【正文】 ? ? ? 知 ， 又所以四邊形 BCDG 是平行四邊形 ,故 BC??于是 ? 34 在 RtΔBAG 中 , 4 , 2 , ,AB AG BG AF? ? ?所以 222 1 6 8 52 5 , .525ABB G A B A G B F BG? ? ? ? ? ? 于是 BF?? 又梯形 ABCD 的面積為 1 (5 3 ) 4 1 6 ,2S ? ? ? ? ?所以四棱錐 P ABCD? 的體積為 1 1 8 5 1 2 8 51 6 .3 3 5 1 5V S P A? ? ? ? ? ? ? 解法 2:如圖 (2),以 A為坐標(biāo)原點(diǎn) , ,AB AD AP 所在直線分別為 x y z軸 ， 軸 ， 軸 建立空間直角坐標(biāo)系 .設(shè) ,PA h? 則相關(guān)的各點(diǎn)坐標(biāo)為 : ( 4 , 0 , 0) , ( 4 , 0 , 0) , ( 4 , 3 , 0) , ( 0 , 5 , 0) , ( 2 , 4 , 0) , ( 0 , 0 , ) .A B C D E P h (Ⅰ) 易知 ( 4 , 2 , 0 ) , ( 2 , 4 , 0 ) , ( 0 , 0 , ) .CD A E A P h? ? ? ?因?yàn)? 8 8 0 0 , 0 ,CD A E CD A P? ? ? ? ? ? ? ?所以 ,.C D AE C D AP??而 ,APAE 是平面PAE 內(nèi)的兩條相交直線 ,所以 .CD PA E? 平 面 (Ⅱ) 由題設(shè)和 (Ⅰ) 知 , ,CDAP 分別是 PAE平 面 , ABCD平 面 的法向量 ,而 PB與 PAE平 面 所成的角和 PB與 ABCD平 面 所成的角相等 ,所以 c os , c os , .C D PB PA PBC D PB PA PB C D PB PA PB??? ? ? ? ? ?, 即 由 (Ⅰ) 知 , ( 4 , 2 , 0 ) , ( 0 , 0 , ) ,CD A P h? ? ? ?由 (4,0, ),PB h??故 A B C D P E 圖 ② x y z 3 4 5 h 35 22216 0 0 0 0 .162 5 16hhhh? ? ? ? ?????? 解得 855h? . 又梯形 ABCD的面積為 1 (5 3 ) 4 1 62S ? ? ? ? ?,所以四棱錐 P ABCD? 的體積為 1 1 8 5 1 2 8 5163 3 5 1 5V S P A? ? ? ? ? ? ?. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間線面垂直關(guān)系的證明 ,考查空間角的應(yīng)用 ,及幾何體體積計(jì)算 .第一問只要證明 PA CD? 即可 ,第二問算出梯形的面積和棱錐的高 ,由 13V S PA? ? ? 算得體積 ,或者建立空間直角坐標(biāo)系 ,求得高幾體積 . 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 考點(diǎn)分析 :本題考察立體幾何線面的基 本關(guān)系 ,考察如何取到最值 ,用均值不等式和導(dǎo)數(shù)均可求最值 .同時(shí)考察直線與平面所成角 .本題可用綜合法和空間向量法都可以 .運(yùn)用空間向量法對(duì)計(jì)算的要求要高些 . 解析 : (Ⅰ) 解法 1:在如圖 1所示的 △ ABC 中 ,設(shè) (0 3)BD x x? ? ? ,則 3CD x?? . 由 AD BC? , 45ACB??知 ,△ ADC 為等腰直角三角形 ,所以 3AD CD x? ? ? . 由折起前 AD BC? 知 ,折起后 (如圖 2),AD DC? ,AD BD? ,且 BD DC D? , 所以 AD? 平面 BCD .又 90BDC??,所以 11 ( 3 )22B C DS B D C D x x? ? ? ? ?.于是 1 1 1 1( 3 ) ( 3 ) 2 ( 3 ) ( 3 )3 3 2 1 2A B C D B C DV A D S x x x x x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 31 2 ( 3 ) ( 3 ) 21 2 3 3x x x? ? ? ?????????, 當(dāng)且僅當(dāng) 23xx?? ,即 1x? 時(shí) ,等號(hào)成立 , 故當(dāng) 1x? ,即 1BD? 時(shí) , 三棱錐 A BCD? 的體積最大 . 解法 2: 同解法 1,得 321 1 1 1( 3 ) ( 3 ) ( 6 9 )3 3 2 6A B C D B C DV A D S x x x x x x??? ? ? ? ? ? ? ? ?. 令 321( ) ( 6 9 )6f x x x x? ? ?,由 1( ) ( 1)( 3 ) 02f x x x? ? ? ? ?,且 03x?? ,解得 1x? . 當(dāng) (0,1)x? 時(shí) , ( ) 0fx? ? 。當(dāng) (1,3)x? 時(shí) , ( ) 0fx? ? . 所以當(dāng) 1x? 時(shí) , ()fx取得最大值 . 故當(dāng) 1BD? 時(shí) , 三棱錐 A BCD? 的體積最大 . 36 (Ⅱ) 解法 1:以 D 為原點(diǎn) ,建立如圖 a所示的空間直角坐標(biāo)系 D xyz? . 由 (Ⅰ) 知 ,當(dāng)三棱錐 A BCD? 的體積最大時(shí) , 1BD? , 2AD CD??. 于是可得 (0, 0, 0)D , (1,0,0)B , (0,2, 0)C , (0, 0, 2)A , (0,1,1)M , 1( ,1, 0)2E, 且 ( 1, 1, 1)BM ?? . 設(shè) (0, ,0)N ? ,則 1( , 1, 0)2EN ?? ? ?. 因?yàn)?EN BM? 等價(jià)于 0EN BM??,即 11( , 1 , 0 ) ( 1 , 1 , 1 ) 1 022??? ? ? ? ? ? ? ?,故 12?? , 1(0, , 0)2N . 所以當(dāng) 12DN?(即 N 是 CD 的靠近點(diǎn) D 的一個(gè)四等分點(diǎn) )時(shí) ,EN BM? . 設(shè)平面 BMN 的一個(gè)法向量 為 ( , , )x y z?n ,由 ,BNBM? ??????nn 及 1( 1, ,0)2BN ??, 得 2,.yxzx??? ??? 可取 (1, 2, 1)??n . 設(shè) EN 與平面 BMN 所成角的大小為 ? ,則由 11( , , 0)22EN ? ? ?, (1, 2, 1)??n ,可得 1| 1 | 32sin c o s( 9 0 )2| | | | 262ENEN?????? ? ? ? ?? ?nn,即 60?? . 故 EN 與平面 BMN 所成角的大小為 60. C A D B E M y z C A D F M N N 37 解法 2:由 (Ⅰ) 知 ,當(dāng)三棱錐 A BCD? 的體積最大時(shí) , 1BD? , 2AD CD??. 如圖 b,取 CD 的中點(diǎn) F ,連結(jié) MF ,BF ,EF ,則 MF ∥ AD . 由 (Ⅰ) 知 AD? 平面 BCD ,所以 MF? 平面 BCD . 如圖 c,延長(zhǎng) FE 至 P點(diǎn)使得 FP DB? ,連 BP ,DP ,則四邊形 DBPF 為正方形 , 所以 DP BF? . 取 DF 的中點(diǎn) N ,連結(jié) EN ,又 E 為 FP 的中點(diǎn) ,則 EN ∥ DP , 所以 EN BF? . 因?yàn)?MF? 平面 BCD ,又 EN? 面 BCD ,所以 MF EN? . 又 MF BF F? ,所以 EN? 面 BMF . 又 BM? 面 BMF ,所以 EN BM? . 因?yàn)?EN BM? 當(dāng)且僅當(dāng) EN BF? ,而點(diǎn) F 是唯一的 ,所以點(diǎn) N 是唯一的 . 即當(dāng) 12DN?(即 N 是 CD 的靠近點(diǎn) D 的一個(gè)四等分點(diǎn) ),EN BM? . 連接 MN ,ME ,由計(jì)算得 52N B N M E B E M? ? ? ?, 所以 △ NMB 與 △ EMB 是兩個(gè)共底邊的全等的等腰三角形 , 如圖 d所示 ,取 BM 的中點(diǎn) G ,連接 EG ,NG , 則 BM? 平面 EGN .在平面 EGN 中 ,過點(diǎn) E 作 EH GN? 于 H , 則 EH? 平面 BMN .故 ENH? 是 EN 與平面 BMN 所成的角 . 在 △ EGN 中 ,易得 22E G G N NE? ? ?,所以 △ EGN 是正三角形 , 故 60ENH??,即 EN 與平面 BMN 所成角的大小為 60. 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 解析 :(Ⅰ) 因?yàn)?PC? 平面 BDE ,BD? 平面BDE ,所以 PC BD? .又因?yàn)?PA? 平面 ABCD , BD? 平面ABCD , 所以 PA BD? . 而 PC PA P? , PC? 平面PAC ,PA? 平面 PAC ,所以 BD? 平面 PAC . (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可知 BD? 平面 PAC ,而 AC? 平面 PAC ,所以BD AC? ,而 ABCD 為矩形 ,所以 ABCD 為正方形 ,于是2AB AD??. 法 1:以 A 點(diǎn)為原點(diǎn) ,AB 、 AD 、 AP 為 x 軸、 y 軸、 z 軸 ,建立空間直角坐標(biāo)系 A BDP? .則 ? ?0,0,1P 、 ? ?2,2,0C 、 ? ?2,0,0B 、 ? ?0,2,0D ,于是 ? ?0,2,0BC? , ? ?2,0, 1PB??.設(shè)平面 PBC 的一個(gè)法向量為 ?1n ? ?,x yz ,則 00BCPB? ???????? 11nn,從而 38 20yxz??? ??? ,令 1x? ,得 ? ?1,0,2?1n .而平面 PAC 的一個(gè)法向量為 ?2n ? ?2,2,0BD?? .所以二面角 B PC A??的余弦值為 2 1 0c o s ,105 2 2?? ? ? ??1212 12 =nnnn nn,于是二面角 B PC A??的正切值為 3. 法 2:設(shè) AC 與 BD 交于點(diǎn) O ,連接 OE .因?yàn)?PC? 平面 BDE ,OE? 平面 BDE ,BE? 平面 BDE ,所以 PC OE? ,PC BE? ,于是 OEB? 就是二面角 B PC A??的平面角 .又因?yàn)?BD? 平面 PAC ,OE? 平面 PAC ,所以 OEB? 是直角三角形 .由 OEC? ∽ PAC? 可得 OE PAOC PC?,而 2AB AD??,所以 22AC? , 2OC? ,而 1PA? ,所以 3PC? ,于是12233PAO E O CPC? ? ? ? ?,而 2OB? ,于是二面角 B PC A??的正切值為3OBOE? . 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 【考點(diǎn)定位】本題考查直線與直線、直線與平面以及二面角等基礎(chǔ)知識(shí)、考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力 ,考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想 . 解 :(1)以點(diǎn) A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 ,設(shè) AB a? ,則 11( 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 1 ) , ( , 1 , 0 ) , ( , 0 , 1 )2aA D D E B a 1 1 1( 0 , 1 , 1 ) , ( , 1 , 1 ) , ( , 0 , 1 ) , ( , 1 , 0 )22aaA D B E A B a A E? ? ? ? ? ? ? 11 0 1 1 ( 1 ) 1 02aA D B E? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,故 11BE AD? (2)假設(shè)在棱上存在一點(diǎn) (0,0, )Pt,使得 //DP 平面 1BAE ,則 (0, 1, )DP t?? 設(shè)平面 1BAE 的法向量為 ( , , )n x y z? ,則有 10000 2ax zn ABax yn AE???? ??????? ????? ?,取 1x? ,可得(1, , )2ana? ? ? ,要使 //DP 平面 1BAE ,只要 DP n? 1022a at t? ? ? ? ?,又 DP? 平面 1BAE , ? 存在點(diǎn) P 使 //DP 平面 1BAE ,此時(shí)12AP? . (3)連接 11,ADBC ,由長(zhǎng)方體 1 1AA AD??,得 11AD AD? 39 11//BC AD , 11AD BC??,由 (1)知 11BE AD? ,故 1AD? 平面 11DCBA . 1AD 是平面 11DCBA 的法向量 ,而 1 (0,1,1)AD ? ,則 11 21 22c o s ,| || | 214a aA D nA D nA D n a a???? ? ? ?? ? ? 二面角是 30? ,所以 ,即 2AB? 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 【命題意圖】本試題主要是考查了四棱錐中關(guān)于線面垂直的證明以及線面角的求解的運(yùn)用 . 從題中的線面垂直以及邊長(zhǎng)