【正文】 5)?????????(34)()???? 因此所求的概率為：1P(15X15) = = (2) 由題意，設(shè)有 n 個數(shù)相加可使誤差總和絕對值小于 10 的概率為 ,X = nXi. 由獨立同分布的中心極限定理，隨機變量 近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)11()/2niiiEX????分布. 則 = (10)()//1/PXXPnn?????????????????????????????即查表得 =, 1/2n解得：n=443即 443 個數(shù)相加可使誤差總和絕對值小于 10 的概率為 的概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第四章 第 45 頁 (共 78 頁)455. 為了確定事件 A 的概率，進行了一系列試驗. 在 100 次試驗中，事件 A 發(fā)生了 36 次，如果取頻率 作為事件 A 的概率 p 的近似值，求誤差小于 的概率. 解 (刪除) 6. 一個復(fù)雜系統(tǒng)由 10000 個相互獨立的部件組成，在系統(tǒng)運行期間，每個部件損壞的概率為 ，又知為使系統(tǒng)正常運行，至少有 89％的部件工作. （1） 求系統(tǒng)的可靠度（系統(tǒng)正常運行的概率） ；（2） 上述系統(tǒng)由 n 個相互獨立的部件組成，而且要求至少有 87％的部件工作，才能使系統(tǒng)正常運行，問 n至少為多在時，才能保證系統(tǒng)的可靠度達到％？解 設(shè) X 表示正常工作的部件數(shù)，X~B(10000, ), (1) 所求的概率為 , 由于 n 比較大，可以使()PX??用中心極限定理，由于，近似地有，()9,)(0EnpDnp???X~N(9000, 900), 則 80)1(909)PX??????????? (2) 根據(jù)題意, 設(shè) X 為正常工作的部件數(shù)，則 ()? 根據(jù)中心極限定理, 近似地有(1).0Dn??X~N(, )概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第四章 第 46 頁 (共 78 頁)46 ()????? ???? ?? ?????????????? 查表得 , n=400,.01n? 即, n 至少為 400 時, 才能保證系統(tǒng)的可靠度達到%.7. 某單位有 200 臺電話分機，每臺分機有 5％的時間要使用外線通話，假定每臺分機是否使用外線是相互獨立的，問該單位總機要安裝多少條外線才能以 90％以上的概率保證分機使用外線時不等待？解 設(shè) X 為某時刻需要使用外線的戶數(shù)（分機數(shù)） ，顯然X~(200, )， E(X) = np = 10, D(X) = np(np) = .設(shè) k 是為要設(shè)置的外線的條數(shù)，要保證每個要使用外線的用戶能夠使用上外線，必須有 k≥X. 根據(jù)題意應(yīng)有：()??這里 n=200，較大，可使用中心極限定理，近似地有X~N(10, )： 1010() ...5kkk???????????????????經(jīng)過查表， ， 取 k = 1402,37.?即至少 14 條外線時，才能保證要使用外線的用戶都能使用外線的概率大于 95%.8. 設(shè) μ n 為 n 重伯努利試驗中成功的次數(shù)，p 為每次成功的概率，當(dāng) n 充分大時，試用棣莫弗－拉普拉斯定律證明概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第四章 第 47 頁 (共 78 頁)47.(||)21nnPppq?????????????式中，p＋q＝1； 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù). ??x證明 由題意， , , 當(dāng) n 很大時，~()nBp?(),()nnED??近似服從正態(tài)分布，即 , 或者使用標(biāo)準(zhǔn)化的隨n?Npq機變量： , (01)npq??? 因此，由棣莫弗拉普拉斯定理，有 nPp????????= ??nn pPq?????????????12nPpqpqnnpq???????????????????????????????公 式 9. 現(xiàn)有一大批種子，其中良種占 ，今在其中任選 4000 粒，14試問在這些種子中，良種所占比例與 之差小于 1％的概率是多少？解 設(shè) X 為 4000 粒種子中良種粒數(shù)，則所求的概率為： ???????? 因為，X ~ B(4000, ), 由棣莫弗拉普拉斯定理，有概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第四章 第 48 頁 (共 78 頁)48 ????????????????????????????????10. 一批種子中良種占 ，從中任取 6000 粒，問能以 的概率保證其中良種的比例與 相差多少？這時相應(yīng)的良1種粒數(shù)落在哪個范圍？解 設(shè) X 為 6000 粒種子中良種粒數(shù)，設(shè)所求的差異為 p, 則所求的概率為： ????????? 因為，X ~ B(6000, 1/6), E(X) = np = 1000, D(X) = np(1p)= 2500/3, 由棣莫弗拉普拉斯定理，有 ??1606025/325/????????????????????????因此 ??????查表可得 ,/p解得 ??? 由于 所以, 間(926, 1074)之間.概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第五章 第 49 頁 (共 78 頁)49第五章 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念1. 在總體 N(52，63 2)中隨機抽取一容量為 36 的樣本，求樣本均值 落在 到 之間的概率. X解 由題意，由定理 1 (1), 52~(0,1)/???????????????? (.)6/.//36PP? ?????? ?? ?()6./3(174).1.()08293?????2. 在總體 N(80，20 2)中隨機抽取一容量為 100 的樣本，求樣本均值與總體均值的絕對值大于 3 的概率是多少？解 這里總體均值為?=80, ?=20, n=100, 由定理 1(1) 801(80)~(,1)2//XXNn???? 由題意得：(3)(3)180)PP???????122(.5)(.)?????????????3. 求總體 N(20，3)的容量分別為 10，15 的兩獨立樣本均值差的絕對值大于 的概率.解 由定理 2(1), ??12105().86~(0,1)3nXYXYXYN????????由題意，所求的概率為 ???()(..)()2(.987).2PPXY??????????概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第五章 第 50 頁 (共 78 頁)504. 設(shè)總體 X 的容量為 10 的樣本觀測值為，0，，，，0，. 試分別計算樣本均值 與樣本方差 S2 的值. X解 1(.)59????????? ii iS???????5. 樣本均值與樣本方差的簡化計算如下：設(shè)樣本值x1，x 2，…，x n 的平均值為 和樣本方差為 ，作變換x2xS，得到 ，它的平均值為 ，方差為 ，試iiayc??12,ny? y2y證： ， . ?xySc?證明 , ??,ii iia?由 所 以 ??2211,nniyiiS???? ??111nnii ii ini iccyacya??????????????????????2 221()()nxi ii iSxcya???21ni ii icy? ??221niyi cS???6. 對某種混凝土的抗壓強度進行研究，得到它的樣本值為 1936，1697，3030，2424，2020，2909，1815，2020，2310．采用下面簡化計算法計算樣本均值和樣本方差. 即先作變換，再計算 與 ，然后利用第 5 題中的公式獲得20iiyx??y2yS和 的數(shù)值. S解 做變換后，得到的樣本值為：61，303，1030，424，20，91，185，20，310概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第五章 第 51 頁 (共 78 頁)51 ????2 ?? ?7. 某地抽樣調(diào)查了 1995 年 6 月 30 個工人月工資的數(shù)據(jù)，試畫出它們的直方圖，然后利用組中間值給出經(jīng)驗分布函數(shù). 440 444 556 430 380 420 500 430 420 384420 404 424 340 424 412 388 472 360 476376 396 428 444 366 436 364 440 330 426解 最小值 ,最大值 , 故(a, b]可取為(329, 559], *130x?*1056x?將(a, b]分為長度為 23 的 10 個區(qū)間, 列出頻數(shù)與頻率表如下：序號組 (ti1, ti),頻數(shù)頻率 序號組(t i1, ti)頻數(shù)頻率1 (329, 352]2 6 (444, 467]0 02 (352, 375]3 7 (467, 490]2 3 (375, 398]5 8 (490, 513]1 4 (398, 421]5 9 (513, 536]0 05 (421, 444]11 10 (536, 559]1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第五章 第 52 頁 (共 78 頁)52合計： 30 1由于第 6 組與第 9 組頻數(shù)為 0，可將其與下一組合并。合并數(shù)據(jù)為 8 組，結(jié)果如下表：序號組 (ti1, ti),頻數(shù)頻率 序號組(t i1, ti)頻數(shù)頻率1 (329, 352]2 6 (444, 490]2 2 (352, 375]3 7 (490, 513]1 3 (375, 398]5 8 (513, 559]1 4 (398, 421]5 5 (421, 444]11 合計30 1根據(jù)表上數(shù)據(jù)作出直方圖，如下圖所示：再用組中值的頻率分布 組中間值340.5363.5386.5409.5432.5 467501.5 534頻率7 777733yxOf(x)329 559概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第五章 第 53 頁 (共 78 頁)53可求出經(jīng)驗分布函數(shù) F30(x).300,.,8.,..9()5,.,1.,..41,53xFxxx??????????8. 設(shè) X1，X 2，…，X 10 為 N（0， 2）的一個樣本，求.0(4)iiP???解 由于 Xk 是來自 N(0, )的樣本，則 ，0~(,1),3kXN?k=1,2,…,10，所以有 服從自由度 n=10 的? 2 分布. ??????????因此 kPXPX??????????查表可知， =.()?故 0211k????????9. 查 分布表求下列各式中 λ 的值：2x（1） 2(8)。P???（2） 5??解 (1) P(?2(8)?) = 1P(?2(8)?) = , 查表得, 即???????(8)?? (2) 查表得?????????10. 查 t 分布表求下列各式中 λ 的值：（1） (8)。P???（2） t概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第五章 第 54 頁 (共 78 頁)54解 (1) ??????(5)1(5),(5)0.,PtPtPt??????????查表得 (2) ????().,576???查 表 得11. 查 F 分布表求下列各式的值：（1） (1,)。（2） ..解 (1) ,/(9,1)/??(2) .()34F12. 已知 X～t(n)，求證 X2～F(1, n).證明 因為 X～t(n), 由定義, 存在相互獨立的隨機變量 T與 Y，使得 , 其中 , 又因/TYn?2~(0,1)()TNYn?T 與 Y 相互獨立，故 T2 與 Y 相互獨立， , 則2~(1)?2().2/1(,)/XFnn:13. 設(shè) X1，X 2，…，X n 是來自 分布 的樣本，求樣本2()?均值 的數(shù)學(xué)期望和方差.解 由于 , k=1,2, …, n, 則~()k? ,()2kkEXnD? ??111nnnkkkkE??????????: 22()kkkDXD??????2022()1()!()kkkkkkXEEe????????概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第五章 第 55 頁 (共 78 頁)55