【正文】 22 年高考數(shù)學(xué)試題匯編 —— 圓錐曲線（三） 1（四川理）（本小題滿分 12分）設(shè) 、 分別是橢圓 的左、右焦點 . （Ⅰ）若 是該橢圓上的一個動點，求 （浙江文） (本題 15 分 )如圖，直線 y＝ kx＋ b 與橢圓 交于 A、 B 兩點，記△ AOB 的面積為 S． （ I）求在 k＝ 0， 0＜ b＜ 1 的條件下， S 的最大值； （Ⅱ）當(dāng)｜ AB｜＝ 2， S＝ 1 時，求直線 AB 的方程． 本題主要考查橢圓的幾何 性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力． （Ⅰ）解：設(shè)點 的坐標(biāo)為 ，點 的坐標(biāo)為 ，由 ，解得 ， 所以 ． 當(dāng)且僅當(dāng) 時， 取到最大值 ． （Ⅱ）解：由 得 ， ，① ． ② 設(shè) 到 的距離為 ，則 ， 又因為 ，所以 ，代入②式并整理，得 ，解得 ， ，代入①式檢驗， ， 故直線 的方程是 或 或 ，或 ． 【 高考考點 】橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等知識 【易錯點】： 不能準(zhǔn)確計算或輕易舍掉一些答 案。 【易錯點】： 不能聯(lián)系三角形的有關(guān)知識，找不到解題方法而亂選。 （ 1）求橢圓的方程； （ 2）在橢圓上任取三個不同點 ，使 ，證明 為定值，并求此定值。 從而 為定值。 將此式代入 ,得 ，故 。 故 。 答（ 21）圖 （Ⅱ）解法一：如圖（ 21）圖作 AC⊥ l， BD⊥ l，垂足為 C、 D，則由拋物線的定義知 |FA|=|FC|,|FB|=|BD|. 記 A、 B 的 橫坐標(biāo)分別為 xxxz，則 |FA|＝ |AC|＝ 解得 ， 類似地有 ，解得 。 【解答】 （Ⅰ）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，則 ，從而 因此焦點 的坐標(biāo)為（ 2， 0） . 又準(zhǔn)線方程的一般式為 。2022 年高考數(shù)學(xué)試題匯編 —— 圓錐曲線（一） （重慶文）已知以 F1（ 2,0）， F2（ 2,0）為焦點的橢圓與直線 有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為（ C ） （ A） （ B） （ C） （ D） 【解答】 設(shè)橢圓方程為 消 x 得： 即： 又 聯(lián)立解得 由焦點在 x 軸上，故長軸長為 （重慶文）（ 21）（本小題滿分 12 分，（Ⅰ）小問 4 分，（Ⅱ）小問 8 分） 如題（ 21）圖，傾斜角為 a 的直線經(jīng)過拋物線 的焦點 F，且與拋物線交于 A、 B 兩點。 題（ 21）圖 （Ⅰ）求拋物線的焦點 F 的坐標(biāo)及準(zhǔn)線 l的方程； （Ⅱ）若 a 為銳角，作線段 AB 的垂直平分線 m 交 x 軸于點 P，證明 |FP||FP|cos2a 為定值，并求此定值。 從而所求準(zhǔn)線 l 的方程為 。 記直線 m 與 AB 的交點為 E，則 所以。 解法二：設(shè) ， ，直線 AB 的斜率為 ，則直線方程為 。 記直線 m 與 AB 的交點為 ，則 ， ， 故直線 m 的方程為 . 令 y=0,得 P 的橫坐標(biāo) 故 。 （重慶理）過雙曲線 的右焦點 F 作傾斜角為 的直線，交雙曲線于 PQ 兩點，則 |FP||FQ|的值為 __________. 【分析】 ： 代入 得： 設(shè) 又 （重慶理） (本小題滿分 12 分 )如圖，中心在原點 O 的橢圓的右焦點為 F（ 3， 0），右準(zhǔn)線 l 的方程為： x = 12。 解：（ I）設(shè)橢圓方程為 ． 因焦點為 ，故半焦距 ． 又右準(zhǔn)線 的方程為 ，從而由已知 ， 因此 ， ． 故所求橢圓方程為 ． （ II）記橢圓的右頂 點為 ，并設(shè) （ 1， 2， 3），不失一般性， 假設(shè) ，且 ， ． 又設(shè)點 在 上的射影為 ，因橢圓的離心率 ，從而有 ． 解得 ． 因此 ， 而 ， 故 為定值． （浙江文）已知雙曲線 的左、右焦點分別為 F F2， P 是準(zhǔn)線上一點，且 P F1⊥ P F2，｜ P F1｜ ｜ P F2 ｜＝ 4ab，則雙曲線的離心率是（ B） (A) (B) (C)2 (D)3 【解答】 ：設(shè)準(zhǔn)線與 x 軸交于 A 點 . 在 中 , , 又 , 化簡得 , 故選答案 B 【 高考考點 】雙曲線的離心率的求法解三角形的相關(guān)知識。 【備考提示】： 雙曲線的離心率的求法是解析幾何的一個重點，且方法較多，要善于總結(jié)各種方法，靈活應(yīng)用。 【備考提示】： 本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．故此類問題一方面要求考生能熟練掌握相關(guān)知識，并且能夠有較高的分析問題和解決問題的能力，同時還要有較強(qiáng)的運算能力和不懈的毅力。 的最大值和最小值 。 解：（Ⅰ）解法一：易知 所以 ，設(shè) ，則 因為 ，故當(dāng) ，即點 為橢圓短軸端點時， 有最小值 當(dāng) ，即點 為橢圓長軸端點時， 有最大值 解法二：易知 ，所以 ，設(shè) ，則 （以下同解法一） （Ⅱ）顯然直線 不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線 ， 聯(lián)立 ，消去 ，整理得： ∴ 由 得： 或 又 ∴ 又 ∵ ，即 ∴ 故由①、②得 或 1（上海理）已知雙曲線 ，則以雙曲線中心為焦點，以雙曲線左焦點為頂點的拋物線方程為 【解析】 雙曲線 的中心為 O（ 0,0），該雙曲線的左焦點為 F（－ 3,0）則拋物線的頂點為（－ 3,0），焦點為（ 0,0），所以 p=6，所以拋物線方程是 ) 1（上海理）已知半橢圓 與半橢圓 組成的曲線稱為“果圓”，其中 ， 是對應(yīng)的焦點。是否存在實數(shù) ，使得斜率為 的直線交果圓 于兩點，得到的弦的中點的軌跡方程落在某個橢圓上？若存在，求出所有的值；若不存在，說明理由。 (Ⅱ )設(shè)直線 l與橢圓 C交于 A、 B兩點，坐標(biāo)原點 O到直線 l的距離為 ，求△ AOB面積的最大值 . 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為 ，依題意 ， 所求橢圓方程為 ． （Ⅱ）設(shè) ， ． （ 1）當(dāng) 軸時， ． （ 2）當(dāng) 與 軸不垂直時， 設(shè)直線 的方程為 ． 由已知 ，得 ． 把 代入橢圓方程，整理得 ， ， ． ． 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時等號成立．當(dāng) 時， ， 綜上所述 ． 當(dāng) 最 大時， 面積取最大值 ． 2（山東理）設(shè) 是坐標(biāo)原點， 是拋物線 的焦點， 是拋物線上的一點， 與 軸正向的夾角為 ，則 為 ． 【分析】 ：過 A 作 軸于 D，令 ，則 ， ， 。若雙曲線上存在點 A，使∠F1AF2=90?，且 |AF1|=3|AF2|，設(shè) |AF2|=1， |AF1|=3，雙曲線中 ，∴ 離心率 ，選 B。 2（全國 2理）（本小題滿分 12分）在直角坐標(biāo)系 中，以 為圓心的圓與直線相切． （ 1）求圓 的方程； （ 2）圓 與 軸相交于 兩點，圓內(nèi)的動點 使 成等比數(shù)列，求的取值范圍． 【解答】 （ 1）依題設(shè)，圓 的半徑 等于原點 到直線 的距離， 即 ． 得圓 的方程為 ． （ 2）不妨設(shè) ．由 即得 ． 設(shè) ，由 成等比數(shù)列，得 ， 即 ． 由于點 在圓 內(nèi)，故 由此得 ． 所 以 的取值范圍為 ． 2（全國 2文）已知橢圓的長軸長是短軸長的 2倍，則橢圓的離心率等于（ ） A． B． C． D． 【解答】 已知橢圓的長軸長是短軸長的 2倍，∴ ，橢圓的離心率 ，選 D。 2（全國 1理）已知雙曲線的離心率為 ，焦點是 ， ，則雙曲線方程為（ ） A． B． C． D． 【解答】 已知雙曲線的離心率為 2，焦點是 ， ，則 c=4， a=2， ，雙曲線方程為 ，選 A。 （全國 1理）（本小題滿分 12分）已知橢圓 的左、右焦點分別為 ， ．過的直線交橢圓于 兩點，過 的直線交橢圓于 兩點，且 ，垂足為 ． （Ⅰ）設(shè) 點的坐標(biāo)為 ，證明： ； （Ⅱ）求四邊形 的面積的最小值． 【解答】 （Ⅰ）證明：橢圓的半焦距 ， 由 知點 在以線段 為直徑的圓上，故 ， 所以， ． （Ⅱ）（ⅰ）當(dāng) 的斜率 存在且 時， 的方程為 ，代入橢圓方程，并化簡得 ． 設(shè) ， ，則 ， ； 因為 與 相交于點 ，且 的斜率為 ， 所以， ． 四邊 形 的面積 ． 當(dāng) 時，上式取等號． （ⅱ）當(dāng) 的斜率 或斜率不存在時，四邊形 的面積 ． 綜上，四邊形 的面積的最小值為 ． 3（海南、寧夏理）已知拋物線 的焦點為 ，點 ，在拋物線上，且 ， 則有（ C ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【分析】 ：由拋物線定義， 即： ． 3（海南、寧夏理）已知雙曲線的頂點到漸近線的距離為 2，焦點到漸近線的距離為 6，則該雙曲線的離心率為 ． 3 【分析】 ：如圖，過雙曲線的頂點 A、焦點 F 分別向其漸近線作垂線 ，垂足分別為 B、 C，則： 3（海南、寧夏理）（本小題滿分 12分）在平面直角坐標(biāo)系 中，經(jīng)過點 且斜率為 的直線 與橢圓 有兩個不同的交點 和 ． （ I）求 的取值范圍； （ II）設(shè)橢圓與 軸正半軸、 軸正半軸的交點分別為 ，是否存在常數(shù)