【正文】 滿分 12 分） （Ⅰ）證發(fā) 1：連接 BD，由底面是正方形 可得 AC? BD。 ,BG=AB+AG=1+12 =32 , 3 2 3 2G H B G s i n G B H 2 2 4? ? ? ? ?, 在 Rt⊿ FGH中 , FG 2tan FHG GH 3??, ∴ 二面角 F BD A??的大小 為 2arctan 3 ???????????????? 12分 解法二 : 因 ABE? 等腰直角三角形， AEAB? ，所以 ABAE? 又因為平面 ABAB C DAB E F ?? 平面 ，所以 AE ⊥平面 ABCD ， 所以 ADAE? 即 AEABAD 、 兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標系 , (I) 設(shè) 1?AB ，則 1?AE ， )0,1,1(),1,0,0(),0,0,1(),0,1,0( CEDB ∵ ???? 45, AEFFEFA ，∴ 090＝AFE? ， 從而 ），－（21210F )21,21,0( ???EF ， )0,0,1(),1,1,0( ??? BCBE 于是 021210 ????? BEEF ， 0??BCEF ∴ EF ⊥ BE ,EF ⊥ BC ∵ BE ? 平面 BCE ， BC ? 平面 BCE ， BBEBC ?? ∴ EF BCE? 平 面 （ II） )0,21,1(),21,0,0( PM ，從而 )21,21,1( ???PM 于是 041410)21,21,0()21,21,1( ??????????? EFPM ∴ PM ⊥ EF ，又 EF ⊥平面 BCE ，直線 PM 不在平面 BCE 內(nèi)， 故 PM ∥平面 BCE （ III）設(shè)平面 BDF 的一個法向量為 1n ，并設(shè) 1n ＝（ ), zyx )21,23,0(),0,1,1( ???? BFBD ?????????0011BFnBDn 即??????????021230zyyx 取 1?y ，則 1?x ， 3?z ，從而 1n ＝（ 1， 1， 3） 取平面 ABD D的一個法向量為 )1,0,0(2 ?n 11 1131113c o s 21 2121 ????????nnnnnn 、 故 二面角 F BD A??的大小 為 11113arccos 9.（ 2020 湖北卷文） （本小題滿分 12 分） 如圖，四棱錐 S＝ ABCD的底面是正方形， SD⊥平面 ABCD,SD＝ AD＝ a,點 E是 SD上的點，且 DE＝ ? a(0? ≦ 1). (Ⅰ )求證：對任意的 ? ?（ 0、 1），都有 AC⊥ BE: (Ⅱ )若二面角 CAED的大小為 600C，求 ? 的值。 , ∠ FAG=45176。即 EF⊥ BE. 因為 BC? 平面 ABCD, BE? 平面 BCE, BC∩ BE=B 所以 EF BCE? 平 面 ???????????????? 6分 （ II） 取 BE的中點 N,連結(jié) CN,MN,則 MN 12AB PC ∴ PMNC為平行四邊形 ,所以 PM∥ CN. ∵ CN在平面 BCE內(nèi) ,PM不在平面 BCE內(nèi) , ∴ PM∥平面 BCE. ??????????? ????? 8分 （ III） 由 EA⊥ AB,平面 ABEF⊥平面 ABCD,易知 EA⊥平面 ABCD. 作 FG⊥ AB,交 BA的延長線于 G,則 FG∥ FG⊥平面 ABCD, 作 GH⊥ BD于 H,連結(jié) FH,則由三垂線定理知 BD⊥ FH. ∴ ∠ FHG為二面角 FBDA的平面角 . ∵ FA=FE,∠ AEF=45176。 【解析】 解法一： 因為平面 ABEF⊥平面 ABCD， BC? 平面 ABCD， BC⊥ AB，平面 ABEF∩平面 ABCD=AB， 所以 BC⊥平面 ABEF. 所以 BC⊥ EF. 因為⊿ ABE為等腰直角三角形， AB=AE， 所以∠ AEB=45176。 2 23 3 2 3ABCS E E? ? ? ? ? ? ? ?多面體 ABCDEF 的體積為 VE— ABCD＋ VE— BCF=22 7. （ 2020 江西卷文） （本 小題滿分 12 分） 如圖，在四棱錐 P ABCD? 中，底面 ABCD 是矩形， PA?平面 ABCD ， 4PA AD??， 2AB? ． 以 BD 的中點 O為球心、 BD 為直徑的球面交 PD 于點 M ． （ 1）求證：平面 ABM ⊥平面 PCD ； （ 2）求直線 PC 與平面 ABM 所成的角； （ 3）求點 O 到平面 ABM 的距離 ． 解： 方法（一）： OAPBCMD（ 1）證：依題設(shè)，Ｍ在以ＢＤ為直徑的球面上，則ＢＭ⊥ＰＤ . 因為ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，則ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ， 所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，則ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ . （２）設(shè)平面ＡＢＭ與ＰＣ交于點Ｎ，因為ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，則Ａ Ｂ∥ＭＮ∥ＣＤ， 由（ 1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，則 MN 是 PN 在平面 ABM上的射影， 所以 PNM? 就是 PC 與平面 ABM 所成的角， 且 PNM PCD? ? ? ta n ta n 2 2PDP N M P C D DC? ? ? ? ? 所求角為 arctan2 2 （ 3）因為 O 是 BD的中點，則 O 點到平面 ABM 的距離等于 D點到平面 ABM 距離的一半，由（ 1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于 M，則 |DM|就是 D 點到平面 ABM 距離 . 因為在 Rt△ PAD 中， 4PA AD??， PD AM? ，所以 M 為 PD 中點， 22DM? ，則O 點到平面 ABM 的距離等于 2 。 2ME EE? ? ?. EV? — ABCD 21 1 4 239。 中 ,由于 ME39。 F39。 F39。 在線段 AD 的垂直平分線上 ,同理點 F39。 39。 【解析】 (1)由于 EA=ED 且 39。 EF=2，求多面 體 ABCDEF的體積。滿分 14 分。 5. （ 2020 江蘇卷） （本小 題滿分 14 分） 如圖，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， E 、 F 分別是 1AB 、1AC 的中點，點 D 在 11BC 上， 11AD BC? 。 ，求得21c? 于是 ），（ 211?AN ， ）， 211(1 ??CB 21c o s 111 ???? CBAN CBANCBAN ， 601 ?CBAN，176。 知， ACAN， =60176。 設(shè) B（ 1， 0， 0）， C（ 0， b， 0）， D（ 0， 0， c），則 1B （ 1， 0， 2c） ,E（ 12 ， 2b ， c） . A C B A1 B1 C1 D E 于是 DE? =（ 12，2b， 0）， BC? =（ 1， b,0） .由 DE⊥平面 1BCC 知 DE⊥ BC， DEBC??? =0，求得 b=1，所以 AB=AC。 連接 CH，則∠ ECH為 1BC與平面 BCD所成的角。 因為 BC⊥ AF， BC⊥ AD， AF∩ AD=A，故 BC⊥平面 DEF，因此平面 BCD⊥平面 DEF。 故 AD=AF。又 AB=2， BC=22，故 AF= 2 。由三垂線定理知 CG⊥ BD，故∠ AGC為二面角 ABDC的平面角。又 DE⊥平面 1BCC ，故 AF⊥平面 1BCC ，從而 AF⊥ BC，即 AF為 BC的垂直平分線，所以 AB=AC。 解法一：（Ⅰ）取 BC 中點 F，連接 EF，則 EF 12 1BB，從而 EF DA。,求 B1C 與平面 BCD 所成的角的大小 解析：本題考查線面垂直證明線面夾角的求法，第一問可取 BC 中點 F，通過證明 AF⊥平面BCC1,再證 AF為 BC的垂直平分線 ，第二問先作出線面夾角，即證四邊形 AFED是正方形可證平面 DEF⊥平面 BDC，從而找到線面夾角求解。則該集合體的俯視圖可以是 解析 解法 1 由題意可知當俯視圖是 A 時，即每個視圖是變邊長為 1 的正方形，那么此幾何體是立方體，顯然體積是 1，注意到題目體積是 12 ，知其是立方體的一半，可知選 C. 解法 2 當俯視圖是 A 時，正方體的體積是 1；當俯視圖是 B 時，該幾何體是圓柱，底面積是 214 2 4S??? ??? ? ?????，高為 1，則體積是 4? ；當俯視是 C 時，該幾何是直三棱柱，故體積是 1111122V ? ? ? ? ?，當俯視圖是 D 時，該幾何是圓柱切割而成，其體積是21 1144V ??? ? ? ?.故選 C. 10. 11. 三、解答題 1. (2020年廣東卷 文 )（本小題滿分 13 分） 某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖 4 所示 ,墩的上半部分 是正四棱錐 P－ EFGH,下半部分是長方體 ABCD－ 圖 6 分別是該標識墩的正 (主 )視圖和俯視圖 . （ 1）請畫出該安全標識墩的側(cè) (左 )視圖 。 解：設(shè)球半徑為 R ，圓 M 的半徑為 r ，則 ?? 32 ?r ，即 32?r 由題得 3)2( 22 ?? RR ，所以 ?? 1644 22 ??? RR 。 【解析】 作 BC 的 中點 N，連接 AN，則 AN⊥ 平面 BCC1B1， 連接B1N，則 B1N 是 AB1在平面 BCC1B1的射影， ∵ B1N⊥ BM， ∴ AB1⊥ 異面直線 1AB BM和 所成的角的大小是90176。 w. . . c. 【解析】由空間四面體棱 ,面關(guān)系可判斷①④⑤正確 ,可舉例說明②③錯誤 . 【答案】① ④⑤ 6. （ 2020 四川卷文） 如圖，已知正三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的各條棱長都相等， M 是側(cè)棱 1CC的 中 點 ， 則 異 面 直 線 1AB BM和 所 成 的 角 的 大 小是 。 【解析】設(shè) (0, ,0)My由 2 2 21 4 1 ( 3 ) 1yy? ? ? ? ? ? ?可得 1y?? 故 (0, 1,0)M ? 【答案】 (0,1， 0) w. w. . 5. （ 2020 安徽卷 文 ） 對 于四面體 ABCD，下列命題正確的是 _________（寫出所有正確命題的編號）。 上面命題中， 真命題 ． ． ． 的序號 （寫出所有真命題的序號） . 【 解析 】 考查立體幾何中的直線、平面的垂直與平行判定的相關(guān)定理。角的平面截球 O 的表面得到圓 C。 17. （ 2020 重慶卷文） 在正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，頂點 1B 到對角線 1BD 和到平面 11ABCD 的距離分別為 h 和 d ，則下列命題中正確的是（ ） A．若側(cè)棱的長小于底面的變長，則 hd 的取值范圍為 (0,1) B．若側(cè)棱的長小于底面的變長，則 hd 的取值范圍為 2 2 3( , )23 C．若側(cè)棱的長大于底面的變長，則 hd 的取值范圍為 23( , 2)3 D．若側(cè)棱的長大于底面的變長，則 hd 的取值范圍為 23( , )3 ?? 【答案】 C