【正文】 211aa??， 32a a q??， …… 21nna a q???，（ 2n ? ） ． 將以上各式相加，得 21 1 nna a q q ?? ? ? ?? （ 2n? ） ． 所以當(dāng) 2n? 時(shí)，1 1,.1 ,111 nnq qqanq? ??? ???? ???? 上式對(duì) 1n? 顯然成立 ． （ Ⅲ）解：由（Ⅱ），當(dāng) 1q? 時(shí)，顯然 3a 不是 6a 與 9a 的等差中項(xiàng)，故 1q? ． 由 3 6 9 3a a a a? ? ? 可得 5 2 2 8q q q q???，由 0q? 得 3611qq??? ， ① 整理得 3 2 3( ) 2 0qq? ? ?，解得 3 2q?? 或 3 1q? （舍去）．于是 3 2q?? ． 另一方面， 2 1 1 33 ( 1 )11n n nnn q q qa a qqq? ? ?? ?? ? ? ???， 1 5 1 66 (1 )11n n nnn q q qa a qqq? ? ?? ?? ? ? ???． 由 ①可得 36n n n na a a a??? ? ?， *n N? ． 所以對(duì)任意的 *n N? ， na 是 3na? 與 6na? 的等差中項(xiàng)． 5.（ 安徽卷 21） ． （本小題滿分 13 分） 設(shè)數(shù)列 ??na 滿足 3*010 , 1 , ,nna a c a c c N c?? ? ? ? ? 其 中為實(shí)數(shù) （ Ⅰ ）證明： [0,1]na ? 對(duì)任意 *nN? 成立的充分必要條件是 [0,1]c? ； （ Ⅱ ）設(shè) 10 3c?? ，證明： 1*1 (3 ) ,nna c n N?? ? ?。 (本小題滿分 12 分 ) 將數(shù)列 ｛ an｝ 中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表 ： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 …… 記表中的第一列數(shù) a1， a2， a4， a7，… 構(gòu)成的數(shù)列為 ｛ bn｝ ,b1=a1=1. Sn為數(shù)列 ｛ bn｝的前 n 項(xiàng)和，且滿足＝nNnnSSb b 22? 1=（ n≥ 2） . 鄭學(xué)偉 第 9 頁(yè) 20201011 延津縣高級(jí)中學(xué) (Ⅰ )證明數(shù)列｛nS1 ｝成等差數(shù)列，并求數(shù)列｛ bn｝的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個(gè)正數(shù) .當(dāng)91481 ??a時(shí)，求上表中第 k(k≥ 3)行所有項(xiàng) 和的和 . (Ⅰ )證明：由已知， ?????????? 2,)1(21,1nnnnb n （Ⅱ）解：設(shè)上表中從第三行起，每行的公比都為 q,且 q＞ 0. 因?yàn)? 1 2 1 31 2 1 2 7 8 ,2?? ? ???? ? ? 所以表中第 1 行至第 12 行共含有數(shù)列｛ an｝的前 78 項(xiàng)， 故 a82 在表中第 13 行第三列， 因此 282 13 4 .91a b q? ? ? 又 13 2 ,13 14b ?? ? 所以 q=2. 記表中第 k(k≥ 3)行所有項(xiàng)的和 為 S， 則 ( 1 ) 2 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 )1 ( 1 ) 1 2 ( 1 )k k kkbqSq k k k k? ?? ? ? ?? ? ? ?（ k≥ 3） . ).1(22122.12,2112111.2111.1,2111,12,1)(2,121111111211212????????????????????????????????????????????nnhnSbnnSnnSSabSSSSSSSSSSSSSbbbSSSbbnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn時(shí)，所以　　當(dāng)即　　）（＋＝由上可知　的等差數(shù)列，公差為是首項(xiàng)為所以數(shù)列又所以?。础　　。ㄋ浴　∮帧??鄭學(xué)偉 第 10 頁(yè) 20201011 延津縣高級(jí)中學(xué) 7.（ 江蘇卷 19） .（Ⅰ）設(shè) 12, , , na a a 是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列（ 4n? ），且公差 0d? ，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列（按原來(lái)的順序）是等比數(shù)列： ①當(dāng) n =4 時(shí)，求 1ad的數(shù)值；②求 n 的所有可能值； （Ⅱ）求證：對(duì)于 一個(gè)給定的正整數(shù) n(n≥ 4)，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差都不為零的等差數(shù)列12, , , nb b b ，其中任意三項(xiàng)（按原來(lái)順序）都不能組成等比數(shù)列． 【解析】本小題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合運(yùn)用． （Ⅰ）①當(dāng) n＝ 4 時(shí)， 1 2 3 4, , ,a a a a 中不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則推出 d＝ 0． 若刪去 2a ，則有 23 1 4,a a a? 即 ? ? ? ?21 1 123a d a a d? ? ? 化簡(jiǎn)得 21 4ad d? ＝ 0，因?yàn)?d ≠ 0，所以 1ad =4 ； 若刪去 3a ，則有 2 14a a a? ，即 ? ? ? ?21 1 1 3a d a a d? ? ?，故得 1ad =1． 綜上 1ad =1 或－ 4． ②當(dāng) n＝ 5 時(shí)， 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a 中同樣不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)． 若刪去 2a ，則有 15aa＝ 34aa，即 ? ? ? ? ? ?1 1 1 14 2 3a a d a d a d? ? ? ?．故得 1ad =6 ； 若刪去 3a ，則 15aa＝ 24aa，即 ? ? ? ? ? ?1 1 1 143a a d a d a d? ? ? ?． 化簡(jiǎn)得 3 2d ＝ 0，因?yàn)?d≠ 0，所以也不能刪去 3a ； 若刪去 4a ，則有 15aa＝ 23aag ，即 ( ) ( ) ( )1 1 1 142a a d a d a d+ = + +gg．故得 1ad = 2 ． 當(dāng) n≥ 6 時(shí)，不存在這樣的等差數(shù)列．事實(shí)上，在數(shù)列 1a ， 2a ， 3a ，…， 2na? ， 1na? ， na 中， 由于不能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，若刪去 2a ，則必有 1 naa＝ 32naa? ，這與 d≠ 0 矛盾；同樣若刪 去 2na? 也有 1 naa＝ 32naa? ，這與 d≠ 0 矛盾；若刪去 3a ，…， 2na? 中任意一個(gè)，則必有 1 naa＝ 21naa? ，這與 d≠ 0 矛盾． 綜上所述， n∈ {4， 5}． （Ⅱ）略 8.（ 江西卷 19） ． （本小題滿分 12 分） 數(shù)列 {}na 為等差數(shù)列， na 為正整數(shù)，其前 n 項(xiàng)和為 nS ，數(shù)列 {}nb 為等比數(shù)列，且 113, 1ab??，鄭學(xué)偉 第 11 頁(yè) 20201011 延津縣高級(jí)中學(xué) 數(shù)列 {}nab是公比為 64 的等比數(shù)列， 2264bS? . （ 1） 求 ,nnab； （ 2） 求 證121 1 1 34nS S S? ? ? ?. 解：（ 1）設(shè) {}na 的公差為 d ， {}nb 的公比為 q ，則 d 為正整數(shù)， 3 ( 1)na n d? ? ? ， 1nnbq?? 依題意有 13 63 ( 1 )226 4 2( 6 ) 6 4nnnda dndab q qbqS b d q????? ? ? ? ????? ? ??① 由 (6 ) 64dq??知 q 為正有理數(shù)，故 d 為 6 的因子 1,2,3,6 之一， 解①得 2, 8dq?? 故 13 2( 1 ) 2 1 , 8 nnna n n b ?? ? ? ? ? ? （ 2） 3 5 ( 2 1 ) ( 2)nS n n n? ? ? ? ? ? ? ∴121 1 1 1 1 1 11 3 2 4 3 5 ( 2 )nS S S n n? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 )2 3 2 4 3 5 2nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 3(1 )2 2 1 2 4nn? ? ? ? ??? 9.（ 湖北卷 21） .(本小題滿分 14 分 ) 已知數(shù)列 {}na 和 {}nb 滿足： 1a ?? ,1 2 4 , ( 1 ) ( 3 2 1 ) ,3 nn n n na a n b a n? ? ? ? ? ? ? ?其中 ? 為實(shí)數(shù)， n 為正整數(shù) . （Ⅰ）對(duì)任意實(shí)數(shù) ? ，證明數(shù)列 {}na 不是等比數(shù)列； （Ⅱ）試判斷數(shù)列 {}nb 是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論； （Ⅲ）設(shè) 0 ab??, nS 為數(shù)列 {}nb 的前 n 項(xiàng)和 .是否存在實(shí)數(shù) ? ，使得對(duì)任意正整數(shù) n ，都有 na S b???若存在，求 ? 的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由 . 本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和分類(lèi)討論的思 想，考查鄭學(xué)偉 第 12 頁(yè) 20201011 延津縣高級(jí)中學(xué) 綜合分析問(wèn)題的能力和推理認(rèn)證能力，（滿分 14 分） （Ⅰ）證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使｛ an｝是等比數(shù)列，則有 a22=a1a3,即 ,094949494)494()332( 222 ?????????? ????