【正文】 aann???? ? ? ?? ?． 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 （ 1）求 1a ， 3a ； （ 3）求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng) na ． 解：（ 1） 據(jù)條件得111 1 1 12 ( 1 ) 2n n n nnna a a a????? ? ? ? ? ????? ① 當(dāng) 1n? 時(shí)，由2 1 2 11 1 1 12 2 2a a a a??? ? ? ? ?????，即有111 2 2 12244aa? ? ? ? ?， 解得12837a??．因?yàn)?1a 為正整數(shù)，故 1 1a? ． 當(dāng) 2n? 時(shí)，由331 1 1 12 6 244aa??? ? ? ? ?????， 解得 38 10a??，所以 3 9a? ． （ 2）方法一：由 1 1a? ， 2 4a? ， 3 9a? ，猜想： 2nan? ． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． 1 當(dāng) 1n? ， 2 時(shí)，由（ 1）知 2nan? 均成立； 2 假設(shè) ( 2)n k k? ≥ 成立，則 2kak? ，則 1nk??時(shí) 由 ① 得22111 1 1 12 ( 1 ) 2kkkka k a k????? ? ? ? ? ????? 2212 ( 1 ) ( 1 )11kk k k k kak k k?? ? ?? ? ?? ? ? 22212( 1 ) 1( 1 ) ( 1 )11kkk a kkk??? ? ? ? ? ? ??? 因?yàn)?2k≥ 時(shí)， 22( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) 0k k k k k? ? ? ? ? ? ≥，所以 ? ?22( 1) 011kk ? ?? ，． 11k?≥ ，所以 ? ?1 011k ?? ， ． 又 1ka? ? *N ，所以 221( 1) ( 1)kk a k???≤ ≤． 故 21 ( 1)kak? ??，即 1nk??時(shí)， 2nan? 成立． 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 由 1 ， 2 知，對任意 n?*N ， 2nan? ． （ 2）方法二： 由 1 1a? ， 2 4a? ， 3 9a? ，猜想： 2nan? ． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． 1 當(dāng) 1n? ， 2 時(shí)，由（ 1）知 2nan? 均成立； 2 假設(shè) ( 2)n k k? ≥ 成立，則 2kak? ，則 1nk??時(shí) 由 ① 得22111 1 1 12 ( 1 ) 2kkkka k a k????? ? ? ? ? ????? 即2111 1 ( 1 ) 122kkk k ka k a k????? ? ? ? ? ② 由 ② 左式，得 2111kk k kka?? ? ?? ，即 321( 1) kk a k k k?? ? ? ?，因?yàn)閮啥藶檎麛?shù)， 則 3 2 21( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 )kk a k k k k k?? ? ? ? ? ? ?≤ ．于是 21 ( 1)kak? ?≤ ③ 又由 ② 右式， 22221( 1 ) 2 1 ( 1 ) 1kk k k k k k ka k k?? ? ? ? ? ???． 則 231( 1 ) ( 1 )kk k a k k?? ? ? ?． 因?yàn)閮啥藶檎麛?shù)，則 2 4 31( 1 ) 1kk k a k k?? ? ? ?≥， 所以 43 21 221 ( 1 )11k k k kakk k k k? ?? ? ? ?? ? ? ?≥． 又因 2k≥ 時(shí)， 1ka? 為正整數(shù)，則 21 ( 1)kak? ?≥ ④ 據(jù) ③④ 21 ( 1)kak? ??，即 1nk??時(shí)， 2nan? 成立． 由 1 ， 2 知，對任意 n?*N ， 2nan? ． 江西文 21 設(shè) ??na 為等比數(shù)列， 1 1a? ， 2 3a? ． 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 （ 1）求最小的自然數(shù) n ，使 2022na ≥ ； （ 2）求和：2 1 2 3 21 2 3 2n nnT a a a a? ? ? ? ?． 解：（ 1）由已知條件得 1 12113n nn aa a ? ????????? ， 因?yàn)?673 2022 3??，所以，使 2022na ≥ 成立的最小自然數(shù) 8n? ． （ 2）因?yàn)? 2 3 2 11 2 3 4 21 3 3 3 3n nnT ?? ? ? ? ? ?，????① 2 2 3 4 2 1 21 1 2 3 4 2 1 23 3 3 3 3 3 3n nnnnT ??? ? ? ? ? ? ?，????② ?① ② 得： 2 2 3 2 1 24 1 1 1 1 213 3 3 3 3 3n nn nT ?? ? ? ? ? ? ? 2211231 313nnn???? 223 3 3 843nn n??? 所以 222 23 9 2 41 6 3nn n nT? ??? ． 江蘇理 20 已知 {}na 是等差數(shù)列， {}nb 是公比為 q 的等比數(shù)列， 1 1 2 2 1,a b a b a? ? ?，記 nS 為數(shù)列{}nb 的前 n 項(xiàng)和， （ 1）若 (,kmb a m k? 是大于 2 的正整數(shù) ) ，求證： 11( 1)kS m a? ??；（ 4 分） （ 2）若 3 (ib a i? 是某一正整數(shù) ) ，求證： q 是整數(shù)，且數(shù)列 {}nb 中每一項(xiàng)都是數(shù)列 {}na中的項(xiàng)；（ 8 分） （ 3）是否存在這樣的正數(shù) q ，使等比數(shù)列 {}nb 中有三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫出一個(gè) q 的值，并加以說明；若不存在，請說明理由；（ 4 分） 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 解：設(shè) {}na 的公差為 d ，由 1 1 2 2 1,a b a b a? ? ?，知 0, 1dq??， ? ?1 1d a q??（ 1 0a? ） （ 1）因?yàn)?kmba? ，所以 ? ? ? ?11 1 111ka q a m a q? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 2 1kq m q m m q? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 ? ? ? ?? ? ? ?11 1111 11 11 kkaq a m m qS m aqq??? ? ? ?? ? ? ?? （ 2） ? ? ? ?23 1 1 1, 1 1ib a q a a i a q? ? ? ? ?，由 3 iba? ， 所以 ? ? ? ? ? ? ? ?221 1 1 , 1 2 0 ,q i q q i q i? ? ? ? ? ? ? ? ?解得， 1q? 或 2qi?? ，但 1q? ，所以 2qi?? ，因?yàn)?i 是正整數(shù)，所以 2i? 是整數(shù)，即 q 是整數(shù)，設(shè)數(shù)列 {}nb 中任意一項(xiàng)為 ? ?11 nnb a q n N????，設(shè)數(shù)列 {}na 中的某一項(xiàng) ma ? ?mN?? = ? ? ? ?1111a m a q? ? ? 現(xiàn)在只要證明存在正整數(shù) m ，使得 nmba? ，即在方程 ? ? ? ?11 1 111na q a m a q? ? ? ? ?中 m有正整數(shù)解即可， ? ? ? ? 11 2 211 1 1 , 1 11nnn qq m q m q q qq??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??，所以 222 nm q q q ?? ? ? ?，若 1i ? ，則 1q ?? ，那么 2 1 1 1 , 2 2 2nnb b a b b a? ? ? ? ?，當(dāng) 3i ? 時(shí)，因?yàn)?1 1 2 2,a b a b??，只要考慮 3n? 的情況，因?yàn)?3 iba? ，所以 3i? ，因此 q 是正整數(shù)，所以 m 是正整數(shù)，因此數(shù)列 {}nb 中任意一項(xiàng)為 ? ?11 nnb a q n N????與數(shù)列 {}na 的第 222 nq q q ?? ? ? 項(xiàng)相等，從而結(jié)論成立。( ) 2f x x? ． 所以曲線 ()y f x? 在點(diǎn) ( , ( ))nnx f x 處的切線方程是： ( ) 39。5645 ??nn?。6725 由二項(xiàng)式定理知當(dāng) c＞ 0 時(shí)，不等式 cc 31)1( 3 ?? ＞ 成立。53 23)( )1( ?? ???????? ?????? nn nnnnfnf。13 356 因此 an+1 an3＝ 0。歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 2022 年高考數(shù)學(xué)試題匯編 3—— 數(shù)列 重慶文 1 在等比數(shù)列 {an}中， a2＝ 8， a5＝ 64，則公比 q 為（ A ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 8 重慶理 1 若等差數(shù)列 { na }的前三項(xiàng)和 93?S 且 11?a ，則 2a 等于（ A ） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 安徽文 3 等差數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 xS 若 ＝則 432 ,3,1 Saa ?? （ B ） A． 12 B． 10 C． 8 D． 6 遼寧文 5 設(shè)等差數(shù)列 {}na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，若 3 9S? ， 6 36S ? ，則 7 8 9a a a? ? ? （ B ） A． 63 B． 45 C． 36 D． 27 福建文 2 等比數(shù)列 ??na 中， 4 4a? ，則 26aa? 等于（ C ） Ａ． 4 Ｂ． 8 Ｃ． 16 Ｄ． 32 福建理 2 數(shù)列 {}na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，若 1( 1)na nn? ?，則 5S 等于（ B ） A． 1 B． 56 C． 16 D． 130 廣東理 5 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 已知數(shù)列 { na }的前 n 項(xiàng)和 2 9nS n n??，第 k 項(xiàng)滿足 58ka??，則 k? （ B ） A． 9 B． 8 C. 7 D． 6 湖北理 5 已知 p 和 q 是兩個(gè)不相等的正整數(shù)，且 2q≥ ，則111lim 111pqnnn????????? ?????????→（ C ） A． 0 B． 1 C． pq D． 11pq?? 湖南文 4 在等比數(shù)列 {}na （ n?N* ）中，若 1 1a? ，4 18a?，則該數(shù)列的前 10 項(xiàng)和為（ B ） A．412 2? B．212 2? C．1012 2? D．1112 2? 湖北理 8 已知兩個(gè)等差數(shù)列 {}na 和 {}nb 的前 n 項(xiàng)和分別為 An 和 nB ，且 7 453nnA nBn?? ?，則使得 nnab為整數(shù)的正整數(shù) n 的個(gè)數(shù)是（ D ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 湖南理 10 設(shè)集合 {1 2 3 4 5 6}M ? ， ， ， ， ， ， 12 kS S S， ， ， 都是 M 的含兩個(gè)元素的子集，且滿足：對任意的 {}i i iS a b? ， ， {}j j jS a b? ， （ ij? ， {1 2 3 }i j k?、 ， ， ， ， ）， 都 有m in m in jjiii i j jababb a b a???? ???? ? ? ??? ??， ，（ min{ }xy， 表示兩個(gè)數(shù) xy， 中的較小者），則 k 的最大值是（ B ） A． 10 B． 11 C． 12 D． 13