【正文】 1 c o sP M P N M P N??＝ ,求點 P的坐標 . 解： (Ⅰ )由橢圓的定義，點 P的軌跡是以 M、 N為焦點，長軸長 2a=6的橢圓 . 因此半焦距 c=2，長半軸 a=3，從而短半軸 b= 22 5ac??， 所以橢圓的方程為 ?? (Ⅱ )由 2 ,1 c o sP M P N M P N? ?得 A B O Q y x l M H l1 28 c os M P N M P N P M P N?? ① 因為 cos 1,MPN P? 不為橢圓長軸頂點，故 P、 M、 N 構成三角形 .在△ PMN中， 4,MN ? 由 余 弦 定 理 有 2 2 2 2 c o s .M N P M P N P M P N M P N? ? ? ② 將①代入②，得 2224 2 ( 2 ) .P M P N P M P N? ? ? ? 故點 P在以 M、 N為焦點，實軸長為 23的雙曲線 2 2 13x y??上 . 由 (Ⅰ )知，點 P的坐標又滿足 22195xy??，所以 由方程組 22225 9 45,3 3.xyxy? ???????? 解得33,25 .2xy? ?????? ???? 即 P點坐標為 3 3 5 3 3 5 3 3 5 3 3 5( , )2 2 2 2 2 2 2 2?、 （ ， ） 、 （ ， ） 或 （ ， ） . 。 （Ⅰ）求曲線 C 的方程； （Ⅱ）求出直線 ? 的方程，使得QAQB2 為常數(shù)。 14.（天津卷 22） （本小題滿分 14 分） 已知中心在原點的雙曲線 C的一個焦點是 ? ?0,31 ?F ，一條漸近線的方程是 025 ?? yx ． （Ⅰ）求雙曲線 C 的方程； （Ⅱ）若以 ? ?0?kk 為斜率的直線 l 與雙曲線 C相交于兩個不同的點 M， N，且線段 MN的 25 垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為281，求 k 的取值范圍． （ 22）本小題主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)、直線方程、兩條直線垂直、線段的定比分點等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理運算能力．滿分 14 分． （ Ⅰ）解：設 雙曲線 C 的方程為 221xyab??（ 0, 0ab??） ．由題設得 22952abba? ???? ???，解得 2245ab? ??????，所以雙曲線方程為 22145xy??． 的方程為 y kx m??（ 0k? ）．點 11( , )M x y ， 22( , )N x y 的坐（Ⅱ） 解：設直線 l22145y kx mxy????? ???? 標 滿 足 方 程組將 ①式代入②式，得 22()145x kx m???，整理得 2 2 2( 5 4 ) 8 4 20 0k x k m x m? ? ? ? ?． 此方程有兩個一等實根，于是 25 04k? ? ，且 2 2 2( 8 ) 4( 5 4 )(4 20) 0km k m? ? ? ? ? ? ?．整理得 225 4 0mk? ? ?． ③ 由根與系數(shù)的關系可知線段 MN 的中點坐標 00( , )xy 滿足 120 242 5 4xx kmx k????， 00 2554my k x m k? ? ? ?． 從而線段 MN 的垂直平分線方程為225 1 4()5 4 5 4m k myxk k k? ? ? ???． 此直線與 x 軸， y 軸的交點坐標分別為29( ,0)54kmk?，29(0, )54mk?．由題設可得221 9 9 8 1| | | |2 5 4 5 4 2k m mkk????．整理得 222 (5 4 )||km k??， 0k? ． 將上式代入 ③ 式得 22 2(5 4 ) 5 4 0||k kk? ? ? ?，整理得 22( 4 5 ) ( 4 | | 5 ) 0k k k? ? ? ?， 0k? ． 解得 50 | | 2k?? 或 5||4k? ． 所以 k 的取值范圍是 5 5 5 5, ) ( , 0 ) ( 0 , ) ( , )4 2 2 4( ? ? ?? ??． 26 15.（浙江卷 20） （本題 15 分）已知曲線 C 是到點 P（83,21?）和到直線85??y距離相等的點的軌跡。 【解】： 由 2 2 2a b c??與 22ae c?? ，得 222ab? 24 122200F a F a? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ， ， l 的方程為 2xa? 設 ? ? ? ?1222M a y N a y， ， ， 則1 1 2 23 2 222F M a y F N a y? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ， ， 由 120F M F N??得 212 3 02y y a?? ＜ ① （ Ⅰ ）由12 25F M F N??，得 22132 252 ay???????? ② 2222 252 ay???????? ③ 由 ①、②、③三式，消去 12,yy，并求得 2 4a? 故 22, 22ab? ? ? （ Ⅱ ） ? ?2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 4 6M N y y y y y y y y y y y y a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 當且僅當12 62y y a? ? ?或21 62y y a? ? ?時， MN 取最小值 62a 此時， ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 1 23 2 2 2 2 , 2 2 , 0 222F M F N a y a y a y y a F F? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ， 故 12FM F N? 與 12FF 共線。 6 分 （ Ⅱ ）解法一：根據(jù)點到直線的距離公式和 ① 式知，點 EF， 到 AB 的距離分別為2111 222 2 ( 1 2 1 4 )55 ( 1 4 )x k x kkhk?? ? ? ????， 2222 222 2 ( 1 2 1 4 )55 ( 1 4 )x k x kkhk?? ? ? ????． 12 分 9.（全國一 21） ．（本小題滿分 12 分） （注意： 在試題卷上作答無效． ． ． ． ． ． ． ． ． ） 雙曲線的中心為原點 O ，焦點在 x 軸上，兩條漸近線分別為 12ll， ，經(jīng)過右焦點 F 垂直于 1l的直線分別交 12ll， 于 AB， 兩點．已知 OA AB OB、 、 成等差數(shù)列，且 BF 與 FA 同向． （ Ⅰ ）求雙曲線的離心率； （ Ⅱ ）設 AB 被雙曲線所截得的線段的長為 4，求雙曲線的方程． 17 解：（ Ⅰ ）設 OA m d??， AB m? ， OB m d?? 由 勾股定理 可得： 2 2 2( ) ( )m d m m d? ? ? ? 得： 14dm?， tan bAOFa??， 4ta n ta n 23ABA O B A O F OA? ? ? ? ? 由倍角公式 ?22 431baba????????，解得 12ba?,則離心率 52e? ． （ Ⅱ ）過 F 直線方程為 ()ay x cb?? ?,與雙曲線方程 221xyab??聯(lián)立 將 2ab? ， 5cb? 代入，化簡有 221 5 8 5 2 1 04 xxbb? ? ? 22 21 2 1 2 1 24 1 1 ( ) 4aax x x x x xbb ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ??? 將數(shù)值代入，有 2 232 5 284 5 415 5bb??????????????,解得 3b? 故所求的雙曲線方程為 22136 9xy??。 8 分 （Ⅲ） 22 2 2 2 21 1 2 2()O A O B x y x y? ? ? ? ? 2 2 2 21 2 1 2( ) 4( 1 1 )x x x x? ? ? ? ? ? 1 2 1 23( )( )x x x x? ? ? ? 1226 ( )4k x xk ?? ?． 因為 A 在第一象限，故 1 0x? ．由12 23 4xx k?? ?知 2 0x? ，從而 120xx??．又 0k? ， 故 220OA OB??， 即在題設條件下，恒有 OA OB? ． 3 分 （Ⅱ）設 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ，其坐標滿足 22 141.yxy kx? ????????， 消去 y 并整理得 22( 4 ) 2 3 0k x k x? ? ? ?， 故1 2 1 2222344kx x x xkk? ? ? ? ???，． ）的兩個實根，且 212 2().mmy kxxx k??? 設點 P 的“相關弦” AB 的弦長為 l，則 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2( ) ( ) ( 1 ) ( )l x x y y k x x? ? ? ? ? ? ? 14 2 2 2 21 2 1 2 1 222222 2 4 22 2 2 2 2 200( 1 ) [ ( ) 4 ] 4 ( 1 ) ( )2()44 ( 1 ) [ ]4( 4 ) ( 4 ) 4 ( 1 ) 1 64 ( 1 ) [ 2 ( 1 ) ] 4 ( 1 ) [ 2 ( 3 ) ] .mmmmmmmm m m m m m mm m m mk x x x x k x x xyxyxyyy x y y y x xx y x x y x? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因為 0 2my 4xm=4(xm2) =4x08,于是設 t= 2my ,則 t?(0,4x08). 記 l2=g(t)=[t2(x03)]2+4(x01)2. 若 x03,則 2(x03) ?(0, 4x08),所以當 t=2(x03),即 2my =2(x03)時 , l 有最大值 2(x01). 若 2x03,則 2(x03)? 0,g(t)在區(qū)間（ 0， 4 x08）上是減函數(shù)， 所以 0l216(x02),l 不存在最大值 . 綜上所述， 當 x03 時，點 P