【正文】 解（ 1）∵ F0（ c， 0） F1（ 0， 22 cb ?? ）， F2（ 0， 22 cb ? ） ∴ | F0F1 |＝ 1)( 222 ???? bccb ， | F1F2 |＝ 12 22 ??cb 于是 432?c ， 47222 ??? cba ，所求“果圓”方程為 174 22 ?? yx （ x≥ 0）， 134 22 ?? xy （ x≤ 0）． ?? 4 分 （ 2）由題意，得 a＋ c＞ 2b，即 abba ??? 222 ． ∵（ 2b） 2＞ b2＋ c2，∴ a2－ b2＞（ 2b－ a） 2，得 54?ab ?? 7 分 又 b2＞ c2＝ a2－ b2，∴ 2122 ?ab ． ∴ )54,22(?ab ． （ 3）設“果圓”的方程為 12222 ?? byax （ x≥ 0） 12222 ??axby （ x≤ 0） 記平行弦的斜率為 k． 當 k＝ 0 時，直線 y＝ t（－ b≤ t≤ b）與半橢圓 12222 ?? byax （ x≥ 0）的交點是 ),1( 22 tbtap ? ，與半橢圓 12222 ??axby （ x≤ 0）的交點是 Q（ tbtc ,1 22?? ）． ∴ P、 Q 的中點 M（ x， y）滿足?????????tybtcax2212 得 2222 1()2xyacb???． ∵ a＜ 2b，∴ 02 22 2)2( 22 ????????? bcabcabca ． 綜上所述，當 k＝ 0 時，“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓?? 14 分 Linsd68 整理 第 24 頁，共 52 頁 y O 1A 2B 2A 1B . . . M 1F 0F 2F x . 當 k＞ 0 時，以 k 為斜率過 B1 的直線 l 與半橢圓 12222 ?? byax （ x≥ 0）的交點是),2( 222 322222 2 bak bbakbak bka ??? 由此，在直線 l 右測，以 k 為斜率的平行弦的中點軌跡在直線 xkby22? 上，即不在某一 橢圓上． ?? 17 分 當 k＜ 0 時，可類似討論得到平行弦中點軌跡不都在某一橢圓上． ?? 18 分 （上海文 21） （本題滿分 18分）本題共有 3 個小題，第 1小題滿分 4 分，第 2小題滿分 5分，第 3 小題滿分 9 分． 我們把由半橢圓 12222 ?? byax ( 0)x≥ 與半橢圓 12222 ?? cxby ( 0)x≤ 合成的曲線稱作 “ 果圓 ” ，其中 222 cba ?? ， 0?a ， 0??cb ． 如圖，設點 0F ， 1F ， 2F 是相應橢圓的焦點， 1A ， 2A 和 1B ， 2B 是 “ 果圓 ” 與 x ， y軸 的 交點 ， M 是線段 21AA 的中點． （ 1） 若 0 1 2FFF△ 是邊長為 1 的等邊三角形，求 該 “ 果圓 ” 的方程； （ 2） 設 P 是“ 果圓 ”的 半橢圓 12222 ?? cxby ( 0)x≤ 上任意一點 ．求證：當 PM 取得最小值 時， P 在點 12BB， 或 1A 處； （ 3） 若 P 是“ 果圓 ” 上任意一點，求 PM 取得最小值時點 P 的橫坐標． 解 ： （ 1） ? ? ? ? ?2 2 2 20 1 2( 0 ) 0 0F c F b c F b c? ? ?， ， ， ， ， ? ?2 2 2 2 20 2 1 21 2 1F F b c c b F F b c? ? ? ? ? ? ? ? ?， 于是 2 2 2 23744c a b c? ? ? ?， ， Linsd68 整理 第 25 頁，共 52 頁 所求 “ 果圓 ” 方程為 224 1 ( 0 )7 x y x?? ≥， 224 1 ( 0 )3y x x?? ≤． （ 2） 設 ()Pxy， ，則 2222|| ycaxPM ??????? ??? 22222 ()1 ( ) 04b a cx a c x b c xc?? ?? ? ? ? ? ? ????? ， ≤ ≤， 0122 ?? cb? ， ? 2||PM 的最小值只能在 0?x 或 cx ?? 處取到． 即當 PM 取得最小值 時， P 在點 12BB， 或 1A 處． （ 3） |||| 21 MAMA ?? ，且 1B 和 2B 同時位于“果圓”的半橢圓 22 1 ( 0 )xy xab?? ≥和半橢圓 22 1 ( 0 )yx xbc?? ≤上，所以，由（ 2）知，只需研究 P 位于“果圓”的半橢圓221 ( 0)xy xab?? ≥ 上的情形即可． 2222|| ycaxPM ??????? ??? 22222222224 )(4 )(2 )( c caacabc caaxac ??????????? ???． 當 22()2a a cxac?? ≤，即 2ac≤ 時， 2||PM 的最小值在22 2 )( c caax ?? 時取到， 此時 P 的橫坐標是222 )(c caa ? ． 當 ac caax ???22 2 )( ，即 ca 2? 時，由于 2||PM 在 ax? 時是遞減的， 2||PM 的最小值在 ax? 時取到，此時 P 的橫坐標是 a ． 綜上所述，若 2ac≤ ，當 || PM 取得最小值時，點 P 的橫坐標是222 )(c caa ? ；若 ca 2? ，當 ||PM 取得最小值時，點 P 的橫坐標是 a 或 c? ． （ 陜西文 22） (本小題滿分 14 分 )已知橢圓 C:2222 byax ? =1(a＞ b＞ 0)的離心率為 36 ,短Linsd68 整理 第 26 頁，共 52 頁 軸一個端點到右焦點的距離為 3 . (Ⅰ )求橢圓 C 的方程 。 （ 1）若三角形 0 1 2FFF 是邊長為 1 的等邊三角形，求“果圓”的方程； Linsd68 整理 第 23 頁，共 52 頁 （ 2）若 11AA BB? ，求 ba的取值范圍； （ 3）一條直線與果圓交于兩點，兩點的連線段稱為果圓的弦。 （Ⅱ）設過定點 )2,0(M 的直線 l 與橢圓交于不同的兩點 A 、 B ，且∠ AOB 為銳角（其中 O為坐標原點），求直線 l 的斜率 k 的取值范圍 . 本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎知識，以及綜合應用數(shù)學知識解決問題及推理計算能力。． 由 12OQ OQ? 知 1 2 1 2 0x x y y??．將 ③ 式和 ④ 式代入得 2 2 2 223 2 2 012m b b kk?? ??， 2 2 23 2 (1 )m b k??． 將 2000xxk m yyy? ? ? ?，代入上式，整理得 2 2 20023x y b??． 當 0 0y? 時，直線 12 的方程為 0xx? ， 1 1 1 2 2 2( ) ( )Q x y Q x y， ， ，的坐標滿足方程組A O 1F 2F B x y Linsd68 整理 第 19 頁，共 52 頁 02 2 222xxxyb??? ??? ， ． 所以 1 2 0x x x??， 22012 2 2bxy ???，． 由 12OQ OQ? 知 1 2 1 2 0x x y y??，即 222 00 2 02bxx ???， 解得 220 23xb?． 這時，點 D 的坐標仍滿足 2 2 20023x y b??． 綜上，點 D 的軌跡方程為 2 2 223x y b?? ． 解法二：設點 D 的坐標為 00()xy， ，直線 OD 的方程為 000y x x y??，由 12OD ? ，垂足為 D ，可知直線 12 的方程為 220 0 0 0x x y y x y? ? ?． 記 2200m x y??（顯然 0m? ），點 1 1 1 2 2 2( ) ( )Q x y Q x y， ， ，的坐標滿足方程組002 2 222x x y y mxyb?????????， ①． ② 由 ① 式得 00y y m x x?? ． ③ 由 ② 式得 2 2 2 2 2 20 0 022y x y y y b??． ④ 將 ③ 式代入 ④ 式得 2 2 2 2 20 0 02 ( ) 2y x m x x y b? ? ?． 整理得 2 2 2 2 2 20 0 0 0( 2 ) 4 2 2 0x y x m x x m b y? ? ? ? ?， 于是 2 2 2012 2202022m b yxx xy?? ?． ⑤ 由 ① 式得 00x x m y y?? ． ⑥ 由 ② 式得 2 2 2 2 2 20 0 022x x x y x b??． ⑦ 將 ⑥ 式代入 ⑦ 式得 2 2 2 2 20 0 0( ) 2 2m y y x y x b? ? ?， 整理得 2 2 2 2 2 20 0 0 0(2 ) 2 2 0x y y m y y m b x? ? ? ? ?， Linsd68 整理 第 20 頁，共 52 頁 于是 2 2 2012 220202m b xyy xy?? ?． ⑧ 由 12OQ OQ? 知 1 2 1 2 0x x y y??．將 ⑤ 式和 ⑧ 式代入得 2 2 2 2 2 2002 2 2 20 0 0 02 2 2 022m b y m b xx y x y??????， 2 2 2 2020 2 ( ) 0m b x y? ? ?． 將 2200m x y??代入上式，得 2 2 20023x y b??． 所以，點 D 的軌跡方程為 2 2 223x y b?? ． （ 四川文 21） (本小題滿分 12 分 )求 F F2分別是 橢圓 2 2 14x y??的左、右焦點 . （ Ⅰ ）若 r 是第一象限內(nèi)該數(shù)軸上的一點， 2212 54PF PF? ? ?，求點 P 的作標； （ Ⅱ ）設過定點 M（ 0， 2）的直線 l 與橢圓交于同的兩點 A、 B，且 ∠ ADB 為銳角（其中 O為作標原點），求直線 l 的斜率 k 的取值范圍 . 解析：本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎知識，以及綜合運用數(shù)學知識解決問題及推理計算能力． （Ⅰ）易知 2a? ， 1b? ， 3c? ． ∴ 1( 3,0)F ? ， 2( 3,0)F ．設 ( , )Pxy ( 0, 0)xy??．則 2212 5( 3 , ) ( 3 , ) 3 4P F P F x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 又 2 2 14x y??， 聯(lián)立22227414xyx y? ?????? ????，解得22113 34 2xxy y??? ??????? ?? ?， 3(1, )2P ． （Ⅱ）顯然 0x? 不滿足題設條件．可設 l 的方程為 2y kx??，設 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ． 聯(lián)立 2 2 2 2 2 21 4 ( 2 ) 4 ( 1 4 ) 1 6 1 2 042x yx k x k x k xy k x? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ∴12 21214xx k? ?，12 21614kxx k? ? ? ? 由 22(16 ) 4 (1 4 ) 12 0kk? ? ? ? ? ? ? Linsd68 整理 第 21 頁，共 52 頁 2216 3(1 4 ) 0kk? ? ?， 24 3 0k ?? ，得 2 34k ? ．① 又 AOB? 為銳角 c o s 0 0A O B O A O B? ? ? ? ? ?， ∴ 1 2 1 2 0O A O B x x y y? ? ? ? 又 21 2 1 2 1 2 1 2( 2 ) ( 2 ) 2 ( ) 4y y k x k x k x x k x x? ? ? ? ? ? ? ∴ 1 2 1 2xx y y? 2 1 2 1 2(1 ) 2 ( ) 4k x x k x