【正文】 記 sin1( ) 32 sin nfn n????????， ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 1 )1 2 3 4 5 6 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )f f f f nnnnT a a a a a a a a??? ? ? ?? ? ? ? ?…， 求證： 15()6 2 4nTn? *N≤ ≤． 本題主要考查等差、等比數(shù)列的基本知識，考查運算及推理能力．滿分 15 分． （ I）解：方程 2 ( 3 2 ) 3 2 0kkx k x k? ? ? ?的兩個根為 1 3xk? ， 2 2kx ? ， 當 1k? 時， 1232xx??， ， 所以 1 2a? ； 當 2k? 時， 1 6x? ， 2 4x? ， 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 @《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 所以 3 4a? ； 當 3k? 時， 1 9x? ， 2 8x? ， 所以 5 8a? 時； 當 4k? 時， 1 12x? ， 2 16x ? ， 所以 7 12a? ． （ II）解： 2 1 2 2nnS a a a? ? ? ? 2( 3 6 3 ) ( 2 2 2 )nn? ? ? ? ? ? ? ? 2 133 222 nnn ??? ? ?． （ III）證明： ( 1 )1 2 3 4 5 6 2 1 21 1 1 ( 1 ) fnnnnT a a a a a a a a???? ? ? ? ?， 所以1 12116T aa??， 2 1 2 3 41 1 524T a a a a? ? ?． 當 3n≥ 時， ( 1 )3 4 5 6 2 1 21 1 1 ( 1 )6 fnnnnT a a a a a a???? ? ? ? ?， 3 4 5 6 2 1 21 1 1 16nna a a a a a???? ? ? ?????≥ 231 1 1 1 16 6 2 6 2 2 n??? ? ? ?????≥ 1 1 16 6 2 6n? ? ? ， 同時， ( 1 )5 6 7 8 2 1 25 1 1 ( 1 )24 fnnnnT a a a a a a???? ? ? ? ? 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 @《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 5 6 1 2 2 1 25 1 1 124nna a a a a a???? ? ? ?????≤ 315 1 1 1 12 4 9 2 9 2 2 n??? ? ? ?????≤ 5 1 524 9 2 24n? ? ? ． 綜上，當 n?N* 時， 156 24nT≤ ≤． 浙江文 19 已知數(shù)列 { na }中的相鄰兩項 21ka? 、 2ka 是關(guān)于 x 的方程 2 ( 3 2 ) 3 2 0kkx k x k? ? ? ? ? 的兩個根，且 21ka? ≤ 2ka (k ＝ 1， 2， 3，? )． (I)求 1 3 5 7, , ,a a a a 及 2na (n≥ 4)(不必證明 )； (Ⅱ )求數(shù)列 { na }的前 2n 項和 S2n． 本題主要考查等差、等比數(shù)列的基本知識，考查運算及推理能力．滿分 14 分． (I)解：方程 2 ( 3 2 ) 3 2 0kkx k x k? ? ? ? ?的兩個根為 123 , 2kx k x??． 當 k＝ 1 時， 123, 2xx??，所以 1 2a? ； 當 k＝ 2 時， 126, 4xx??，所以 3 4a? ； 當 k＝ 3 時， 129, 8xx??，所以 5 8a? ； 當 k＝ 4 時， 1212, 16xx??，所以 7 12a? ； 因為 n≥ 4 時， 23n n? ，所以 2 2 ( 4)nnan?? （Ⅱ） 22 1 2 2 ( 3 6 3 ) ( 2 2 2 )nnnS a a a n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?＝ 2 133 222 nnn ?? ??． 天津理 21 在數(shù)列 ??na 中， 1112 ( 2 ) 2 ( )nnnna a a n? ? ????? ? ? ? ? ? N， ，其中 0?? ． （ Ⅰ ）求數(shù)列 ??na 的通項公式； 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 @《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 （ Ⅱ ）求數(shù)列 ??na 的前 n 項和 nS ； （ Ⅲ ）證明存在 k ??N ，使得 11nkaa??≤ 對任意 n ??N 均成立． 本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查等比數(shù)列的前 n 項和公式、數(shù)列求和、不等式的證明等基礎(chǔ)知識與基本方法，考查歸納、推理、運算及靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力．滿分 14 分． （ Ⅰ ）解法一： 2 2 22 2 ( 2 ) 2 2a ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， 2 2 3 2 3 33 ( 2 ) ( 2 ) 2 2 2a ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?， 3 3 4 3 4 44 ( 2 2 ) ( 2 ) 2 3 2a ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?． 由此可猜想出數(shù)列 ??na 的通項公式為 ( 1) 2nnnan ?? ? ?． 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明． （ 1）當 1n? 時， 1 2a? ，等式成立． （ 2）假設(shè)當 nk? 時等式成立，即 ( 1) 2kkkak ?? ? ?， 那么 111 ( 2 ) 2kkkaa? ? ??? ? ? ? ? 11( 1 ) 2 2 2k k k k kk? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? 11[( 1) 1] 2kkk ? ??? ? ? ?． 這就是說，當 1nk??時等式也成立．根據(jù)（ 1）和（ 2）可知，等式 ( 1) 2nnnan ?? ? ?對任何 n ??N 都成立． 解法二：由 11 ( 2 ) 2 ( )nnnna a n? ? ???? ? ? ? ? ? N， 0?? ， 可得 111 22 1nnnnaa? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 所以 2 nnna?????????????????為等差數(shù)列，其公差為 1，首項為 0，故 2 1nnna n????? ? ????? ，所以數(shù)列 ??na 的通項公式為 ( 1) 2nnnan ?? ? ?． （ Ⅱ ）解：設(shè) 2 3 4 12 3 ( 2) ( 1 )nnnT n n? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?， ① 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 @《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 3 4 5 12 3 ( 2) ( 1 )nnnT n n? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ② 當 1?? 時， ① 式減去 ② 式， 得 212 3 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 nn n nnT n n??? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??， 2 1 1 2 1 222( 1 ) ( 1 )( 1 ) 1 ( 1 )n n n nn n n nT ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?． 這時數(shù)列 ??na 的前 n 項和 2 1 2 12( 1 ) 22(1 )nn nn nnS ? ? ???? ?? ? ?? ? ??． 當 1?? 時， ( 1)2n nnT ??．這時數(shù)列 ??na 的前 n 項和 1( 1) 222 nn nnS ??? ? ?． （ Ⅲ ）證明：通過分析，推測數(shù)列 1nnaa???????的第一項 21aa 最大，下面證明： 21 214 ,22nna a naa ?? ??? ≥． ③ 由 0?? 知 0na? ，要使 ③ 式成立，只要 212 ( 4) ( 2)nna a n?? ?? ≥， 因為 2 2 2( 4) ( 4) ( 1 ) ( 1 ) 2nnnan? ? ? ?? ? ? ? ? ? 124 ( 1 ) 4 2 4( 1 ) 2n n n nnn? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? 12 12 2 2 2nn nn a n? ?? ??? ，≥ ≥． 所以 ③ 式成立． 因此，存在 1k? ，使得 1121nkaa aa a a???≤ 對任意 n ??N 均成立． 天津文 20 在數(shù)列 ??na 中， 1 2a? ， 1 4 3 1nna a n? ? ? ?， n?*N ． （ Ⅰ ）證明數(shù)列 ? ?nan? 是等比數(shù)列； （ Ⅱ ）求數(shù)列 ??na 的前 n 項和 nS ； （ Ⅲ ）證明不等式 1 4nnSS? ≤ ，對任意 n?*N 皆成立． 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 @《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查等比數(shù)列的概念、 等比數(shù)列的通項公式及前 n 項和公式、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，考查運算能力和推理論證能力．滿分 12分． （ Ⅰ ）證明：由題設(shè) 1 4 3 1nna a n? ? ? ?，得 1 ( 1) 4 ( )nna n a n? ? ? ? ?， n?*N ． 又 1 11a?? ，所以數(shù)列 ? ?nan? 是首項為 1，且公比為 4 的等比數(shù)列． （ Ⅱ ）解：由（ Ⅰ ）可知 14nnan??? ，于是數(shù)列 ??na 的通項公式為 14nnan???． 所以數(shù)列 ??na 的前 n 項和 4 1 ( 1)32nn nnS ????． （ Ⅲ ）證明：對任意的 n?*N ， 11 4 1 ( 1 ) ( 2 ) 4 1 ( 1 )443 2 3 2nnnn n n n nSS?? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ????? 21 (3 4 ) 02 nn? ? ? ? ≤． 所以不等式 1 4nnSS? ≤ ，對任意 n?*N 皆成立． 四川文 22 已知函數(shù) f（ x） =x2－ 4，設(shè)曲線 y＝ f（ x）在點（ xn， f（ xn））處的切線與 x 軸的交點為（ xn+1,u）（ u,N +），其中為正實數(shù) . （ Ⅰ ）用 xx 表示 xn+1； （ Ⅱ ）若 a1=4，記 an=lg 22nnxx??，證明數(shù)列｛ a1｝成等比數(shù)列，并求數(shù)列｛ xn｝的通項公式； （ Ⅲ ）若 x1＝ 4， bn＝ xn－ 2， Tn 是數(shù)列｛ bn｝的前 n 項和，證明 Tn3. 解析：本題綜合考查數(shù)列、函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等知識，以及推理論證、計算及解決問題的能力． 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 @《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 （Ⅰ）由題可得 39。( ) 2f x x? ． 所以曲線 ()y f x? 在點 ( , ( ))nnx f x 處的切線方程是： ( ) 39。( ) ( )n n ny f x f x x x? ? ?． 即 2( 4) 2 ( )n n ny x x x x? ? ? ?． 令 0y? ，得 2 1( 4) 2 ( )n n n nx x x x?? ? ? ?． 即 2 142n n nx x x ??? ． 顯然 0nx? ，∴1 22nn nxx x? ??． （Ⅱ）由1 22nn nxx x? ??，知 21 ( 2 )22222nnn nnxxx xx? ?? ? ? ? ?，同理 21 ( 2)2 2nn nxx x? ???． 故 21122()nnxx???????． 從而 1122lg 2 lgnnxx???????，即 1 2nnaa? ? ．所以，數(shù)列 {}na 成等比數(shù)列． 故 1 1 111 1 22 2 l g 2 l g 32n n nn xaa x? ? ??? ? ??． 即 12lg 2 lg 32 nnnxx ?? ??． 從而 122 32 nnnxx ?? ?? 所以 1122