【正文】 【考點(diǎn)定位】本題考查直線與直線、直線與平面以及二面角等基礎(chǔ)知識(shí)、考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力 ,考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想 . 解 :(1)以點(diǎn) A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 ,設(shè) AB a? ,則 11( 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 1 ) , ( , 1 , 0 ) , ( , 0 , 1 )2aA D D E B a 1 1 1( 0 , 1 , 1 ) , ( , 1 , 1 ) , ( , 0 , 1 ) , ( , 1 , 0 )22aaA D B E A B a A E? ? ? ? ? ? ? 11 0 1 1 ( 1 ) 1 02aA D B E? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,故 11BE AD? (2)假設(shè)在棱上存在一點(diǎn) (0,0, )Pt,使得 //DP 平面 1BAE ,則 (0, 1, )DP t?? 設(shè)平面 1BAE 的法向量為 ( , , )n x y z? ,則有 10000 2ax zn ABax yn AE???? ??????? ????? ?,取 1x? ,可得(1, , )2ana? ? ? ,要使 //DP 平面 1BAE ,只要 DP n? 1022a at t? ? ? ? ?,又 DP? 平面 1BAE , ? 存在點(diǎn) P 使 //DP 平面 1BAE ,此時(shí)12AP? . (3)連接 11,ADBC ,由長(zhǎng)方體 1 1AA AD??,得 11AD AD? 39 11//BC AD , 11AD BC??,由 (1)知 11BE AD? ,故 1AD? 平面 11DCBA . 1AD 是平面 11DCBA 的法向量 ,而 1 (0,1,1)AD ? ,則 11 21 22c o s ,| || | 214a aA D nA D nA D n a a???? ? ? ?? ? ? 二面角是 30? ,所以 ,即 2AB? 錯(cuò)誤 !未找到引用源。當(dāng) (1,3)x? 時(shí) , ( ) 0fx? ? . 所以當(dāng) 1x? 時(shí) , ()fx取得最大值 . 故當(dāng) 1BD? 時(shí) , 三棱錐 A BCD? 的體積最大 . 36 (Ⅱ) 解法 1:以 D 為原點(diǎn) ,建立如圖 a所示的空間直角坐標(biāo)系 D xyz? . 由 (Ⅰ) 知 ,當(dāng)三棱錐 A BCD? 的體積最大時(shí) , 1BD? , 2AD CD??. 于是可得 (0, 0, 0)D , (1,0,0)B , (0,2, 0)C , (0, 0, 2)A , (0,1,1)M , 1( ,1, 0)2E, 且 ( 1, 1, 1)BM ?? . 設(shè) (0, ,0)N ? ,則 1( , 1, 0)2EN ?? ? ?. 因?yàn)?EN BM? 等價(jià)于 0EN BM??,即 11( , 1 , 0 ) ( 1 , 1 , 1 ) 1 022??? ? ? ? ? ? ? ?,故 12?? , 1(0, , 0)2N . 所以當(dāng) 12DN?(即 N 是 CD 的靠近點(diǎn) D 的一個(gè)四等分點(diǎn) )時(shí) ,EN BM? . 設(shè)平面 BMN 的一個(gè)法向量 為 ( , , )x y z?n ,由 ,BNBM? ??????nn 及 1( 1, ,0)2BN ??, 得 2,.yxzx??? ??? 可取 (1, 2, 1)??n . 設(shè) EN 與平面 BMN 所成角的大小為 ? ,則由 11( , , 0)22EN ? ? ?, (1, 2, 1)??n ,可得 1| 1 | 32sin c o s( 9 0 )2| | | | 262ENEN?????? ? ? ? ?? ?nn,即 60?? . 故 EN 與平面 BMN 所成角的大小為 60. C A D B E M y z C A D F M N N 37 解法 2:由 (Ⅰ) 知 ,當(dāng)三棱錐 A BCD? 的體積最大時(shí) , 1BD? , 2AD CD??. 如圖 b,取 CD 的中點(diǎn) F ,連結(jié) MF ,BF ,EF ,則 MF ∥ AD . 由 (Ⅰ) 知 AD? 平面 BCD ,所以 MF? 平面 BCD . 如圖 c,延長(zhǎng) FE 至 P點(diǎn)使得 FP DB? ,連 BP ,DP ,則四邊形 DBPF 為正方形 , 所以 DP BF? . 取 DF 的中點(diǎn) N ,連結(jié) EN ,又 E 為 FP 的中點(diǎn) ,則 EN ∥ DP , 所以 EN BF? . 因?yàn)?MF? 平面 BCD ,又 EN? 面 BCD ,所以 MF EN? . 又 MF BF F? ,所以 EN? 面 BMF . 又 BM? 面 BMF ,所以 EN BM? . 因?yàn)?EN BM? 當(dāng)且僅當(dāng) EN BF? ,而點(diǎn) F 是唯一的 ,所以點(diǎn) N 是唯一的 . 即當(dāng) 12DN?(即 N 是 CD 的靠近點(diǎn) D 的一個(gè)四等分點(diǎn) ),EN BM? . 連接 MN ,ME ,由計(jì)算得 52N B N M E B E M? ? ? ?, 所以 △ NMB 與 △ EMB 是兩個(gè)共底邊的全等的等腰三角形 , 如圖 d所示 ,取 BM 的中點(diǎn) G ,連接 EG ,NG , 則 BM? 平面 EGN .在平面 EGN 中 ,過(guò)點(diǎn) E 作 EH GN? 于 H , 則 EH? 平面 BMN .故 ENH? 是 EN 與平面 BMN 所成的角 . 在 △ EGN 中 ,易得 22E G G N NE? ? ?,所以 △ EGN 是正三角形 , 故 60ENH??,即 EN 與平面 BMN 所成角的大小為 60. 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 【解析】 解法 1(Ⅰ 如圖 (1)),連接 AC,由 AB=4, 3BC? , 90 B C A C? ? ?,得 5,AD?又 E是 CD 的中點(diǎn) ,所以 .CD AE? ,P A A B CD CD A B CD??平 面 平 面所以 .PA CD? 而 ,PA AE 是 平 面 PAE內(nèi)的兩條相交直線 ,所以 CD⊥ 平面 PAE. (Ⅱ) 過(guò)點(diǎn) B作 , , , , .B G CD A E A D F G P F?? 分 別 與 相 交 于 連 接 由 (Ⅰ)CD⊥ 平面 PAE知 ,BG⊥ 平面 BPF? 為直線 PB 與平面 PAE 所成的角 ,且 BG AE? . 由 PA AB CD? 平 面 知 , PBA? 為直線 PB 與平面 ABCD 所成的角 . 4 , 2 , ,AB AG BG AF? ? ?由題意 ,知 ,PB A BP F? ? ? 因?yàn)?si n , si n ,P A B FP B A B P FP B P B? ? ? ?所以 .PA BF? 由 9 0 / / , / / ,D A B A B C A D B C B G CD? ? ? ? 知 ， 又所以四邊形 BCDG 是平行四邊形 ,故 BC??于是 ? 34 在 RtΔBAG 中 , 4 , 2 , ,AB AG BG AF? ? ?所以 222 1 6 8 52 5 , .525ABB G A B A G B F BG? ? ? ? ? ? 于是 BF?? 又梯形 ABCD 的面積為 1 (5 3 ) 4 1 6 ,2S ? ? ? ? ?所以四棱錐 P ABCD? 的體積為 1 1 8 5 1 2 8 51 6 .3 3 5 1 5V S P A? ? ? ? ? ? ? 解法 2:如圖 (2),以 A為坐標(biāo)原點(diǎn) , ,AB AD AP 所在直線分別為 x y z軸 ， 軸 ， 軸 建立空間直角坐標(biāo)系 .設(shè) ,PA h? 則相關(guān)的各點(diǎn)坐標(biāo)為 : ( 4 , 0 , 0) , ( 4 , 0 , 0) , ( 4 , 3 , 0) , ( 0 , 5 , 0) , ( 2 , 4 , 0) , ( 0 , 0 , ) .A B C D E P h (Ⅰ) 易知 ( 4 , 2 , 0 ) , ( 2 , 4 , 0 ) , ( 0 , 0 , ) .CD A E A P h? ? ? ?因?yàn)? 8 8 0 0 , 0 ,CD A E CD A P? ? ? ? ? ? ? ?所以 ,.C D AE C D AP??而 ,APAE 是平面PAE 內(nèi)的兩條相交直線 ,所以 .CD PA E? 平 面 (Ⅱ) 由題設(shè)和 (Ⅰ) 知 , ,CDAP 分別是 PAE平 面 , ABCD平 面 的法向量 ,而 PB與 PAE平 面 所成的角和 PB與 ABCD平 面 所成的角相等 ,所以 c os , c os , .C D PB PA PBC D PB PA PB C D PB PA PB??? ? ? ? ? ?, 即 由 (Ⅰ) 知 , ( 4 , 2 , 0 ) , ( 0 , 0 , ) ,CD A P h? ? ? ?由 (4,0, ),PB h??故 A B C D P E 圖 ② x y z 3 4 5 h 35 22216 0 0 0 0 .162 5 16hhhh? ? ? ? ?????? 解得 855h? . 又梯形 ABCD的面積為 1 (5 3 ) 4 1 62S ? ? ? ? ?,所以四棱錐 P ABCD? 的體積為 1 1 8 5 1 2 8 5163 3 5 1 5V S P A? ? ? ? ? ? ?. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間線面垂直關(guān)系的證明 ,考查空間角的應(yīng)用 ,及幾何體體積計(jì)算 .第一問(wèn)只要證明 PA CD? 即可 ,第二問(wèn)算出梯形的面積和棱錐的高 ,由 13V S PA? ? ? 算得體積 ,或者建立空間直角坐標(biāo)系 ,求得高幾體積 . 錯(cuò)誤 !未找到引用源。對(duì)于角度問(wèn)題 ,一般有直接法與空間向量法兩種求解方法 . 錯(cuò)誤 !未找到引用源。二、考查空間幾何體的體積與表面積 。C , 31 【點(diǎn)評(píng)】本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定 ,借助空間直角坐標(biāo)系求平面的法向量的方法 ,并利用法向量判定平面的垂直關(guān)系 ,考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力 ,難度適中 .第一小題可以通過(guò)線線平行來(lái)證明線面平行 ,也可通過(guò)面面平行來(lái)證明 . 錯(cuò)誤 !未找到引用源。C ,而 MN? 平面 MPN,所以 ,MN∥ 平面 39。C ,又 MP NP p??,因此平面 MPN∥ 平面39。C ,PN∥ 平面 39。C ,所以 ,MP∥ 平面 39。A ,PN∥ 39。B 39。AB 中點(diǎn) P,連結(jié) MP,NP,而 M,N分別是 A 39。 【答案及解析】 (1) 證明 :取 39。, ADBD 3? ,則 ABD? 為直角三角形 ,且 DBAD? .又 AE⊥BD, ?AD 平面 AED, ?AE 平面 AED,且 AAEAD ?? ,故BD⊥ 平面 AED。 解析 :(Ⅰ) 在 等 腰 梯 形 ABCD中 ,AB∥CD,∠DAB=60176。 平面 PAO ,PO b P? ∴ a? 平面 PAO ,又 c220。 ,n ?? ,所以 0an?? 故 0ac?? ,從而 ac? 證法二 如圖 ,記 c b A?? ,P 為直線 b 上異于點(diǎn) A 的任意一點(diǎn) ,過(guò) P 作 PO?? ,垂 足為 O,則 Oc? ∵ PO?? ,a ?220。 解 (1) 1 1 112 2 4ABCS? ? ? ? ?, 又 1CC 為 三 棱 錐 1C MBC? 的高 ,1 11 1 1 123 3 4 6C M B C A B CV S C C??? ? ? ? ? ? ? (2) //CD AB ,所以 1CMB? 或其補(bǔ)角為導(dǎo)面直線 CD 與 1MC 所成的角 . 連接 1,BC AB? 平面 11,BCC B AB BC??, 在 1Rt MBC?中 ,1 14 1 5 , 2B C M B? ? ? ? 15ta n 2 512C M B? ? ?,故 1 a rc ta n 2 5C M B? ? ? ,即異面直線 CD 與 1MC 所成的A B C D P E F 29 角為 arctan2 5 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 [解析 ](1)連接 , A B CPCO C P 與平面為直線? 所成的角 設(shè) AB的中點(diǎn)為 D,連接 PD、 CD. 因?yàn)?AB=BC=CA,所以 CD? AB. 因?yàn)?為，所以， P A DP A BA P B ??????? 6090 等邊三角形 , 不妨設(shè) PA=2,則 OD=1,OP= 3 ,AB=4. 所以 CD=2 3 ,OC= 1312122 ???? CDOD . 在 Rt 中，OCP? tan1