【正文】 綜合 ①、②可知，對(duì)任意正整數(shù) n， cosnA 是有理數(shù)。 當(dāng) 1nk??時(shí)，由 c os( 1 ) c os c os si n si nk A A k A A k A? ? ? ? ?， si n si n( 1 ) si n ( si n c os c os si n ) ( si n si n ) c os ( si n si n ) c osA k A A A k A A k A A A k A A k A A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 及①和歸納假設(shè)，知 cos( 1)kA? 和 sin sin( 1)A k A??都是有理數(shù)。 ①當(dāng) 1n? 時(shí)，由（ 1）知 cosA 是有理數(shù)，從而有 2si n si n 1 c osA A A? ? ?也是有理數(shù)。 （方法二）證明：（ 1）由 AB、 BC、 AC 為有理數(shù)及余弦定理知 2 2 2c o s 2A B A C B CA A B A C??? ?是有理數(shù)。 即當(dāng) 1nk??時(shí)，結(jié)論成立。 （ 2） ① 當(dāng) 1n? 時(shí)，顯然 cosA 是有理數(shù) ； 當(dāng) 2n? 時(shí)，∵ 2cos 2 2 cos 1AA??，因?yàn)?cosA 是有理數(shù) ， ∴ cos2A 也是有理數(shù)； ②假設(shè) 當(dāng) ( 2)n k k??時(shí)，結(jié)論成立，即 coskA、 cos( 1)kA? 均 是有理數(shù)。 滿分 10 分。 （ 1） 求證 cosA 是有理數(shù)；（ 2）求證：對(duì)任意正整數(shù) n， cosnA 是有理數(shù)。 故所求的 d 是 555 m。 （ 2）由題設(shè)知 d AB? ，得 ta n , ta nH H h H hd A D D B d?? ?? ? ? ?， 2ta n ta nta n ( )()1 ta n ta n ( )1H H hh d hddH H h H H hd H H h dd d d?????????? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? () 2 ( )H H hd H H hd ?? ? ?，（當(dāng)且僅當(dāng) ( ) 1 2 5 1 2 1 5 5 5d H H h? ? ? ? ?時(shí)，取等號(hào)） 故當(dāng) 55 5d? 時(shí)， tan( )??? 最大。 AD— AB=DB，故得ta n ta n ta nH H h? ? ???，解得： ta n 4 1 . 2 4 124ta n ta n 1 . 2 4 1 . 2 0hH ??? ?? ? ???。若電視塔的實(shí)際高度為 125m，試問 d 為多少時(shí)， ? ? 最大？ [解析 ] 本 題主要考 查 解三角形的知識(shí)、兩角差的正切及不等式的應(yīng)用。 （ 2022 江蘇卷） 1（本小題滿分 14 分） 某興趣小組測(cè)量電視塔 AE 的高度 H(單位： m），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿 BC 的高度 h=4m，仰角∠ ABE=? ，∠ ADE=? 。 （ 2022 安徽理數(shù)） 1（ 本小題滿分 12分） 設(shè) ABC? 是銳角三角形， ,abc分別是內(nèi)角 ,ABC 所對(duì)邊長(zhǎng)，并且 22si n si n ( ) si n ( ) si n33A B B B??? ? ? ?。 【解析】如圖，由（ 1）得 10 3 ,A C=1 0, , , A CO C O C A C A C??故 且 對(duì) 于 線 段 上 任 意 點(diǎn) P 有 OP OC ，而小艇的最高航行速度只能達(dá)到 30 海里 /小時(shí)，故輪船與小艇不可能在 A、 C（包含 C）的任意位置相遇，設(shè)CO D = ( 0 9 0 ) , 1 0 3 ta nR t CO D CD? ? ?? ? ?則 在 中 ， OD=103cos? ， 由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時(shí)間分別為 10 10 3 ta n30t ??? 和 10 3cost v ?? ， 所以 10 10 3 tan30 ?? 103cosv ?? ，解得 1 5 3 3, 3 0 , s in ( + 3 0 )s in ( + 3 0 ) 2vv ??? ? ?又 故， 從而 3 0 9 0 , 3 0 ta n? ? ???由 于 時(shí) ， 取 得 最 小值，且最小值為 33 ，于是 當(dāng) 30?? 時(shí) ， 10 10 3 ta n30t ??? 取得最小值，且最小值為 23 。假設(shè)該小船沿直線方向以 v 海里 /小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過 t小時(shí)與輪船相遇。 （ 2022福建理數(shù)） 19． （本小題滿分 13分） O某 港 口 要 將 一 件 重 要 物 品 用 小 艇 送 到 一 艘 正 在 航 行 的 輪 船 上。 （ 2022山東理數(shù)） （ 2022 湖南理數(shù)） 16． （本小題滿分 12 分） 已知函數(shù) 2( ) 3 si n 2 2 si nf x x x??． （Ⅰ）求函數(shù) ()fx的最大值； （ II）求函數(shù) ()fx的零點(diǎn)的集合。 【解析】 本小題主要考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦、函數(shù) sin( )y A x????的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力，滿分 12分。 （ Ⅰ ）證明 B=C： （ Ⅱ ）若 cosA =13 ，求 sin 4B3????????的值。 解：（ I） 22 3 9( ) 2 c o s si n 4 c o s 13 3 3 3 4 4f ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? （ II） 22( ) 2( 2 c os 1 ) ( 1 c os ) 4 c osf x x x x? ? ? ? ? = 23 cos 4 cos 1xx?? = 2273(cos )33x??,xR? 因?yàn)?cosx ? [ 1,1]? ， 所以，當(dāng) cos 1x?? 時(shí)， ()fx取最大值 6；當(dāng) 2cos 3x? 時(shí)， ()fx取最小值 73? （ 2022 四川理數(shù)） （ 19）（本小題滿分 12 分） （Ⅰ） ○ 1 證明兩角和的余弦公式 C : c o s( ) c o s c o s sin sin?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?； ○ 2 由 C??? 推導(dǎo)兩角和的正弦公式 S : sin ( ) sin c o s c o s sin?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?. （Ⅱ）已知△ ABC 的面積 1 ,32S AB AC? ? ?，且 35cosB? ，求 cosC. 本小題主要考察兩角和的正、余弦公式、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)及運(yùn)算能力。 （ 2022北京理數(shù) ） （ 15）（ 本小題共 13 分 ） . 已知函數(shù) (x)f 22 c os 2 si n 4 c osx x x? ? ?。 （ I） 求 ??fx的值域； （ II） 記 ABC? 的內(nèi)角 A、 B、 C 的對(duì)邊長(zhǎng)分別為 a， b， c，若 ? ?fB=1， b=1,c= 3 ，求 a 的值。 （Ⅰ）求角 C 的大??； （Ⅱ）求 sin sinAB? 的最大值。 (Ⅰ )求 ABAC ； (Ⅱ )若 1cb??，求 a 的值。 【解析】 考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、已知三角函數(shù)值求值問題。 （ 2022江西理數(shù) ） 17.（本小題滿分 12 分） 已知函數(shù) ? ? ? ? 21 c o t s in s in s in44f x x x m x x??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?。 【解析】本題考查了同角三 角函數(shù)的關(guān)系、正弦定理與余弦定理的基礎(chǔ)知 識(shí)。 時(shí)， sinB+sinC 取得最大值 1。 （ 2022 遼寧理數(shù)） （ 17）（本小題滿分 12 分） 在△ ABC 中， a, b, c 分別為內(nèi)角 A, B, C 的對(duì)邊，且 2 si n ( 2 ) si n ( 2 ) si n .a A a c B c b C? ? ? ? （Ⅰ）求 A 的大??； （Ⅱ）求 sin sinBC? 的最大值 . 解： （Ⅰ）由已知，根據(jù)正弦定理得 22 ( 2 ) ( 2 )a b c b c b c? ? ? ? 即 2 2 2a b c bc? ? ? 由余弦定理得 2 2 2 2 c osa b c bc A? ? ? 故 1cos 2A?? ， A=120176。 , ? ADB=60176。 , ? ADB=60176。 6 b12=0 解得 b= 6 或 2 6 所以 b= 6 b= 6 c=4 或 c=4 （ 2022全國(guó)卷 2理數(shù)） （ 17）（本小題滿分 10分） ABC? 中， D 為邊 BC 上的一點(diǎn)， 33BD? ， 5sin 13B? ， 3cos 5ADC??，求 AD ． 【命題意 圖】本試題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和差公式和正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握情況 . 【參考答案】 由 cos∠ ADC= ＞ 0，知 B＜ . 由已知得 cosB= ， sin∠ ADC= . 從而 sin∠ BAD=sin（∠ ADCB） =sin∠ ADCcosBcos∠ ADCsinB= = . 由正弦定理得 ，所以 = . 【點(diǎn)評(píng)】三角函數(shù)與解三角形的綜合性問題，是近幾年高考的熱點(diǎn)，在高考試題中頻繁出現(xiàn) .這類題型難度比較低，一般出現(xiàn)在 17 或 18 題，屬于送分題，估計(jì)以后這類題型仍會(huì)保 留，不會(huì)有太大改變 .解決此類問題，要根據(jù)已知條件，靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理，求邊角或?qū)⑦吔腔セ?. （ 2022陜西文數(shù)） 17.（本小題滿分 12分） 在△ ABC中，已知 B=45176。 （Ⅰ）解：因?yàn)?cos2C=12sin2C= 14? ，及 0＜ C＜π 所以 sinC= 104 . （Ⅱ）解：當(dāng) a=2， 2sinA=sinC 時(shí)，由正弦定理 acsinA sinC? ，得 c=4 由 cos2C=2cos2C1= 14? ， J 及 0＜ C＜ π得 cosC=177。 (II) 求 函數(shù) ()fx的最大值及 ()fx取最大值時(shí) x 的集合。 當(dāng) A=B 或 a=b 時(shí)滿足題意，此時(shí)有： 1cos 3C? ， 2 1 c o s 1ta n 2 1 c o s 2CCC???? ， 2tan 22C? ， 1t a n t a n 2t a n 2AB C? ? ?， tan tant