20xx年全國高考理科數學試題分類匯編7：立體幾何(編輯修改稿)
2025-05-04 04:36 本頁面
【文章內容簡介】 又∵ AB AF=A ABAF 平面 SAB ∴BC⊥ 平面 SAB 又∵SA 平面BCA?? ?SAB∴BC⊥SA 34.． （2022 年上海卷（理））如圖在長方體 ABCDA1B1C1D1AB=2AD=1A1A=1 證明直線 BC1平行于平面 DA1C 并求直線 BC1到平面 D1AC 的距離D1 C1B1A1DCBA【答案】因為 ABCDA1B1C1D1為長方體故 11/,ABDC?故 ABC1D1為平行四邊形故 顯然 B 不在平面 D1AC 上于是直線 BC1平行于平面1/DA1C。 直線 BC1到平面 D1AC 的距離即為點 B 到平面 D1AC 的距離設為 h慮三棱錐 ABCD1的體積以 ABC 為底面可得 (2)33V???而 故 AC?15,2A?1ADCS?所以 即直線 BC1到平面 D1AC 的距離為 323Vh??35.． （2022 年湖北卷（理））如圖 是圓 的直徑點 是圓 上異于 的點直線 平BO,ABPC?面 分別是 的點ABCEFPAC(I)記平面 與平面 的交線為 試判斷直線 與平面 的位置關系并加以ll證明。(II)設(I)的直線 與圓 的另一個交點為 且點 滿足 記直線 與平l DQ12???Q面 所成的角為 異面直線 與 所成的角為 二面角 的大小為AB?PEF?ElC?求證:?sinsi???第 18 頁 共 40 頁 第 19 題圖【答案】解:(I) EFAC?B?平 面 EFABC平 面 B?A平 面又 ?平 面 EFl PCA平 面(II)連接 DF 用幾何方法很快就可以得到求證(這一題用幾何方法較快向量的方法很麻煩特別是用向量不能方便的表示角的正弦個人認為此題與新課程對立體幾何的處理方向有很大的偏差) 第 19 頁 共 40 頁 第 20 頁 共 40 頁 36.． （2022 年普通等學校招生統(tǒng)一試廣東省數學（理）卷（純 WORD 版））如圖 1 在等腰直角三角形 分別是 上的點 為 的點將ABC90???6,DE,ACB2DE?OBC沿 折起得到如圖 2 所示的四棱錐 其DE???3A?(Ⅰ) 證明: 平面 。 (Ⅱ) 求二面角 的平面角的余弦值O??B?C O BD EACDO BE?圖 1 圖 2【答案】(Ⅰ) 在圖 1 易得 3,2,OA??第 21 頁 共 40 頁 CD OxE?A向量法圖yzB CDO BE?AH連結 在 由余弦定理可得 ,E? 2cos45OCOCD??????由翻折不變性可知 2A??所以 所以 2? ??理可證 又 所以 平面 E??AO?BCDE(Ⅱ) 傳統(tǒng)法:過 作 交 的延長線于 連結 OHCDH?因為 平面 所以 A?B?所以 為二面角 的平面角 ?A?結合圖 1 可知 為 點故 從而 32?230A?????所以 所以二面角 的平面角的余弦值為 15cosOHA??? B??15向量法:以 點為原點建立空間直角坐標系 如圖所示 Oxyz則 ??0,3??,0C??1,2D所以 A???3????設 為平面 的法向量則 ??,nxyz?即 解得 令 得 0CDA?????????302zy???????3yxz?????1???,3n??由(Ⅰ) 知 為平面 的一個法向量 ??,O??CDB所以 即二面角 的平面角的余弦315cos,nA??????ACDB??第 22 頁 共 40 頁 值為 1537.． （2022 年普通等學校招生統(tǒng)一試天津數學（理）試題（含答案））如圖 四棱柱 ABCDA1B1C1D1 側棱 A1A⊥底面 ABCD AB//DC AB⊥ AD AD = CD = 1 AA1 = AB = 2 E 為棱 AA1的點 (Ⅰ) 證明 B1C1⊥ CE。 (Ⅱ) 求二面角 B1CEC1的正弦值 (Ⅲ) 設點 M 在線段 C1E 上 且直線 AM 與平面 ADD1A1所成角的正弦值為 求線段 AM6的長 【答案】 第 23 頁 共 40 頁 38.． （2022 年新課標 1（理））如圖三棱柱 ABCA1B1C1CA=CBAB=A A1∠BA A 1=60176。(Ⅰ)證明 AB⊥A 1C。(Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1BAB=CB=2 求直線 A1C 與平面 BB1C1C 所成角的正弦值第 24 頁 共 40 頁 【答案】(Ⅰ)取 AB 點 E 連結 CE 1AB ∵AB= 1AB?= 06∴ 1A?是正三角形 ∴ E⊥AB ∵CA=CB ∴CE⊥AB ∵ 1CEA?=E∴AB⊥面 1CEA ∴AB⊥ 1AC。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 EC⊥AB 1EA⊥AB 又∵面 ABC⊥面 B面 ABC∩面 1B=AB∴EC⊥面 1B∴EC⊥ 1EA ∴EAEC 1兩兩相互垂直以 E 為坐標原點 A??的方向為 x軸正方向|??|為單位長度建立如圖所示空間直角坐標系 Oxyz? 有題設知 A(100) 1A(0 30)C(00 )B(100)則 BC??=(10 3) 1??= A=(10 3)1C??=(0 ) 設 n=(,xyz是平面 1CB的法向量 則 10????????即 30xzy??????可取 n=( 311) ∴ cos,AC??n= 1|???|5 第 25 頁 共 40 頁 ∴直線 A1C 與平面 BB1C1C 所成角的正弦值為 105 39.． （2022 年陜西卷（理））如圖 四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形 O 為底面心 A1O⊥平面 ABCD 12BA?(Ⅰ) 證明: A1C⊥平面 BB1D1D。 (Ⅱ) 求平面 OCB1與平面 BB1D1D 的夾角 的大小 ?OD1B1C1DACBA1【答案】解:(Ⅰ) 。又因為在正BDOACBDA????11 ,面且面?方形 AB CDCCDC??? 11111, ， 故面且面所 以； 且 在正方形 AB CDAO = 1 .11??OART中 ，在 []OEEEB 11 ?為 正 方 形 ， 所 以， 則 四 邊 形的 中 點 為設 ， 所 以 由 以 上 三 點 得且，面面又 BDOD??1111 .,(證畢) CA1面?(Ⅱ) 建立直角坐標系統(tǒng)使用向量解題 以 O 為
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