【正文】 1)221( 1222 ????? xxyyx ).2,0( ?? yx ； （ 2） MN 1222 ????? xxyyx31)3 22(43)2( 22 ???? xxy，故當(dāng) 32?x ，32?y 時(shí)， MN 有最小值 33 。且該最小值是異面直線 AC， BF 之間的距離。 ABCD— A1B1C1D1中，點(diǎn) P 是 DD1的 中點(diǎn)，且截面 EAC 與底面 ABCD成 450角， AA1=2a， AB=a，（ 1）設(shè) Q 是 BB1上一點(diǎn)，且 BQ 2? a，求證： DQ? 面 EAC；（ 2）判斷 BP 與面 EAC 是否平行，并說明理由？（ 3）若點(diǎn) M 在側(cè)面 BB1C1C及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總保持 AM ? BP，試確定動(dòng)點(diǎn) M 所在的位置。 解析：（ 1）證：首先易證 AC? DQ，再證 EO? DQ（ O 為 AC 與BD 的交點(diǎn)）在矩形 BDD1B1中，可證 ? EDO與 ? BDQ 都是直角三A B F E C D P N M P A B C D A1 B1 C1 D1 Q E O N 20 角形，由此易證 EO? DQ，故 DQ? 面 EAC 得證； （ 2）若 BP 與面 EAC 平行，則可得 BP//EO，在三角形 BPD 中， O 是 BD 中點(diǎn)，則 E也應(yīng)是PD中點(diǎn)，但 PD=21 DD1=a，而 ED=DO=21 BD= 221 a，故 E不是 PD中點(diǎn)，因此 BP 與面 EAC不平行； （ 3）易知， BP? AC，要使 AM? BP，則 M 一定在與 BP 垂直的平面上，取 BB1中點(diǎn) N，易證 BP? 面 NAC，故 M 應(yīng)在線段 NC 上。 ，已知平行六面體 1111 DCBAABCD ? 的底面 ABCD是菱形，且 011 60?????? B C DCDCCBC ，（ 1） 證明： BDCC ?1 ； （ II）假定 CD=2， 231 ?CC，記面 BDC1 為α，面 CBD 為 β，求二面角 α BD β 的平面角的余弦值； （ III）當(dāng)1CCCD 的值為多少時(shí)，能使 BDCCA 11 平面? ？請給出證明 . 解析：（ I）證明：連結(jié) 11CA 、 AC， AC 和 BD交于 .，連結(jié) OC1 ， ∵四邊形 ABCD是菱形，∴ AC⊥ BD， BC=CD， ,11 DCCBCC ???? 可證 DCCBCC 11 ??? ， DCBC 11 ?? ， 故 BDOC ?1 ，但 AC⊥ BD，所以 1ACBD 面? ，從而 BDCC ?1 ； （ II）解：由（ I）知 AC⊥ BD， BDOC ?1 ， OCC1? 是二面角α — BD— β的平面角，在BCC1? 中， BC=2， 231 ?CC ， 01 60??BCC ， ∵∠ OCB=60176。，121 ??? BCOB ， 49141322121 ?????? OBBCOC ，故 C1O=23 ，即 C1O=C1C，作 OCHC ?1 ，垂足為 H，∴點(diǎn) H 是 .C 的中點(diǎn)，且23?OH ，所以 33c os 11 ??? OCOHOCC 。 21 （ III）當(dāng) 11 ?CCCD 時(shí)，能使 BDCCA 11 平面? 證明一：∵ 11 ?CCCD ，所以 CCCDBC 1?? ，又 CDCCBCB C D 11 ????? ，由此可得DCBCBD 11 ?? ，∴三棱錐 BDCC 1? 是正三棱錐 .， OCCA 11 與 相交于 G.， ACCA //11? ，且 1211 ：：OCCA ? ，所以 :1OC 如圖，已知正方體 ABCD— A1B1C1D1的棱長為 a，求異面直線 A1C1與 BD1的距離 . 解析：本題的關(guān)鍵是畫出 A1C1與 BD1的公垂線，連 B1D1交 A1C1于 O，在平面 BB1D1內(nèi)作 OM⊥ BD1，則 OM就是 A1C1與 BD1的公垂線，問題得到解決 . 解 連 B1D1交 A1C1于 O，作 OM⊥ BD1于 M. ∴ A1C1⊥ B1D1， BB1⊥ A1C1， BB1∩ B1D1＝ B1. ∴ A1C1⊥平面 BB1D1. ∴ A1C1⊥ OM，又 OM⊥ BD1. ∴ OM是異面直線 A1C1與 BD1的公垂線 . 在直角Δ BB1D1中作 B1N⊥ BD1于 N. ∵ BB1 B1D1＝ B1N BD1， a 2 a＝ B1N 3 a， ∴ B1N＝ 36 a,OM＝ 21 B1N＝ 66 a. 故異面直線 A1C1與 BD1的距離為 66 a. 評析：作異面直線的公垂線一般是比較困難的 ，只有熟練地掌握線、線垂直，線、面垂直 22 的關(guān)系后才能根據(jù)題目所給條件靈活作出 .本題在求 OM 的長度時(shí)，主要運(yùn)用中位線和面積的等量關(guān)系 . 248. 已知： A B C1和 A B C2分別是兩條異面直線 l1和 l2上的任意三點(diǎn)， M、 N、 R、T 分別是 A1A B1A B1B C1C2的中點(diǎn) .求證： M、 N、 R、 T四點(diǎn)共面 . 證明 如圖，連結(jié) MN、 NR，則 MN∥ l1,NR∥ l2，且 M、 N、 R不在同一直線上 (否則，根據(jù)三線平行公理，知 l1∥ l2與條件矛盾 ).∴ MN、 NR可確定平面β，連結(jié) B1C2，取其中點(diǎn) RS、 ST，則 RS∥ l2，又 RN∥ l2，∴ N、 R、 S三點(diǎn)共線 .即有 S∈β，又 ST∥ l1， MN∥ l1，∴MN∥ ST，又 S∈β，∴ ST? β . ∴ M、 N、 R、 T 四點(diǎn)共面 . GO =2： 1 又 OC1 是正三角形 BDC1 的 BD 邊上的高和中線 ,∴點(diǎn) G 是正三角形 BDC1 的 中心 .故BDCCG 1面? ，即 BDCCA 11 面? 。 證明二：由（ I）知， 1ACBD 面? ， CABD 1?? ， 當(dāng) 11 ?CCCD 時(shí)，平行六面體的六個(gè)面是全等的菱形 .同 CABD 1? 的證法可得 CABC 11 ? ， 又 1BCBD? ，所以 BDCCA 11 面? 。 249. 如果把兩條異面直線看成“一對”，那么六棱錐的棱所在的 12條直線中，異面直線共有 ( ) 23 解析：本題以六棱錐為依托，考查異面直線的概念及判斷，以及空間想象能力 . 解法一：如圖，任何兩條側(cè)棱不成異面直線，任何兩條底面上的棱也不成異面直線，所以，每對異面直線必然其中一條是側(cè)棱而另一條為底面的棱，每條側(cè)棱，可以且只有與 4條底面上的棱組成 4對異面直線，又由共 6條側(cè)棱，所以異面直線共 6 4＝ 24對 . 解法二：六棱錐的棱所在 12條直線中，能成異面直線對的兩條直線，必定一條在底面的平面內(nèi)，另一條是側(cè)棱所在直線 .底面棱所在直線共 6條，側(cè)棱所在直線也有 6條，各取一條配成一對，共 6 6＝ 36對，因?yàn)?，每條側(cè)棱所在的直線，與底面內(nèi)的 6條直線有公共點(diǎn)的都是 2條，所以，在 36對中不成異面直線的共有 6 2＝ 12對 .所以，六棱錐棱所在的 12條直線中，異面直線共有 3612＝ 24對 . 250. 分別和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是 ( ) 解析：本題考查兩條直線的位置關(guān)系，異面直線的概念，以及空間想象能力 . 解法一：設(shè)兩條異面直線分別為 l1， l2，則與它們分別相交的兩條直線有可能相交，如圖 1，也可能異面，如圖 2，它們不可能平行，這是由于：假設(shè)這兩條直線平行，則它們確定一個(gè)平面α，兩條平行線與兩條異面直線 l1與 l2的四個(gè)交點(diǎn)均在α內(nèi)，則兩異面直線 l1與 l2也在α內(nèi)，這是不可能的 .∴應(yīng)選 D. 解法二：利用排除法，容易發(fā)現(xiàn)，分別和兩條異面直線都相交的兩條直線可以是相交的位置關(guān)系，由于這點(diǎn)可以排除選擇選 A、 B、 D. 251. 已知兩平面α，β相交于直線 a，直線 b在β內(nèi)與直線 a相交于 A點(diǎn)，直線 c在平面α內(nèi)與直線 a平行，請用反證法論證 b,c為異面直線 . 解析：這題規(guī)定用反證法，提出與結(jié)論相反的假定后，要注意分可能的幾種情況討論 . 24 證：用反證法 . 假設(shè) b,c共面，則 b∥ c 或 b,c相交 . (1)若 b∥ c,∵ c∥ a, ∴ a∥ b這與 b∩ a＝ A的已知條件矛盾； (2)若 b∩ c＝ P,∵ b? β，∴ P∈β . 又∵ c? α，∴ P∈α . ∴ P∈α∩β而α∩β＝ a. ∴ P∈ a，這樣 c,a有了公共點(diǎn) P，這與 a∥ c的已知條件矛盾 . 綜上所述，假設(shè)不成立，所以 b、 c為異面直線 . 說明 本題如不指明用反證法，也可以考慮用平面直線的判定定理來證明 . 252. 如圖，在棱長為 a的正方體 ABCD— A1B1C1D1中，異面直線 AA1和 1BD 的中點(diǎn)分別是 E、F. (1)證明 EF是 AA1與 BD1的公垂線段； (2)求異面直線 AA1和 BD1間的距離 . 解析： (1)連接 ED EB， 則顯然 ED1＝ EB＝ 25 a 又 F 為 BD1之中點(diǎn) . ∴ EF⊥ BD1； 連接 FA1， FA. ∵ F 為正方體的中心， ∴ FA＝ FA1，又 E為 AA1之中點(diǎn)， 25 ∴ EF⊥ A1A. 故 EF為 AA1與 BD1的公垂線段 . (2)在 RtΔ EFD1中 EF＝ 2121 FDED ? ＝ aaa224345 22 ??. 故 AA1到 BD1間的距離是 a22 . 評析：今后學(xué)習(xí)了線面的位置關(guān)系之后，可以利用“轉(zhuǎn)化”的思想求 距離 . 253. 如圖所示，正三棱錐 S— ABC的側(cè)棱與底面的邊長相等，如果 E、 F分別為 SC、 AB的中點(diǎn)，求異面直線 EF與 SA所成的角 . 解析：計(jì)算 EF、 SA所成的角，可把 SA平移，使其角的頂點(diǎn)在 EF上 .為此取 SB之中點(diǎn) G，連 GE、 GF、 BE、 AE，由三角形中位線定理： GE＝ 21 BC， GF＝ 21 SA，且 GF∥ SA，所以∠ GFE就是 EF與 SA所成的角 .若設(shè)此正三棱錐棱長為 a，那么 GF＝ GE＝ 21 a,EA＝ EB＝ 23 a,EF＝22 )21( ABEA ? ＝ 22 a，因?yàn)棣?EGF為等腰直角三角形 .∠ EFG＝ 45176。，所以 EF 與 SA 所成的角為 45176。 . 說明 異面直線所成角的求法： 利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上，通過證明所作的角就是所求的角或者補(bǔ)角，解三角形，可求 . 254. 在空間四邊形 ABCD中， M、 N、 P、 Q分別是四邊上的點(diǎn)， 且滿足 MBAM ＝ NBCN ＝QDAQ 26 ＝ PDCP ＝ k. (1)求證： M、 N、 P、 Q共面 . (2)當(dāng)對角線 AC＝ a,BD＝ b，且 MNPQ是正方形時(shí)，求 AC、 BD所成的角及 k的值 (用 a,b表示 ) 解析： (1)∵ MBAM ＝QDAQ＝ k ∴ MQ∥ BD，且 MBAMAM? ＝ 1?kk ∴ BDMQ ＝ ABAM ＝ 1?kk ∴ MQ＝ 1?kk BD 又 NBCN ＝ PDCP ＝ k ∴ PN∥ BD，且 NBCNCN? ＝ 1?kk ∴ BDNP ＝ CBCN ＝ 1?kk 從而 NP＝ 1?kk BD ∴ MQ∥ NP， MQ， NP共面，從而 M、 N、 P、 Q四點(diǎn)共面 . (2)∵ MABM ＝ k1 ， NCBN ＝ k1 ∴ MABM ＝ NCBN ＝ k1 , MABMBM? ＝ 11?k ∴ MN∥ AC，又 NP∥ BD. ∴ MN與 NP所成的角等于 AC與 BD所成的角 . ∵ MNPQ是正方形，∴ ∠ MNP＝ 90176。 ∴ AC與 BD所成的角為 90176。， 27 又 AC＝ a， BD＝ b， ACMN ＝ BABM ＝ 11?k ∴ MN＝ 11?k a 又 MQ＝ 11?k b,且 MQ＝ MN， 1?kk b＝ 11?k a，即 k＝ ba . 說明：公理 4是證明空間兩直線平行的基本出發(fā)點(diǎn) . ：直線 a和直線 b是異面直線，直線 c∥ a，直線 b與 c不相交，求證： b、 c是異面直線 . 證：因?yàn)?b,c不相交， b、 c的位置關(guān)系有 b∥ c 或 b、 c異面兩種可能 . 假設(shè) b∥ c,∵ c∥ a,∴ a∥ b，這與已知 a,b是異面直線矛盾 . 所以 b 與 c不能平行，又 b、 c不相交 所以 b,c是異面直線 . AB、 CD同時(shí)相交的兩條直線 AC、 BD 一定是異面直線，為什么 ? 證明：假設(shè) AC、 BD不異面，則它們都在某個(gè)平面α內(nèi)，這時(shí) A、 B、 C、 D四點(diǎn)都在α上，由公理 1知 A、 B、 C、 D? α，這與已知 AB與 CD異面矛盾，所以