1)nXYXYXYN???????由題意，所求的概率為 ???()(..3)()2().2PPY?????????4. 設(shè)總體 X 的容量為 10 的樣本觀測值為，0，，，，0，. 試分別計(jì)算樣本均值 與樣X本方差 S2 的值. 解 1(.)59?????概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第五章 第 37 頁 (共 57 頁)37???? ii iSXX???????5. 樣本均值與樣本方差的簡化計(jì)算如下：設(shè)樣本值 x1，x 2，…，x n 的平均值為 和樣本x方差為 ，作變換 ，得到 ，它的平均值為 ，方差為 ，試2xiixayc12,ny? y2yS證： ， . ac??2xyS證明 , ??1,ii iiy???由 所 以 ??2211,niyiiS???? ??111nnnii ii ii ixcyacyac??????????????????????2 221()()nnxi ii iSxcya???21i ii icy? ??221niyi cS???6. 對某種混凝土的抗壓強(qiáng)度進(jìn)行研究，得到它的樣本值為 1936，1697，3030，2424，2020，2909，1815，2020，2310．采用下面簡化計(jì)算法計(jì)算樣本均值和樣本方差. 即先作變換 ，再計(jì)算 與20iiyx??y，然后利用第 5 題中的公式獲得 和 的數(shù)值. 2ySx2S解 做變換后，得到的樣本值為：61，303 ，1030，424 ，20，91，185，20，310 ???2 ??? ?7. 某地抽樣調(diào)查了 1995 年 6 月 30 個(gè)工人月工資的數(shù)據(jù)，試畫出它們的直方圖，然后利用組中間值給出經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù). 440 444 556 430 380 420 500 430 420 384420 404 424 340 424 412 388 472 360 476376 396 428 444 366 436 364 440 330 426解 最小值 ,最大值 , 故(a, b]可取為(329, 559], 將(a, b]分為長度為 23*130x?*1056x?的 10 個(gè)區(qū)間, 列出頻數(shù)與頻率表如下：序號 組 (ti1, ti), 頻數(shù) 頻率 序號 組(t i1, ti) 頻數(shù) 頻率1 (329, 352] 2 6 (444, 467] 0 0概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第五章 第 38 頁 (共 57 頁)382 (352, 375] 3 7 (467, 490] 2 3 (375, 398] 5 8 (490, 513] 1 4 (398, 421] 5 9 (513, 536] 0 05 (421, 444] 11 10 (536, 559] 1 合計(jì)： 30 1由于第 6 組與第 9 組頻數(shù)為 0，可將其與下一組合并。合并數(shù)據(jù)為 8 組，結(jié)果如下表：序號 組 (ti1, ti), 頻數(shù) 頻率 序號 組(t i1, ti) 頻數(shù) 頻率1 (329, 352] 2 6 (444, 490] 2 2 (352, 375] 3 7 (490, 513] 1 3 (375, 398] 5 8 (513, 559] 1 4 (398, 421] 5 5 (421, 444] 11 合計(jì) 30 1根據(jù)表上數(shù)據(jù)作出直方圖，如下圖所示：再用組中值的頻率分布 組中間值 467 534頻率 可求出經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) F30(x).300,.,8.,..9()5,.,1.,..41,53xFxxx??????????8. 設(shè) X1，X 2，…，X 10 為 N（0， 2）的一個(gè)樣本，求 .102(4)iiPX???解 由于 Xk 是來自 N(0, )的樣本，則 ，k=1,2,…,10，所以有0~,),3kXN?yxOf(x)329 559概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第五章 第 39 頁 (共 57 頁)39 服從自由度 n=10 的? 2 分布. ???????????因此 102 kPP??????????查表可知， =.()?故 ????????9. 查 分布表求下列各式中 λ 的值：2x（1） (8)0.。P???（2） 51?解 (1) P(?2(8)?) = 1P(?2(8)?) = , 查表得 , 即???????(8)?? (2) 查表得?????????10. 查 t 分布表求下列各式中 λ 的值：（1） (8)。P??（2） ?解 (1) ??????(5)1(),(),ttPt???????查表得 (2) ??????().5,76??查 表 得11. 查 F 分布表求下列各式的值：（1） (,)。（2） .解 (1) . ,1/(9,)1/??(2) 05()3412. 已知 X～t(n)，求證 X2～ F(1, n).證明 因?yàn)?X～ t(n), 由定義, 存在相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 T 與 Y，使得 , 其中/XTYn?, 又因 T 與 Y 相互獨(dú)立，故 T2 與 Y 相互獨(dú)立，2~(01)()TNYn?， , 則2.2/1(,)/F?:13. 設(shè) X1，X 2，…，X n 是來自 分布 的樣本，求樣本均值 ?X解 由于 , k=1,2, …, n, 則~()k?(),()2kkEXnD?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第五章 第 40 頁 (共 57 頁)40 ??111()nnnkkkkEXEX???????????: 22kkkDD?????2022()1()!()kkkkkkEXEXe??????????221nkEXX????????221nkijij????????221nkijkijEXX????????221nijkijE????????2nC2(1)n?????或者 ????22 2()EXDEXn???221()nkS???????????kkn??221kn???????????????n?()?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第五章 第 41 頁 (共 57 頁)4114. 設(shè) X1，X 2，…，X n 為來自泊松分布 的樣本， ，S 2 分別為樣本均值和樣本方差，????X求 E( )，D( )，E(S 2).解 由于 , k=1,2,…, n, 則~(k??(),()kkED?? ??111nnnkkkE?????????: 22()kkkDXX?? ??21nkS????????22()kE?????21()()()nkkkDXnDXE?? ????? ?? ??22??????????1nn?15. 設(shè) X1，X 2，X 3，X 4 為來自總體 N (0, 1)的樣本，當(dāng) a，b 為何值時(shí)， ，且自由度 n2234()()ab???2()Xn?:是多少？解 由于 X1，X 2，X 3，X 4 相互獨(dú)立，均服從 N (0, 1)正態(tài)分布，因此 2~(0,)(0,5)?341N??則,， 12(,)5X???2211 ~(1)55X????????? , 34~0? 22343400??? ????221342~(1)(51X?? 即 20X?? 因此，X 服從 分布，自由度 n=2, 并且 .?1,50ab?16. 設(shè)在總體 中抽取一容量為 16 的樣本，這里 均為未知，求：???????? 2????（1） ，其中 S2 為樣本方差；2(.041)SP?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第五章 第 42 頁 (共 57 頁)42（2）D(S 2).解 ??? 因 22(1)~(,)~(1)nSXNn????所 (6)?????????????????????????2150().1P?? 查表, 得 , ? ??(5)().P???? 所以 ?????????????222()()nSD?????:??4221n????442()n???:22(1)()SES???????21n??22()?: