【正文】 和 ? 平行； （ 3）設 ? 和 ? 相交于直線 l ， 若 ? 內(nèi)有一條直線垂直于 l ，則 ? 和 ? 垂直； （ 4）直線 l 與 ? 垂直的充分必要 條件是 l 與 ? 內(nèi)的兩條直線垂直。 真命題 ． ． ． 的序號是 (1)(2) 4. （ 2020安徽卷 文 ） 在空間直角坐標系中，已知點 A（ 1， 0， 2）， B(1， 3， 1)，點 M在 y軸上，且 M到 A與到 B的距離相等，則 M的坐標是 ________。 (1)相對棱 AB與 CD所在的直線是異面直線； (2)由頂點 A作四面體的高，其垂足是 BCD的三條高線的交點； (3)若分別作 ABC和 ABD的邊 AB上的高，則這兩條高的垂足重合； (4)任何三個面的面積之和都大于第四個面的面積； （ 5） 分別作三組相對棱中點的連線，所得的三條線段相交于一點。 【答案】 90176。 7. （ 2020 全國卷Ⅰ文） 已知 OA 為球 O 的半徑，過 OA 的中點 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圓 M ，若圓 M 的面積為 3? ，則球 O 的表面積等于 __________________. 【解析】本小題考查球的截面圓性質(zhì)、球的表面積，基礎題。 8. 2020 陜西卷文） 如圖球 O 的半徑為 2，圓 1O 是一小圓，1 2OO? ， A、 B是圓 1O 上兩點，若 1AOB? =2? ，則 A,B 兩點間的球面距離為 . 答案 :23? A B O1 O 解析 :由 1 2OO? ,OA OB? =2 由勾股定理在 1O圓 中 則有 11 2O A O B??, 又 1AOB? =2? 則 2AB? 所以 在 AOB? 中 ， 2OA OB AB???，則 AOB? 為 等 邊 三 角 形，那么 60AOB ??? w. w. w. k. . c. 由弧長公式 ()l r r?? 為 半 徑 得 2,233ABA B l r ???? ? ? ?兩 點 間 的 球 面 距 離. 9. （ 2020福建卷文） 如右圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長為 1 的正方形，且體積為 12。 （ 2）求該安全標識墩的體積 （ 3）證明 :直線 BD ? 平面 PEG 【解析】 (1)側(cè)視圖同正視圖 ,如下圖所示 . （２）該安全標識墩的體積為： P E F G H A B C D E F G HV V V???? 221 4 0 6 0 4 0 2 0 3 2 0 0 0 3 2 0 0 0 6 4 0 0 03? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2cm （３） 如圖 ,連結(jié) EG,HF 及 BD， EG 與 HF 相交于 O,連結(jié) PO. 由正四棱錐的性質(zhì)可知 ,PO? 平面 EFGH , PO HF?? 又 EG HF? HF??平面 PEG 又 BD HFP BD??平面 PEG； w. w. . s. 5. . m 2. （ 2020浙江卷文） （本題滿分 14 分）如圖， DC? 平面 ABC ，//EB DC ， 22AC BC EB DC? ? ? ?， 120ACB??， ,PQ分別為 ,AEAB 的中點．（ I）證明： //PQ 平面 ACD ；（ II）求 AD與平面 ABE 所成角的正弦值． （ Ⅰ ）證明：連接 CQDP, ， 在 ABE? 中， QP, 分別是ABAE, 的中點，所以 BEPQ 21//?? ， 又 BEDC 21//?? ，所以DCPQ??// ，又 ?PQ 平面 ACD ， DC? 平面 ACD， 所以//PQ 平面 ACD （ Ⅱ ）在 ABC? 中， BQAQBCAC ??? ,2 ，所以ABCQ? 而 DC? 平面 ABC， DCEB// ，所以 ?EB 平面 ABC 而 ?EB 平面 ABE， 所以平面 ABE? 平面 ABC， 所以?CQ 平面 ABE 由（ Ⅰ ）知四邊形 DCQP 是平行四邊形，所以 CQDP// 所以 ?DP 平面 ABE， 所以直線 AD 在平面 ABE 內(nèi)的射影是 AP， 所以直線 AD 與平面 ABE 所成角是 DAP? 在 APDRt? 中， 512 2222 ????? DCACAD ， 1s in2 ???? C A QCQDP 所以5551s in ???? ADDPD A P 3. （ 2020 北京卷文）（本小題共 14 分） 如圖，四棱錐 P ABCD? 的 底 面 是 正 方 形 ，PD AB CD? 底 面 ，點 E 在棱 PB 上 . （Ⅰ）求證：平面 AE C PD B? 平 面 ； （Ⅱ）當 2PD AB? 且 E 為 PB 的中點時，求 AE 與平面 PDB 所成的角的大小 . 【 解法 1】 本題主要考查直線和平面垂直、平面與平面垂直、 直線 與平面所成的角等基礎知識，考查空間想象 能力、運算能力和 推理論證能力． （Ⅰ） ∵四邊形 ABCD 是正方形，∴ AC⊥ BD， ∵ PD AB CD? 底 面 ， ∴ PD⊥ AC，∴ AC⊥ 平面 PDB， ∴ 平面 AE C PD B? 平 面 . （Ⅱ）設 AC∩BD=O，連接 OE， 由（Ⅰ）知 AC⊥ 平面 PDB 于 O， ∴ ∠ AEO 為 AE 與平面 PDB 所的角， ∴ O， E 分別為 DB、 PB 的中點， ∴ OE//PD， 12OE PD? ，又∵ PD AB CD? 底 面 ， ∴ OE⊥ 底面 ABCD， OE⊥ AO， 在 Rt△ AOE 中， 1222O E P D A B A O? ? ?， ∴ 45AOE ???，即 AE 與平面 PDB 所成的角的大小為 45? . 【 解法 2】 如圖，以 D 為原點建立空間直角坐標系 D xyz? ， 設 ,AB a PD h?? 則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 0 , 0 , , , 0 , 0 , , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,A a B a a C a D P h， （Ⅰ） ∵ ? ? ? ? ? ?, , 0 , 0 , 0 , , , , 0A C a a D P h D B a a? ? ? ?， ∴ 0 , 0A C D P A C D B? ? ? ?， ∴ AC⊥ DP， AC⊥ DB， ∴ AC⊥ 平面 PDB， ∴ 平面 AE C PD B? 平 面 . （Ⅱ）當 2PD AB? 且 E 為 PB 的中點時， ? ? 1 1 20 , 0 , 2 , , ,2 2 2P a E a a a??????， 設 AC∩BD=O，連接 OE， 由（Ⅰ）知 AC⊥ 平面 PDB于 O， ∴ ∠ AEO 為 AE 與平面 PDB 所的角， ∵ 1 1 2 2, , , 0 , 0 ,2 2 2 2E A a a a E O a? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ∴ 2co s2E A E OAEO E A E O?? ? ??， ∴ 45AOE ???，即 AE 與平面 PDB 所成的角的大小為 45? . 4. （ 2020 全國卷Ⅱ文） （本小題滿分 12 分） . . s. 5. . m 如圖，直三棱柱 ABCA1B1C1中 ， AB⊥ AC,D、 E分別為 AA B1C 的中點， DE⊥ 平面 BCC1 （ Ⅰ ）證明： AB=AC （ Ⅱ ）設二面角 ABDC 為 60176。此題兩問也可建立空間直角坐標系利用向量法求解。 連接 AF，則 ADEF 為平行四邊形，從而 AF//DE。 （Ⅱ）作 AG⊥ BD，垂足為 G，連接 CG。由題設知，∠ AGC=600.. 設 AC=2，則 AG= 23。 由 AB AD AG BD? ? ?得 2AD= 222 .23 AD ?，解得 AD= 2 。又 AD⊥ AF，所以四邊形 ADEF為正方形。 連接 AE、 DF，設 AE∩ DF=H，則 EH⊥ DF， EH⊥平面 BCD。 w. . . c. 因 ADEF為正方形， AD= 2 ，故 EH=1，又 EC=112BC=2， 所以∠ ECH=300，即 1BC與平面 BCD所成的角為 300. 解法二： （Ⅰ）以 A為坐標原點，射線 AB為 x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系 A— xyz。 （Ⅱ）設平面 BCD 的法向量 ( , , ),AN x y z? ? 則 0 , 0 .A N B C A N B D? ? ? ?? ? ? ? 又 BC? =（ 1， 1， 0）， BD? =（ 1， 0， c） ,故 00xyx cz? ? ???? ? ?? 令 x=1, 則 y=1, z=1c ,AN? =(1,1, 1c ). 又平面 ABD 的法向量 AC =（ 0， 1， 0） 由二面角 CBDA ?? 為 60176。 ， 故 60c os???? ACANACAN 176。 所以 CB1 與平面 BCD 所成的角為 30176。 求證：（ 1） EF∥平面 ABC； （ 2）平面 1AFD ? 平面 11BBCC . 【 解析 】 本小題主要考查直線與平面、平面與平面得位置關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力。 6. （ 2020安徽卷 文 ） （本小題滿分 13 分） 如圖， ABCD 的邊長為 2 的正方形，直線 l 與平面 ABCD平行， G和 F式 l 上的兩個不同點，且 EA=ED， FB=FC， 和 是平面 ABCD內(nèi)的兩點， 和 都與平面 ABCD垂直， （Ⅰ）證明：直線 垂直且平分線段 AD： . w. k. . o. m （Ⅱ）若∠ EAD=∠ EAB=60176。 【思路】根據(jù)空間線面關(guān)系可證線線垂直，由分割法可求得多面體體積 ，體現(xiàn)的是一種部分與整體的基本思想。 39。ED ABC D E D E C? ? ?面 ?點 E39。 在線段 BC的垂直平分線上 . 又 ABCD 是四方形 ?線段 BC 的垂直平分線也就是線段 AD 的垂直平分線 即點 E39。 都居線段 AD 的垂直平分線上 . w. w. . 所以 ,直線 E39。 垂直平分線段 AD. (2)連接 EB、 EC 由題意知多面體 ABCD 可分割成正四棱錐 E— ABCD 和正四面體 E— BCF 兩部分 .設 AD 中點為 M,在 Rt△ MEE39。 =1, 3 39。 2 23 3 3S A B C D E E? ? ? ? ? ? ?四 方 形 又 EV — BCF=VC－ BEF=VC－ BEA=VE－ ABC 21 1 1 2 239。 方法二： （ 1）同方法一； （ 2）如圖所示，建立空間直角坐標系，則 (0,0,0)A ， (0,0,4)P ， (2,0,0)B ， (2,4,0)C ，(0,4,0)D ， (0,2,2)M ， 設平面 ABM 的一 個法向量 ( , , )n x y z? ，由 ,n AB n AM??可得： 20220xyz??? ???，令1z?? ，則 1y? ，即 (0,1, 1)n??.設所求角為 ? ，則 22sin3PC nPC n????， 所求角的大小為 22arcsin 3 . （ 3）設所求距離為 h ，由 (1, 2 , 0 ), (1, 2 , 0 )O AO ?，得： 2AO nhn??? 8. （ 2020 四川卷文） （本小題滿分 12分） 如圖，正方形 ABCD 所在平面與平面四邊形 ABEF 所在平面互相垂直，△ AB