【正文】 9 分 故1 1 2 21 1 1 1 1 1 1 16 2 2 3 3 4 ( 1 )nna b a b a b n n??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???… … 1 1 1 1 1 1 1 16 2 2 3 3 4 1nn??? ? ? ? ? ? ? ??? ???… 1 1 1 1 1 1 56 2 2 1 6 4 1 2n??? ? ? ? ? ?????? 綜上，原不等式成立． 本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明等基礎(chǔ)知識和基本技能，同時考查邏輯推理能力．滿分 14 分． （Ⅰ）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明． ①當(dāng) 1n? 時，因為 2a 是方程 2 10xx? ? ? 的正根，所以 12aa? ． ②假設(shè)當(dāng) *()n k k??N 時， 1kkaa?? ， 因為 221kkaa? ? 222 2 1 1( 1 ) ( 1 )k k k ka a a a? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2 1 2 1( ) ( 1 )k k k ka a a a? ? ? ?? ? ? ?， 所以 12kkaa??? ． 即當(dāng) 1nk??時， 1nnaa?? 也成立． 鄭學(xué)偉 第 20 頁 20201011 延津縣高級中學(xué) 根據(jù)①和②，可知 1nnaa?? 對任何 *n?N 都成立． （Ⅱ）證明：由 22111k k ka a a??? ? ?， 1 2 1kn??， ， ， （ 2n≥ ）， 得 222 3 1( ) ( 1 )nna a a a n a? ? ? ? ? ? ?． 因為 1 0a? ，所以 21nnS n a? ? ? ． 由 1nnaa?? 及 22111 2 1n n na a a??? ? ? ?得 1na? ， 所以 2nSn?? ． （Ⅲ）證明：由 2211 12k k k ka a a a??? ? ? ≥，得 111 ( 2 3 1 3 )12 kkka k n naa ?? ??? ≤ ， ， ， ， ≥ 所以23 4 21 ( 3 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 nnn a aa a a a?? ? ? ≤ ≥， 于是2 2 2 22 3 2 211 ( 3 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 ( ) 2 2nnn n nn aa na a a a a? ? ???? ? ? ?≤ ≥， 故當(dāng) 3n≥ 時，2111 1 322n nT ?? ? ? ? ? ?， 又因為 1 2 3T T T??， 所以 3nT? ． 15.（ 遼寧卷 21） ． （本小題滿分 12 分） 在數(shù)列 ||na ， ||nb 中， a1=2， b1=4，且 1n n na b a ?， ， 成等差數(shù)列， 11n n nb a b??， ， 成等比數(shù)列（ n?*N ） （ Ⅰ ）求 a2， a3， a4及 b2， b3， b4，由此猜測 ||na ， ||nb 的通項公式，并證明你的結(jié)論； （ Ⅱ ）證明：1 1 2 21 1 1 512nna b a b a b? ? ? ?? ? ?…． 本小題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列，數(shù)學(xué)歸納法，不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行歸納、總結(jié)、推理、論證等能力．滿分 12 分． 解：（Ⅰ）由條件得 21 1 12 n n n n n nb a a a b b? ? ?? ? ?， 由此可得 2 2 3 3 4 46 9 1 2 1 6 2 0 2 5a b a b a b? ? ? ? ? ?， ， ， ， ，． 35 ??? nfn 為正偶數(shù)時，當(dāng) ∴ f(n)的最大值為 f(1)=35 ,f(n)的最小值為 f(2)= 95 , 于是，由①式得 95 a53 (λ +18), .1831853 ??????? abb ? 當(dāng) ab? 3a 時，由－ b18 ? =3a18，不存在實數(shù)滿足題目要求； 當(dāng) b3a 存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù) n,都有 aSnb,且λ的取值范圍是（－ b18,3a18） . 鄭學(xué)偉 第 13 頁 20201011 延津縣高級中學(xué) 10.（ 湖南卷 18） .（本小題滿分 12分） 數(shù)列 ? ? 221 2 21 , 2 , ( 1 c o s ) s in , 1 , 2 , 3 , .22n n nnna a a a a n???? ? ? ? ? ?滿 足 (Ⅰ )求 34,aa并求數(shù)列 ??na 的通項公式； (Ⅱ )設(shè) 21122 ,.nn n nnab S b b ba ?? ? ? ? ?證明：當(dāng) 16 2 .nnS n? ? ?時 ， 解 : (Ⅰ )因為 121, 2,aa??所以 223 1 1(1 c o s ) s in 1 2 ,22a a a??? ? ? ? ? ? 224 2 2(1 c o s ) sin 2 4 .a a a??? ? ? ? ? 一般地，當(dāng) *2 1( N )n k k? ? ? 時， 222 1 2 1( 2 1 ) 2 1[ 1 c o s ] s in22kkkkaa ? ?????? ? ? ＝ 211ka ? ? ，即 2 1 2 1 ???? 所以數(shù)列 ? ?21ka? 是首項為 公差為 1的等差數(shù)列，因此 ? ? 當(dāng) *2 ( N )n k k??時， 222 2 2 2( 1 c o s ) s in 2 .22k k kkka a a??? ? ? ? ? 所以數(shù)列 ? ?2ka 是首項為 公比為 2的等比數(shù)列，因此 2 ? 故數(shù)列 ??na 的通項公式為**21 , 2 1 ( N ) ,22 , 2 ( N ) .n nn n k kan k k?? ? ? ??? ?? ??? (Ⅱ )由 (Ⅰ )知， 2122 ,2nn na nb a ??? 231 2 3 ,2 2 2 2n nnS ? ? ? ? ? ① 2 2 4 11 1 2 32 2 2 2 2n nnS ?? ? ? ? ? ② ① ②得，2 3 11 1 1 1 1 .2 2 2 2 2 2n nn nS ?? ? ? ? ? ? 21111[1 ( ) ]122 1.1 2 2 212n n nnn???? ? ? ? ?? 所以1122 2 .2 2 2n n n nnnS ? ?? ? ? ? ? 要證明當(dāng) 6n? 時， 12nS n??成立，只需證明當(dāng) 6n? 時， ( 2) 12nnn? ?成立 . 證法一 鄭學(xué)偉 第 14 頁 20201011 延津縣高級中學(xué) (1)當(dāng) n = 6時，66 ( 6 2 ) 4 8 3 12 6 4 4?? ? ? ?成立 . (2)假設(shè)當(dāng) ( 6)n k k??時不等式成立，即 ( 2) 1.2kkk? ? 則當(dāng) n=k+1時，1( 1 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 3 ) 2 2 ( 2 ) ( 2 ) 2kkk k k k k k k kk k k k?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? 由 (1)、 (2)所述，當(dāng) n≥ 6時，2( 1) 12nn? ?.即當(dāng) n≥ 6時， 12.nS n?? 證法二 令2( 2 ) ( 6 )2n nn???，則 21 1 2 1( 1 ) ( 3 ) ( 2 ) 3 2 2nn nnn n n n ncc? ??? ? ? ?? ? ? ? ? 所以當(dāng) 6n? 時， 1nncc? ? .因此當(dāng) 6n? 時，6 6 8 3 4 4ncc ?? ? ? ? 于是當(dāng) 6n? 時，2( 2) ? ? 綜上所述，當(dāng) 6n? 時， 12.nS n?? 11.（ 陜西卷 22） ．（本小題滿分 14 分） 已知數(shù)列 {}na 的首項1 35a?，1 321nn naa a? ? ?， 12n?， ， ． （Ⅰ）求 {}na 的通項公式； （Ⅱ）證明：對 任意的 0x? ，21 1 21 (1 ) 3n naxxx ???????? ??≥， 12n?， ， ； （Ⅲ）證明： 212 1n na a a n? ? ? ? ?． 解法一：（Ⅰ）1 321nn naa a? ? ?，11 2 133nnaa?? ? ?，11 1 1113nnaa???? ? ? ?????， 又 1213na ??， 1 1na????????是以 23 為首項， 13 為公比的等比數(shù)列． ?11 2 1 21 3 3 3nnna ?? ? ?， 332nn na???． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 3 032nn na ???， 鄭學(xué)偉 第 15 頁 20201011 延津縣高級中學(xué) 21 1 21 (1 ) 3 n xxx ???????? ?? 21 1 2 111 (1 ) 3 n xxx ??? ? ? ? ????? ?? 21 1 1 (1 )1 (1 ) n xx x a??? ? ? ??????? 21 1 2(1 ) 1na x x? ? ??? 2111 nnn aaax??? ? ? ??????na≤， ?原不等式成立． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，對任意的 0x? ，有 12 2 2 21 1 2 1 1 21 ( 1 ) 3 1 ( 1 ) 3na a a x xx x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?