20xx年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編——立體幾何（二）-文庫吧
2025-07-19 03:49 本頁面
【正文】 3。 3 分 （ Ⅰ ）因為 1 0AC DB? ， 1 0AC DE? ， 故 1AC BD? ， 1AC DE? ． 又 DB DE D? ， 所以 1AC? 平面 DBE ． 6 分 （ Ⅱ ）設(shè)向量 ()x y z? ， ，n 是平面 1DAE 的法向量，則 DE?n ， 1DA?n ． 故 20yz?? ， 2 4 0xz??． 令 1y? ，則 2z?? ， 4x? ， (41 2)??， ，n ． 9 分 1AC，n等于二面角 1A DE B??的平面角， 4214,c o s 1 11 ??? CAn CAnCAn． 所以 二面角 1A DE B??的大小為 14arccos 42 ． 12 分 3．（ 北京卷 16） 如圖，在三棱錐 P ABC? 中， 2AC BC??， 90ACB??， AP BP AB??，PC AC? ． （ Ⅰ ）求證： PC AB? ； （ Ⅱ ）求二面角 B AP C??的大?。? （ Ⅲ ）求點 C 到平面 APB 的距離． 解法一： （ Ⅰ ）取 AB 中點 D ，連結(jié) PD CD， ． AP BP? ， PD AB??． A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z A C B P 4 AC BC? ， CD AB??． PD CD D? ， AB??平面 PCD ． PC? 平面 PCD ， PC AB??． （ Ⅱ ） AC BC? ， AP BP? ， APC BPC?△ ≌ △ ． 又 PC AC? ， PC BC??． 又 90ACB??，即 AC BC? ，且 AC PC C? ， BC??平面 PAC ． 取 AP 中點 E ．連結(jié) BE CE， ． AB BP? ， BE AP??． EC 是 BE 在平面 PAC 內(nèi)的射影， CE AP??． BEC?? 是二面角 B AP C??的平面角． 在 BCE△ 中， 90BCE??， 2BC? ， 3 62BE AB??， 6s in 3BCBEC BE? ? ? ?． ?二面角 B AP C??的大小為 6arcsin 3 ． （ Ⅲ ）由（ Ⅰ ）知 AB? 平面 PCD ， ?平面 APB? 平面 PCD ． 過 C 作 CH PD? ，垂 足為 H ． 平面 APB 平面 PCD PD? ， CH??平面 APB ． CH? 的長即為點 C 到平面 APB 的距離． 由（ Ⅰ ）知 PC AB? ，又 PC AC? ，且 AB AC A? ， PC??平面 ABC ． CD? 平面 ABC ， PC CD??． 在 Rt PCD△ 中， 1 22CD AB??， 3 62PD PB??， 22 2P C P D C D? ? ? ?． A C B D P A C B E P A C B D P H 5 3 32??? PD CDPCCH ． ?點 C 到平面 APB 的距離為 233 ． 解 法二： （ Ⅰ ） AC BC? ， AP BP? ， APC BPC?△ ≌ △ ． 又 PC AC? ， PC BC??． AC BC C? ， PC??平面 ABC ． AB? 平面 ABC ， PC AB??． （ Ⅱ ）如圖，以 C 為原點建立空間直角坐標(biāo)系 C xyz? ． 則 (0 0 0 ) (0 2 0 ) ( 2 0 0 )C A B， ， ， ， ， ， ， ，． 設(shè) (00 )Pt， ， ． 22P B A B??， 2t??， (002)P ， ， ． 取 AP 中點 E ，連結(jié) BE CE， ． AC PC? ， AB BP? ， CE AP??， BE AP? ． BEC?? 是二面角 B AP C??的平面角． (011)E ， ， ， (0 1 1)EC ? ? ?， ， ， (2 1 1)EB ? ? ?， ， ， 3362 2c o s ?????? EBEC EBECBEC． ?二面角 B AP C??的大小為 3arccos 3 ． （ Ⅲ ） AC BC PC??， C? 在平面 APB 內(nèi)的射影為正 APB△ 的中心 H ，且 CH 的長為點 C 到平面 APB 的距離． 如（ Ⅱ ）建立 空間直角坐標(biāo)系 C xyz? ． 2BH HE? ， ?點 H 的坐標(biāo)為 222333??????， ， ． A C B P z x y H E 6 233CH??． ?點 C 到平面 APB 的距離為 233 ． 4.（ 四川卷 19） ．（本小題滿分 12 分） 如，平面 ABEF? 平面 ABCD ，四邊形 ABEF 與 ABCD 都是直角梯形， 090 ,B A D F A B B C? ? ? ?//? 12AD ， BE //? 12AF （Ⅰ）證明： , , ,C DF E 四點共面
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