【導(dǎo)讀】201.．已知過球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=AC=2，解析：過A、B、C三點(diǎn)截面的小圓的半徑就是正△ABC的外接圓的半徑332，它是Ｒｔ△中060所對的邊，其斜邊為34，即球的半徑為34，∴?202.正四面體棱長為a，求其內(nèi)切球與外接球的表面積。交于CD的中點(diǎn)E，又aBE23?連結(jié)1AO與2BO交于3O，由Rt△?32OAOＲｔ△21OBO，∴BOAOOOOO331332,??到另二面的距離也等13OO，的二面角A—EF—B后，設(shè)∠AEC＝α，解析：∠AFB＝β.可證：BC⊥AB，然后利用AC2＝BC2+AB2即可證得.和△ACE折起，使AB和AC重合，求證：平面ABD⊥平面ABE.勾股定理，∴∠DFE＝090；205.已知正三棱柱ABC—111CBA的底面邊長為８，側(cè)棱長為６，D為AC中點(diǎn)，（１）求證：AB1∥平面C1DB；（２）求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值.—A為060，△PBC和△ABC的面積分別為16和10，BC＝４.ACF的面積為72，即21AF·AC·sin∠FAC＝72，BDE的面積為84平方單位。⑤一直線和一平面同時(shí)平行于另一直線，這條直線和平面可平行或直線在平面內(nèi)，

　　

【正文】 AC、 BD一定是異面直線 . 257. 如圖， ABCD— A1B1C1D1是正方體 ， B1E1＝ D1F1＝ 411BA ，則 BE1與 DF1所成角的余弦值是( ) C. 178 D. 23 28 解析：過 A點(diǎn)在平面 ABB1A1內(nèi)作 AF，使 A1F＝ D1F1，則 ADF1F是平行四邊形，∴ FA∥ DF1，再過 E1在平面 ABB1A1內(nèi)作 E1E∥ FA，則∠ BE1E即是 BE1與 DF1所成的角，由已知 BE1＝ DF1＝ 411BA ，ABCD— A1B1C1D1是正方體，∴ E1E＝ 417 A1B1， 又 DF1＝ AF＝ E1E， DF1＝ BE1. ∴ E1E＝ 417 A1B1， EB＝ 21 A1B1 在Δ BE1E中， cos∠ BE1E＝11221212 BEEE BEBEEE ?? ??＝ 1715 . ∴ 應(yīng)選 A. 258. 在棱長為 1的正方體 ABCD— A1B1C1D1中， M和 N分別為 A1B1和 BB1的中點(diǎn)，那么直線AM與 CN所成角的余弦值是 ( ) A. 23 B. 1010 解析：由圖所示， AM與 CN是異面直線，過 N作平行于 AM的平行線 NP，交 AB于 P，由定義可知∠ PNC就是 AM與 CN所成的角 .因Δ PBC，Δ PBN，Δ CBN皆為直角三角形，且 BP＝ 41 ， 29 BN＝ 21 ， BC＝ 1，故 PN2＝ (41 )2+(21 )2＝ 165 ， CN2＝ (21 )2+12＝ 45 ， PC2＝ (41 )2+12＝ 1617 ，在Δ PCN中 cos∠ PNC＝ CNPN PCCNPN ? ??2 222 ，所以 cos∠ PNC＝ 52 ，因此應(yīng)選 D. 259. 已知異面直線 a與 b所成的角為 50176。， P為空間一定點(diǎn)，則過點(diǎn) P且與 a、 b所成的角都是 30176。的直線有且僅有 ( ) 解析： 過 P點(diǎn)分別作直線 a′∥ a,b′∥ b,則 a′與 b′的夾角為 50176。，由異面直線所成的角的 定義可知，過 P點(diǎn)與 a′ ,b′成 30176。角的條數(shù)，就是所求的條數(shù) . 畫圖可知，過 P點(diǎn)與 a′、 b′成 30176。角的直線只有兩條 . ∴ 應(yīng)選 B. 260. .若 a、 b為異面直線， P為空間一點(diǎn)，過 P且與 a、 b所成角均為 3? 的直線有 ( ) 、三條或四條 解析： D 261. 已知空間四邊形 ABCD， E、 H分別是 AB、 AD的中點(diǎn)， F、 G分別是邊 BC、 DC的三等分點(diǎn) . 求證：①對角線 AC、 BD 是異面直線， ② EF 和 HG 必交于一點(diǎn)，且交點(diǎn)在 AC 上 . 解析：①提示：用反證法，或者用判定定理 . ②提示：先證 EH∥ FG， EH＜ FG，設(shè) FE∩ GH＝ 0 又 0∈ ? 平面 ADC.∴ O∈平面 O∈平面 ABC. ∴ O 在平面 ADC和平面 ABC的交線 AC 上 . a垂直于直線 b，那么直線 a 與平行于直線 b 的任意一條直線 b′互相垂直 解析：在 a上任取一點(diǎn) A，過 A 作 b1∥ b，則 a與 b1垂直 . 30 ∵ b∥ b′， b∥ b1 ∴ b1∥ b′ ∴直線 a與 b1和 a與 b′所成的角相等 . ∴ a⊥ b′ 263. 在一塊長方形木塊的面上有一點(diǎn) P，木匠師傅要用鋸子從 P和 CD將木塊分成兩塊，問怎樣畫線 . 解析：過 P作 C1D1的平行線 EF，連 DE、 CF. l l2，它們之間的距離為 1，所成角是 3? ，它們的公垂線是 AB， A∈ l1,B∈∈ l1,F∈ l2,AE＝ BF＝ 1，求 EF的長 . 解析：如圖，用異面直線 l l2作為長方體的上、下底面的對角線，公垂線 AB為高 . ① EF的長即是正方形 PEE′ F的對角線長，為 2 . ②側(cè)面 GFEE39。39。 的對角線 EF39。 ，用勾股定理得 EF39。 ＝ 2，即為所求 . ：兩兩相交且不全過同一點(diǎn)的四條直線共面 . 解析： (1)設(shè) a、 b、 c、 d四條直線兩兩相交，且不過同一點(diǎn)，并且無三線共點(diǎn) . 記 a∩ b＝ A,a∩ c＝ C,c∩ b＝ B, ∵ a∩ b＝ A,∴ a、 b確定平面α . ∴ B∈ b,C∈ a. ∴ B、 C∈α . 31 ∴ BC? α，即 c? α，同理 d? α 從而 a、 b、 c、 d共面 (2)若有三線共點(diǎn)，不妨設(shè) b、 c、 d相交于 A， a∩ b＝ B， a∩ c＝ C,a∩ d＝ D. ∴ a 與 A可確定平面α . ∵ B∈ a. ∴ B∈α，于是 b? α . 同理， c? α， d? α . 從而 a、 b、 c、 d共面 . 266. 正方體的兩條體對角線所夾角的正弦值為 ______________。 23 2 解析：易知ADBC1 1// ，故ACBD1 1與兩條體對角線相交，設(shè)交點(diǎn)為 O（如圖），則? ?B AOB或即為所成的角。 設(shè)正方體棱長為 1，則AB AC1 12 3? ?， ， BC?1，所以tg BA C? ?1 22，而??O BAC1，故 tg BOC? ????2 221 222 22( )，即cos2 211 19? ? ? ? ?BOC tg BOC， sin sin2 89 23 2? ? ? ? ?BOC BOC 32 ABCDABCD?111 1中，BC CD DD? ? ?22 142 51， ， ，則CBD1 1 1和所成角的大小為 ______________。 60? 解析：如圖所示，將BD1 1平移到AF1，則在?AFC1中 A F A C CFFA CFA C1 112 2 212 3 72 3 72 2 31260? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?； ； ，故co s ( ) 268. 根據(jù)敘述作圖，指出二面角 ??l??的平面角，并證明． （ 1）已知 ??∩ ??=l， A∈ l（圖 939）．在 ??內(nèi)作 PA⊥ l 于 A，在 ??內(nèi)作 QA⊥ l 于 A． 33 圖 939 （ 2）已知 ??∩ ??=l， A∈ ??， lA? （圖 940）．作 AP⊥ ??于 P，在 ??內(nèi)作 AQ⊥ l于 Q，連結(jié) PQ． 圖 940 （ 3）已知 ??∩ ??=l， ??A ， ??A ?（圖 941）．作 AP⊥ ??于 P， AQ⊥ ??于 Q， l∩平面 PAQ=H，連結(jié) PH、 QH． 解析： （ 1） PA ??， QA ??， PA⊥ l， QA⊥ l，∴ ∠ PAQ 為二面角的平面角． （ 2）∵ AP⊥ ??，∴ PQ為 AQ在平面 ??內(nèi)的射影，∵ AQ⊥ l，根據(jù)三垂線定理，有 PQ⊥ l，∴ ∠ AQP 為二面角的平面角（如圖答 935）． （ 3）∵ AP⊥ ??，∴ AP⊥ l，∵ AQ⊥ ??，∴ AQ⊥ l，∴ l⊥平面 PAQ，∵ PH QH 平面 PAQ，∴ l⊥ PH， l⊥ QH，∴ ∠ PHQ為二面角的平面角（如圖答 936）． 34 269. 如圖 942，立體圖形 ABCD中， AC=AD， BC=BD．求作二面角 ACDB的平面角，并說明理由． 解析： 取 CD 中點(diǎn) E，連結(jié) AE、 BE，∵ AC=AD，∴ AE⊥ CD．∵ BC=BD，∴ BE⊥ CD，∴ ∠ AEB 為二面角 ACDB的平面角． 270. 若 二面角 ??l??的一個(gè)半平面 ??上有一個(gè)點(diǎn) A，點(diǎn) A 到棱 l 的距離是它到另一個(gè)平面??的距離的 2倍，則這個(gè)二面角的大小為（ ）． A． 90176。 B． 60176。 C． 45176。 D． 30176。 解析： D．作 AH⊥ ??交 ??于 H，作 HB⊥ l于 B，連結(jié) AB，由三垂線定理， HB⊥ l，∴ ∠ ABH為二面角 ??l??的平面角，由已知在 Rt△ ABH 中， AB=2AH，∴ ∠ ABH=30176。． 271. 下列命題中正確的是（ ）． A．平面 ??和 ??分別過兩條互相垂直的直線，則 ??⊥ ?? B．若平面 ??內(nèi)的一條直線垂直于平面 ??內(nèi)的兩條平行直線，則 ??⊥ ?? C．若平面 ??內(nèi)的一條直線垂直于平面 ??內(nèi)的兩條相交直線，則 ??⊥ ?? D．若平面 ??內(nèi)的一條直線垂直于平面 ??內(nèi)的無數(shù)條直線，則 ??⊥ ?? 解析： C． ??內(nèi)的直線 l 垂直 ??內(nèi)的相交直線 a、 b，則 l⊥ ??．∵ l ??，∴ ??⊥ ??． 35 272. 設(shè)兩個(gè)平面互相垂直，則（ ）． A．一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直于另一個(gè)平面 B．過交線上一點(diǎn)垂直于一個(gè)平面的直線必在另一個(gè)平面上 C．過交線上一點(diǎn)垂直 于交線的直線，必垂直于另一個(gè)平面 D．分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線互相垂直 解析： B．如圖答 938，在正方體 1111 DCBAABCD ? 中，平面 DDAA11 ⊥平面 ABCD，其中DA1 平面 DDAA11 ，但 DA1 不垂直平面 ABCD，故 A不正確．點(diǎn) D在交線 AD上， ADDC ?1 ，但 DC1 不垂直平面 ABCD，故 C不正確． 1AD 平面 DDAA11 ， AC 平面 ABCD，但 1AD 與AC不垂直，故 D不正確． 273. 如圖 943，∠ AOB 是二面角 ??CD??的平面角， AE 是△ AOB的 OB 邊上的高，回答下列問題，并說明理由： （ 1） CD與平面 AOB 垂直嗎 ? （ 2）平面 AOB與 ??、 ??垂直嗎 ? （ 3） AE與平面 ??垂直嗎 ? 36 解析： （ 1）∵ ∠ AOB 是二面 角 ??CD??的平面角，∴ OB⊥ CD， OA⊥ CD，∴ CD⊥平面 AOB． （ 2）∵ CD⊥平面 AOB， CD ??，∴ ??⊥平面 AOB．同理 ??⊥平面 AOB． （ 3）∵ CD⊥平面 AOB，∵ AE? 平面 AOB，∴ CO⊥ AE，又∵ AE⊥ OB， CD∩ OB=O，∴ AE⊥平面 BCD，即 AE⊥ ??． 274. 如圖 944，以等腰直角三角形的斜邊 BC上的高 AD為折痕，使△ ABD和△ ACD折成相垂直的兩個(gè)面．求證： BD⊥ CD，∠ BAC=60176。． 圖 944 解析：∵ AD是等腰△ ABC底邊 BC上的高線，∴ AD⊥ BD， AD⊥ DC，∴ ∠ BDC是二面角 BADC的平面角，∵ 平面 ABD⊥平面 ACD，∴ ∠ BDC=90176。，即 BD⊥ DC．連結(jié) BC，設(shè) AD=a，則 BD=DC=AD=a， aAB 2? ， aAC 2? ， aBC 2? ，∴ △ ABC是正三角形，∴ ∠ BAC=60176。 275. 直線 a、 b是異面直線， a⊥平面α， b⊥平面β， a⊥ b，求證：α⊥β . 證明 過 b上任意一點(diǎn)作直線 a′，使 a∥ a′ .∵ a⊥ b,∴ a⊥ b. 設(shè)相交直線 a′、 b確定一個(gè)平面 ? ,? ∩β＝ c.∵ b⊥β ,c? β ,∴ b⊥ c. 37 在平面 ? 內(nèi)， b⊥ c,b⊥ a′ ,∴ a′∥ c.∴ a∥ a′∥ ∵ a⊥α ,∴ c⊥α ,c? β，∴β⊥α 276. 在三棱錐 S— ABC中，∠ ASB＝∠ BSC＝ 60176。，∠ ASC＝ 90176。，且 SA＝ SB＝ SC，求證：平面 ASC⊥平面 ABC. 證明 取 AC的中點(diǎn) O，連 SO、 BO，由已知，得Δ SAB、Δ SBC都是正三角形 .∴ BC＝ AB＝ a,SA＝ SC＝ a,又 SO⊥ AC， BO⊥ AC，∴∠ SOB就是二面角 S— AC— B的平面角 .又∵ SA＝ AB＝ a,SC＝ BC＝ a,AC＝ AC,∴Δ ACS≌Δ ACB. ∴ SO＝ BO＝ 22 SOB中，∵ SB＝ a,∴∠ SOB＝ 90176。 . 即平面 SAC⊥平面 ABC. 另證：過 S作 SO⊥平面 ABC，垂足是 O.∵ SA＝ SB＝ SC，∴ S在平面內(nèi)的射影是Δ ABC的外心，同前面的證明，可知Δ ABC是直角三角形，∴ O在斜邊 AC上 .又∵平面 SAC經(jīng)過 SO，∴平面SAC⊥平面 ABC 說明 證明“面面垂直”的常用方法是根據(jù)定義證明平面角是 90176。，或利用判定定理證明一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線 . 2