【正文】 分別是雙曲線)0,0(12222 ?? babrax ?? 的兩個(gè)焦點(diǎn)， A 和 B 是以 O 為圓心，以 1FO 為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且 △ ABF2 是等邊三角形，則雙曲線的離心率為 （ A） 3 （ B） 5 （ C） 25 （ D） 31? 解析：如圖， 1F 和 2F 分別是雙曲線 )0,0(12222 ?? babrax ?? 的兩個(gè)焦點(diǎn)， A 和 B 是以 O為圓心，以 1FO 為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且 △ABF2 是等邊三角形，連接 AF1， ∠ AF2F1=30176。 1（北京文 4）橢圓 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的焦點(diǎn)為 1F ， 2F ，兩條準(zhǔn)線與 x 軸的交點(diǎn)分別為 MN， ，若 12MN F F?≤ ，則該橢圓離心率的取值范圍是（ ） Ａ． 102??? ???， Ｂ． 202??? ????， Ｃ． 112??????， Ｄ． 212???? ???， 解析：橢圓 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的焦點(diǎn)為 1F ， 2F ，兩條準(zhǔn)線與 x 軸的交點(diǎn)分別為 MN， ，若 2| | 2aMN c? ， 12| | 2FF c? ， 12MN F F?≤ ，則 2 2a cc ? ，該橢圓離心率 e≥ 22 ，取值范圍是 212???? ???，選 D。 【答案】 ： C 【分析】 ：由拋物線定義， 2 1 32 ( ) ( ) ( ) ,2 2 2p p px x x? ? ? ? ?即： 2 1 32 FP FP FP?? 2（重慶文 12） 已知以 F1（ 2,0）， F2（ 2,0）為焦點(diǎn)的橢圓與直線 3 4 0xy? ? ? 有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 （ A） 23 （ B） 62 （ C） 72 （ D） 24 【答案】 ： C 【分析】 ：設(shè)橢圓方程為 22 1( 0) .m x ny m n? ? ? ?22 1 ,3 4 0m x nyxy? ???? ?? ? ???消 x得： 2( 3 ) 8 3 1 6 1 0 , 0 3 1 6 ,m n y m y m m n m n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即： ?? 又 112 4 .c mn? ? ? ? ? 聯(lián)立解得 Linsd68 整理 第 8 頁(yè)，共 52 頁(yè) 1 17 .11 53mmnn? ?? ?????????? ???或 由焦點(diǎn)在 x軸上，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 27. 2（遼寧理 11）設(shè) P 為雙曲線 22 112yx ??上的 一點(diǎn)， 12FF， 是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若12| |:| | 3 : 2PF PF ? ，則 12PFF△ 的面積為（ ） A． 63 B． 12 C． 123 D． 24 解 析 ：因 為 12| |:| | 3 : 2PF PF ? ，設(shè) xPFxPF 2||,3|| 21 ?? ， 根據(jù) 雙曲 線定 義得2223|||| 21 ?????? axxxPFPF ， 所 以 132||,4||,6|| 2121 ??? FFPFPF ，222 4652)132( ??? ， 12PFF△ 為直角三角形，其面積為 124621 ??? ，選 B 2（遼寧文 3）雙曲線 22116 9xy??的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ） A． ( 70)? ， ， ( 70)， B． (0 7)?， ， (0 7)， C． ( 50)?， ， (50)， D． (0 5)?， ， (05)， 解析：因?yàn)?a=4， b=3，所以 c=5，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 50)?， ， (50)， ，選 C 2（四川 文 理 5）如果雙曲線 22142xy??上一點(diǎn) P 到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是 2，那么點(diǎn) P到 y 軸的距離是（ ） （ A） 463 （ B） 263 （ C） 26 （ D） 23 解析：選 A．由點(diǎn) P 到雙曲線右焦點(diǎn) ( 6,0) 的距離是 2知 P 在雙曲線右支上．又由雙曲線的第二定義知點(diǎn) P 到雙曲線右準(zhǔn)線的距離是 263 ，雙曲線的右準(zhǔn)線方程是 263x? ，故點(diǎn)P 到 y 軸的距離是 463 ． 2（四川理 8 文 10）已知拋物線 2 3yx?? ? 上存在關(guān)于直線 0xy??對(duì)稱的相異兩點(diǎn) A 、Linsd68 整理 第 9 頁(yè)，共 52 頁(yè) B ，則 AB 等于（ ） （ A） 3 （ B） 4 （ C） 32 （ D） 42 解析：選 C．設(shè)直線 AB 的方程為 y x b??，由2 2123 3 0 1yx x x b x xy x b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ???，進(jìn)而可求出 AB 的中點(diǎn)11( , )22Mb? ? ? ，又由 11( , )22Mb? ? ? 在 直線 0xy??上可求出 1b? ，∴ 2 20xx? ? ? ，由弦長(zhǎng)公式可求出 221 1 1 4 ( 2 ) 3 2AB ? ? ? ? ? ?．本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．自本題起運(yùn)算量增大． 2（陜西 文 理 3）拋物線 yx ?2 的準(zhǔn)線方程是 （ A） 4y+1=0 (B)4x+1=0 (C)2y+1=0 (D)2x+1= 解析： P=21 ，準(zhǔn)線 方程為 y= 412 ???P ，即 014 ??y ，選 A 2（陜西理 7 文 9）已知雙曲線 C： 12222 ??byca (a＞ 0,b＞ 0),以 C 的右焦點(diǎn)為圓心且與 C的浙近線相切的圓的半徑是 A. ab B. 22 ba ? 解析： ：圓的半徑是 （ C， 0）到漸近線 xaby? 的距離，所以 R= bcbcab abc ??? ?? 22 |0|，選D 二、填空題 （廣東理 11）在直角坐標(biāo)系 xOy 中 ,有一定點(diǎn) A（ 2， 1）。 答案： 54x?? 。 （廣東文 11）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知拋物線關(guān)于 x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在原點(diǎn) O，且過點(diǎn)P(2,4)，則該拋 物線的方程是 ． 【解析】設(shè)所求拋物線方程為 2y ax? ,依題意 24 2 8aa? ? ?,故所求為 2 8yx? . （山東理 13）設(shè) O 是坐標(biāo)原點(diǎn)， F 是拋物線 2 2 ( 0)y px p??的焦點(diǎn)， A 是拋物線上的Linsd68 整理 第 10 頁(yè)，共 52 頁(yè) 一點(diǎn)， FA 與 x 軸正向的夾角為 60? ，則 OA 為 ________. 【答案】 : 212 p 【分析】 ：過 A 作 AD x? 軸于 D，令 FD m? ，則 2FA m? ， 2p m m?? ，mp? 。 （福建理 14）已知正方形 ABCD，則以 A、 B 為焦點(diǎn) ，且過 C、 D 兩點(diǎn)的橢圓的離心率為 __________； 解析：設(shè) c=1，則 1212 12122 222 ????????????? aceaacaab （福建文 15）已知長(zhǎng)方形 ABCD， AB＝ 4， BC＝ 3，則以 A、 B 為焦點(diǎn)，且過 C、 D 兩點(diǎn)的橢圓的離心率為 。 答案： 8 解析：根據(jù)雙曲線定義有 |MF2||MF|=2a， |NF2||NF|=2a，兩式相加得 |MF2|+|NF2||MN|=4a=8 （海、寧 文理 13） 已知雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離為 2，焦點(diǎn)到漸近線 的距離為 6，則該雙曲線的離心率為 ． 【答案】 ： 3 【分析】 ：如圖，過雙曲線的頂點(diǎn) A、焦點(diǎn) F 分別 向其漸近線作垂線，垂足分別為 B、 C， 則： | | | | 6 3.| | | | 2OF FC cOA AB a? ? ? ? 0105 的直線，交雙1（重慶理 16）過雙曲線 422 ??yx 的右焦點(diǎn) F作傾斜角為曲線于 P、 Q 兩點(diǎn)， 則 |FP|? |FQ|的值為 __________. 【答案】 ： 833 【分析】 ： (2 2,0),F 0ta n 1 0 5 (2 3 ).k ? ? ? ?: (2 3 ) ( 2 2 ) .l y x? ? ? ? ? 代入 422 ??yx 得： 2( 6 4 3 ) 4 2 ( 7 4 3 ) 6 0 3 2 3 0 .xx? ? ? ? ? ? 設(shè)1 1 2 2 1 2 1 24 2 (7 4 3 ) 6 0 3 2 3( , ) , ( , ) . , .6 4 3 6 4 3P x y Q x y x x x x??? ? ? ? ??? 又 2212| | 1 | 2 2 | , | | 1 | 2 2 | ,F P k x F Q k x? ? ? ? ? ? 21 2 1 2| | | | ( 1 ) | 2 2 ( ) 8 |6 0 3 2 3 1 6 ( 7 4 3 )( 8 4 3 ) | 8 |6 4 3 6 4 3( 8 4 3 ) ( 4 ) 8 3 .36 4 3F P F Q k x x x x? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???????? 1（遼寧理 14 文 16）設(shè)橢圓 22125 16xy??上一點(diǎn) P 到左準(zhǔn)線的距離為 10， F 是該橢圓的Linsd68 整理 第 12 頁(yè)，共 52 頁(yè) 左焦點(diǎn)，若點(diǎn) M 滿足 1 ()2O M O P D F??，則 ||OM = ． 解析：橢圓 22125 16xy??左準(zhǔn)線為 325??x ，左焦點(diǎn)為（ 3， 0）， P（ )328,35? ，由已知M 為 PF中點(diǎn)， M（ )324,32 ?? ，所以 ||OM? 2)3 24()32( 22 ???? 三、解答題 （重慶文 21）（本小題滿分 12 分，（Ⅰ）小問 4 分，（Ⅱ）小問 8 分） 如題（ 21）圖，傾斜角為 a 的直線經(jīng)過拋物線 xy 82? 的焦點(diǎn) F，且與拋物線交于 A、 B兩點(diǎn)。 （Ⅰ）解：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 pxy 22? ，則 82?p ，從而 .4?p 因此焦點(diǎn) )0,2(pF 的坐標(biāo)為（ 2， 0） . 又準(zhǔn)線方程的一般式為 2px ?? 。 （Ⅱ）解法一：如圖（ 21）圖作 AC⊥ l， BD⊥ l，垂足為 C、 D，則由拋物線的定義知 |FA|=|FC|,|FB|=|BD|. 記 A、 B 的橫坐標(biāo)分別為 xxxz，則 |FA| ＝ |AC| ＝4c o s||22c o s||2 ?????? aFAppaFApx x 解得 aFA cos1 4|| ?? ， 類似地有 aFBFB cos||4|| ?? ，解得 aFB cos1 4|| ?? 。 故 8s i ns i n2 解法二：設(shè) ),( AA yxA ， ),( BB yxB ，直線 AB 的斜率為 ak tan? ，則直線方程為)2( ?? xky 。 記直線 m 與 AB 的交點(diǎn)為 ),( EE yxE ，則 22 )2(22 kkxxx BAE ???? ， kxky EE 4)2( ???， 故直線 m 的方程為???????? ????? 22 4214 kkxkky. 令 y=0,得 P 的橫坐標(biāo) 44222 ??? kkxP 故 akkxFP P 222 s in4)1(42|| ?????。4)2c o s1(s i n 42c o s|||| 2 22 ????? a aaaaFPFP為定值。 （ 1）求橢圓的方程； （ 2）在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn) 321 , PPP ，使 133221 FPPFPPFPP ????? ，證明 || 1|| 1|| 1 321 FPFPFP ??為定值，并求此定值。 2PF 的最大值和最小值 。 解：（Ⅰ）解法一：易知 2, 1, 3a b c? ? ? 所以 ? ? ? ?123 , 0 , 3 , 0FF?，設(shè) ? ?,Pxy ，則 ? ? ? ? 2212 3 , , 3 , 3P F P F x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?22211 3 3 844xxx? ? ? ? ? ? 因?yàn)?? ?2,2x?? ，故當(dāng) 0x? ，即點(diǎn) P 為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)， 12PF PF? 有最小值 2? 當(dāng) 2x?? ，即點(diǎn) P 為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)， 12PF PF? 有最大值 1 Linsd68 整理 第 22 頁(yè)，共 52 頁(yè) 解法二：易知 2, 1, 3a b c? ? ?，所以 ? ? ? ?123 , 0 , 3 , 0FF?，設(shè) ? ?,Pxy ，則 2 2 21 2 1 21 2 1 2 1 2 1 212c os 2PF PF