【正文】 AB中點 F，連結 CF、 DF， ∵ AC＝ BC，∴ CF⊥ AB， 又∵ AD＝ BD，∴ DF⊥ AB，∴ AB⊥平面 CDF， 又 CD? 平面 CDF，∴ CD⊥ AB 又 CD⊥ BE，∴ CD⊥平面 ABE， CD⊥ AH 又 AH⊥ BE，∴ AH⊥平面 BCD。 2－ 35： 在空間四邊形 ABCD中，已知 BC＝ AC， AD＝ BD，引 BE⊥ CD， E為垂足， 13 作 AH⊥ BE于 H，求證： AH⊥平面 BCD。 解析：先證明 SR//BD， BD//HF,HF//NP, ∴ SR//平面 MNP,再證 RO//平面 MNP， 從而證明平面 MNP//平面 QRS 230. 判斷題：正確的在括號內打“√”號，不正確的打“”號 1．一條直線和一個平面平行，它就和這個平面內的任何直線平行 （ ） 2． 如果一條直線垂直于平面內的無數(shù)條直線，那么這條直線和這個平面垂直 （ ） 3． 垂直于三角形兩邊的直線必垂直于第三邊 （ ） 4． 過點 A垂直于直線 a的所有直線都在過點 A垂直于 a的平面內 （ ） 5． 如果三條共點直線兩兩垂直，那么其 中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面 （ ） 解析： 本題是利用直線和平面垂直的定義及判定定理等知識來解答的問題。 解析：易證 BD//平面 AHF， BG//平面 AHF， ∴平面 BDG//平面 AHF。比如重心定理，三角形的三邊中 線交點叫做三角形有重心，到頂點的距離等于它到對邊中點距離的 2倍。 同理： MG∥平面 ACD， MG∩ MN＝ M， ∴平面 MNG∥平面 ACD （ 2）分析：因為△ MNG所在的平面與△ ACD所在的平面相互平行，因此，求兩三角形的面積之比，實則求這兩個三角形的對應邊之比。 證明 :連結 BM、 BN、 BG并延長交 AC、 AD、 CD分別于 P、 F、 H。 點評 :證面面平行，通常轉化為證線面平行，而證線面平行又轉化為證線線平行，所以關鍵是證線線平行。 2－ 32：平面 EFGH 分別平行于 CD、 AB， E、 F、 G、 H分別在 BD、 BC、 AC、 AD上，且 CD＝ a， AB＝ b， CD⊥ AB （ 1）求證： EFGH 是矩形 （ 2）點 E在什么位置時， EFGH 的面積最大 （ 1）證明：∵ CD//平面 EFGH，而平面 EFGH∩平面 BCD＝ EF ∴ CD//EF，同理 HG//CD，∴ EF// HG，同理 HE//GF， ∴四邊形 EFGH 為平行四邊形，由 CD//EF， HE// AB， ∴∠ HEF 為 CD 和 AB 所成的角 又∵ CD⊥ AB，∴ HE⊥ EF ∴四邊形 EFGH 為矩形 （ 2）解：由（ 1）可知在 ? BCD 中 EF//CD，設 DE＝ m， EB＝ n ab41E F G H,ab41ab)nm(mnSBDEnm,41)nm(mnmn4)nm(,mn2nmab)nm(mnanmnbnmmEFHESE F G HbnmmHE,bABDBDEABHEA B ,/H E /,anmnEF,aCD,DBBECDFE2E F G H222E F G H的面積最大為矩形的中點時，即為即時取等號，當且僅當為矩形四邊形又又，由又矩形矩形?????????????????????????????????? 226. 如圖 2－ 23：已知正方體 ABCD－ A1B1C1D1， 求證：平面 AB1D1//平面 BDC1。 ∵ b//α， b? 平面 ABN，平面 ABN∩α＝ OQ， ∴ b// OQ，又 O 為 AB 有中點，∴ Q 為 AN的中點。 224. 如圖 2－ 31：設 a、 b 是異面直線， A∈ a， B∈ b， AB⊥ a， AB⊥ b，過 AB 的中點 O 作平面α與 a、 b 分別平行， M、 N 分別是 a、 b 上任意兩點， MN 與α交于點 P， 求證： P 是 MN的中點。 證 明：（ 1）∵截面 EFGH 是一個矩形， ∴ EF//GH，又 GH? 平面 BCD ∴ EF//平面 BCD，而 EF? 平面 ACD，面 ACD∩面 BCD＝ CD ∴ EF// CD，∴ CD//平面 EFGH 解：（ 2）則（ 1）知 EF// CD，同理 AB//FG， 由異面直線所成角的定義知∠ EFG 即為所求的角。這是證明線線平行的一種典型的思路。 已知：如圖： a//α ,a//β ,α∩β＝ b，求證： a//b 解析： 本題可利用線面平行的性質定理來證明線線平行。 證明：在平面γ內作直線 c⊥ a， ∵ a∥ b，∴ c⊥ b。 解析： 23 a 221. 如圖 2－ 63，已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ。邊長為 a 的菱形 ABCD 沿 BD 折成 60176。 點評 : 此題是線線，線面，面面垂直轉化典型題，多解題，對溝通知識和方法，開拓解題思路是有益的。 證法 3：如圖 2－ 59， 在 a上取點 R，在β內作 RD垂直于α、β的交線 l于 D， A B C D A1 D1 C1 B1 圖 2－ 55 A B C D A1 D1 C1 B1 圖 2－ 56 8 ∴ RD⊥α，同法在γ內，作 RE垂直于α，交α與γ的交線 m于 E，則 RE⊥α，過平面外一點，作這個平面的垂線是惟一的，∴ RD、 RE重合，則它既包含于β，又包含于γ， ∴ a⊥α。 證法 1:如圖 2－ 57：在α內取一點 P，作 PA⊥β于 A， PB⊥γ于 B， 則 PA⊥ a， PB⊥ a，又 PA? α， PB? α， PA∩ PB＝ P，∴ a⊥α。 ⊥平面β，平面α⊥平面γ，且β∩γ＝ a，求證： a⊥α。 解析： （ 1）若該點在兩個平面的交線上，則命題是錯誤的， 如圖 2－ 55，正方體 AC1中，平面 AC⊥平面 AD1，平面 AC∩平面AD1＝ AD， 在 AD上取點 A，連結 AB1，則 AB1⊥ AD，即過棱上一點 A的直線AB1 與棱垂直，但 AB1與平面 ABCD不垂直，其錯誤的原因是 AB1沒有保證在平面 ADD1A1內，可以看出：線在面內這一條件的重要性； （ 2）該命題注意了直線在平面內，但不能保證這兩條直線都與棱垂直，如圖 2－ 56，在正方體 AC1中，平面 AD1⊥平面 AC， AD1? 平面 ADD1A1， AB? 平面 ABCD，且 AB⊥ AD1，即 AB與 AD1相互垂直，但 AD1與平面 ABCD不垂直； （ 3）如圖 2－ 56：正方體 AC1中，平面 ADD1A1⊥平面 ABCD， AD1?平面 ADD1A1， AC? 平面 ABCD， AD1與 AC所成的角為 60，即 AD1與 AC不垂直 解：由上面的分析知，命題⑴、⑵、⑶都是假命題。 動點 P 共有 _________種不同的運行路線。 綜上所述， b 與α必相交。 (2)若 b//α，又 a// b， a， b 可以確定平面β，設α∩β＝ c，由 c? α ,知 b 與 c 沒有公共點，又 b、 c 同在平面β內，故 b//c，又 a//b，故 a//c， c? α， a? α ? a//α，這與 a與平面α相交 矛盾。 證明（ 1）：連結 BD，令 BD∩ AC＝ F。 213. 如圖 2－ 21，正方體 ABCD－ A1B1C1D1的棱長為 2， E為 DD1的中點， （ 1）判斷 BD1和過 A、 C、 E三點的平面的位置關系， 并證明你的結論。 由 AF//BG，知 MCAMNBFNNGAN ?? ，故 MN//CG， MN? 平面 BCE， CG? 平面 BCE，于是MN//平面 BCE。 解析： 要證 MN//平面 BCE，就是要在平面 BCE 上找一條直線，證明它與 MN 平行即可。 。） 解析：如圖 2－ ，作兩個相交平面分別與α、β、γ交于 a、 c、e 和 b、 d、 f ????????////// ////////////////?????????????????????????bfbaeafdecdbca 211. 下列說法中正確的是（ ）： A. 直線 l 平行于平面α內的無數(shù)條直線，則 l//α A D C B A1 D1 C1 B1 圖 2－ e c α β γ a b d f 5 B. 若直線 a 在平面α外，則 a//α C. 若直線 a//b，直線 b? α，則 a//α D. 若直線 a//b， b? α，那么 a就平行于平面α內的無數(shù)條直線 解析： 畫出圖形，根據(jù)直線與平面平行的定義和判定定理 進行分析。 求證：α＋β＋γ＝π 解析：作如圖的輔助線 則∠ AB1C 為 AB1 與 A1D 所成的角∠ AB1C＝α ∵ AB?// A1B1?// C1D1 ∴ BC1//AD1，故∠ D1AC 為 AC 與 BC1所成的角∠ D1AC＝β ∵ AA1?// DD1?// CC1，∴ A1C1//AC ∴∠ D1CA 即為 A1C1與 CD1所成的角∠ D1CA＝γ 在△ ACD1和△ ACB1中， AB1＝ CD1， B1C＝ D1A， AC＝ CA ∴△ ACD1≌△ CAB1，故∠ AB1C＝∠ AD1C，故∠ AD1C＝α 在△ AD1C 中，∠ AD1C＋∠ D1CA＋∠ D1AC＝π 即：α＋β＋γ＝π 210. 如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行。 P C A F D B E Q β α 圖 2－ 33 4 解答 : ①三線平行公理， ②兩直線同時平行于一平面，這二直線可相交，平行或異面 ③二平面同時平行于一直線這兩個平面相交或平行 ④面面平行傳遞性， ⑤一直線和一平面同時平行于另一直線，這條直線和平面可平行或直線在平面內， ⑥一直線和一 平面同時平行于另一平面，這直線和平面可平行也可能直線在平面內， 故①④正確 ∴應選 C。 sin∠ FAC＝ 67 72＝ 84 ∴ ? BDE的面積為 84平方單位 。 21 AF 37 AC sin∠ EBD ＝ 21 sin∠ FAC＝ 72， ∴ DBES? ＝ 21 BE α ) 解答 :∵平面 QAF∩α＝ AF，平面 QAF∩β＝ BE，又∵α∥β，∴ AF∥ BE 同理可證： AC//BD，∴∠ FAC與∠ EBD相等或互補，即 sin∠ FAC= sin∠ EBD. 由 AF∥ BE，得212412 ??? QAQBAFBE，∴ BE＝ 21 AF 由 BD//AC，得： 73219 ??? PBPABDAC ，∴ BD＝ 37 AC 又∵ ? ACF的面積為 72，即 21 AF 解析： 求 ? BDE的面積，看起來似乎與本節(jié)內容 無關，事實上，已知 ? ACF的面積，若 ? BDE與 ? ACF的對應邊有聯(lián)系的話，可以利用 ? ACF的面積求出 ? BDE的面積。 解析： 設正四面體的面 BCD和面 ACD的中心分別為 21,OO ，連結 2AO 與 1BO 并延長，必交于 CD的中點 E，又 aBE 23? ， aEO 632 ?，連接 2BO ，在 Rt△ EBO2 中， ,362 ?BO連結 1AO 與 2BO 交于 3O ，由 Rt△ ?32OAO Ｒｔ△ 21OBO ，∴ BOAOOOOO 331332 , ?? ，同理可證 3333 ,OAODOCO ?? 到另二面的距離也等 13OO ， ∴ 3O 為四面體外接球與內接球的球心，由△ 31OBO ∽△ EBO2 ，∴ aOO 12631 ?， ∴ 22 61,12 6,23,4 6 aSaraSaR ?? ????內內外外 203. 在 RtΔ ABC中， AB＝ BC， E、 F分別是 AC和 AB的中點，以 EF為棱把它折成大小為β的二面角 A— EF— B后，設∠ AEC＝α， 求證： 2cosα cosβ＝ 1. 解析：∠ AFB＝β .可證： BC⊥ AB，然后利用 AC2＝ BC2+AB2即可證得 . 204. 如圖： D、 E是是等腰直角三角形 ABC中斜邊 BC的 兩個三等分點，沿 AD和 AE將△ ABD和△ ACE折起，使 AB 和 AC 重合，求證：平面 ABD⊥平面 ABE. Ｅ Ｄ Ｂ Ａ Ｅ Ｄ