【正文】 段 CD ??， CD=100，∠ BCD=30176。那么 A、 B 在棱上的射影間的距離為（ ）． 立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)有詳細(xì)答案 A． 2a B． a?? C． a22 D． 2a 解析： B．如圖答 939，設(shè)直二面角為 ??l??，作 AC⊥ l 于 C， BD⊥ l 于 D，則 AC⊥ ??， BD⊥ ??，連結(jié) AD、 BC，∴ ∠ ABC 為 AB 與 ??所成的角，∠ BAD 為 AB 與 ??所成的角，∴ ∠ ABC=30176。 ，于是 22?CE ．在 Rt△ CED 中可求 CD 長(zhǎng)． 346. SA、 SB、 SC 是從 S 點(diǎn)出發(fā)的三條射線，若 4π???? A S CA S B ， 3π??BSC ，則 二面角 BSAC 的大小為（ ）． A． 3π B． 4π C． 2π D． 6π 解析： C．在 SA 上任取一點(diǎn) E，作 EF⊥ SA 交 SC 于 F，作 EG⊥ SA 交 SB 于 G，連結(jié) FG，則∠ GEF 為二面角 BSAC 的平面角． 347. 線段 AB 長(zhǎng)為 2a，兩端點(diǎn) A、 B 分別在一個(gè)直二面角的兩個(gè)面上， AB 和兩個(gè)面所成的角為 45176。 a＝ 27 a2，∴ 三 棱 柱 側(cè) S＝ 21 (2+ 3 + 7 )a2 342. 已知異面直線 a、 b 成 ??0 角，過(guò)空間一點(diǎn) p，與 a、 b 也都成 ??0 角的直線，可以作（ ） A． 1 條 B． 2 條 C． 3 條 D． 4 條 解析： C 343. 已知 ??l??是直二面角，直線 a ??，直線 b ??，且 a、 b 與 l 都不垂直，那么（ ）． A． a 與 b 可能平行，也可能垂直 B． a 與 b 可能平行，但不可能垂直 C． a?與 b 不可能平行，但可能垂直 D． a?與 b 不可能平行，也不可能垂直 解析： B．當(dāng) ??la? ， ??lb? 時(shí)， a∥ b，即 a、 b 可能平行，假設(shè) a⊥ b，在 a 上取一點(diǎn) P，作 PQ⊥ l 交 l 于 Q，∵ 二面角 ??l??是直二面角，∴ PQ⊥ ??，∴ PQ⊥ b．∴ b垂直于 ??內(nèi)兩條相交直線 a 和 PQ，∴ b⊥ ??，∴ b⊥ l．這與已知 b 與 l 不垂直矛盾．∴ b 與 a 不垂直 344. 直線 l、 m 與平面 ??、 ??滿足 l⊥平面 ??， m ??，以上四個(gè)命題： ① ??∥ ???l?⊥ m；② ??⊥ ??? l∥ m；③ l∥ m?? ⊥ ??；④ l⊥ m???∥ ??． 其中正確的兩個(gè)命題是（ ）． 立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)有詳細(xì)答案 A．①與② B．③與④ C．②與④ D．①與 ③ 解析： D． 345. 如圖 945，二面角 ??l??的平向角為 120176。 22 ＝ 42 a2，在 RtΔ A1OD中， A1D＝ 221 ODOA ? ＝227a,11AABBS＝227a角。 (1)求 AB與側(cè)面 AC1所成的角 (2)若 O恰是 AC的中點(diǎn)，求此三棱柱的側(cè)面積 立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)有詳細(xì)答案 解析： (1)A1O⊥面 ABC， BC? 面 ABC，∴ BC⊥ A1O，又∵ BC＝ CA＝ a， AB＝ 2 a,∴Δ ABC是等腰直角三角形，∴ BC⊥ AC，∵ BC⊥面 AC1，故∠ BAC為 BA與面 AC1所成的角，則有∠ BAC＝ 45176。 答 (1)SBCED＝ 3cm2,(2)VABCED＝ 3 cm2,(3)截面 ADE與底面 ABC成 45176。 AE 2 SBCED，∴ VABCED＝ 31 2＝ 3，作 AF⊥ BC于 F ∴ AF⊥平面 BCED， VABCED＝ 31 cosθ來(lái)解θ . 340. 如圖，已知正三棱柱 A1B1C1— ABC的底面積等于 3 cm2， D、 E分別是側(cè)棱 B1B， C1C上的點(diǎn)，且有 EC＝ BC＝ 2DB，試求 (1)四棱錐 A— BCDE的底面 BCED的面積 (2)四棱錐 A— BCED的體積 (3)截面 ADE與底面 ABC所成二面角的大小 (4)截面 ADE的面積 解析： 利用三棱柱的性質(zhì)及已知條件， (1)、 (2)、 (4)不難推算，至于 (3)，可設(shè)平面 ADE立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)有詳細(xì)答案 與平面 ABC所成二面角為α，觀察到Δ ADE在底面 ABC的射影是Δ ABC(∵ DB⊥平面 ABC， EC⊥平面 ABC)應(yīng)用 SΔ ABC＝ SΔ ADE ∴平面 A1BD和平面 ABC所成的二面角為 45176。 ( 332 a)＝ 934 a2為所求截面積 . 339. 如圖，已知正三棱柱 ABC— A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為 a， D為 CC1的中點(diǎn) . (1)求證： A1B⊥平面 AB1D. (2)求平面 A1BD與平面 ABC所成二面角的度數(shù) . 解析： 這雖是一個(gè)棱柱，但所要論證的線面關(guān)系以及二面角的度數(shù)，都還是要利用直線和平面 中的有關(guān)知識(shí) . 解 (1)∵正三棱柱的各棱長(zhǎng)都相等， 立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)有詳細(xì)答案 ∴側(cè)面 ABB1A1是正方形 . ∴ A1B⊥ DE， ∵Δ BCD≌Δ A1C1D， ∴ BD＝ A1D，而 E為 A1B的中點(diǎn)， A1B⊥ DE.∴ A1B⊥平面 AB1D. (2)延長(zhǎng) A1D與 AC的延長(zhǎng)線交于 S，連 BS，則 BS為平面 A1BD和平面 ABC所成二面角的公共棱 . ∵ DC∥ A1A，且 D為 CC1的中點(diǎn)，∴ AC＝ CS. 又 AB＝ BC＝ CA＝ CS，∴∠ ABS＝ 90176。 c A1H＝ absin60176。由課本題得： cos∠ A1AB＝ cos∠ A1AH角，求平行六面體積 . 解析： 如圖，設(shè)過(guò) A點(diǎn)的三條棱 AB， AD， AA1的長(zhǎng)分 別是 a,b,c,且兩面所成角是 60176。 8＝ 48(cm2),S 全 ＝ 156+2 13＝ 156(cm2),Δ A1AB底邊上高 A1E＝ 22 513? ＝ 12，11ABBAS＝11ACCAS＝ 120(cm2),SΔ ABC＝111 CBAS△＝ 21 — l— β是直二面角，若直線 m⊥ l，則 m⊥ n， m⊥β； m、 n在平面α內(nèi)的射影是一個(gè)點(diǎn)和一條直線，且 m⊥ n，則 n在α內(nèi)或 n與α平行； m、 n是異面直線，若 m和平面α平行，則 n與α相交 . 解析： 對(duì)于直線的平行有傳遞性，而兩直線與平面的平行沒(méi)有傳遞性故 A不正確；平面與平面垂直可得出線面垂直，要一直線在一平面內(nèi)且垂直于交線，而 B中 m不一定在α內(nèi)，故不正確；對(duì) D來(lái)說(shuō)存在平面同時(shí)和兩異面直線平行，故不正確；應(yīng)選 C. 331. 設(shè) a、 b是兩條異面直線，在下列命題中正確的是 ( ) 立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)有詳細(xì)答案 a、 b都垂直 a、 b都垂直 a有且僅有一平面與 b平行 a、 b都相交 解析： 因?yàn)榕c異面直線 a、 b的公垂線平行的直線有無(wú)數(shù)條，所以 A不對(duì)；若有平面與 a、b都垂直，則 a∥ b不可能，所以 B不對(duì) .若空間的一點(diǎn)與直線 a(或 b)確定的平面與另一條直線 b(或 a)平行，則過(guò)點(diǎn)與 a相交的直線必在這個(gè)平面內(nèi)，它不可能再與另一條直線相交，所以 D不對(duì)，故選 C. 332. 三個(gè)平面兩兩相 交得三條交線，若有兩條相交，則第三條必過(guò)交點(diǎn)；若有兩條平行，則第三條必與之平行 . 已知：α∩β＝ a,α∩ ? ＝ b, ? ∩α＝ c. 求證：要么 a、 b、 c三線共點(diǎn)，要么 a∥ b∥ c. 證明 ：①如圖一，設(shè) a∩ b＝ A， ∵α∩β＝ a. ∴ a? α而 A∈ a. ∴ A∈α . 又β∩ ? ＝ b ∴ b? ? ,而 A∈ b. ∴ A∈ ? . 立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)有詳細(xì)答案 則 A∈α， A∈ ? ，那么 A在α、 ? 的交線 c上 . 從而 a、 b、 c三線共點(diǎn) . ②如圖二，若 a∥ b，顯然 c? ? ， b? ? ∴ a∥ ? 而 a? α , α∩ ? ＝ c. ∴ a∥ c 從而 a∥ b∥ c 333. 一根長(zhǎng)為 a的木梁，它的兩端懸掛在兩條互相平行的，長(zhǎng)度都為 b的繩索下，木梁處于水平位置，如果把木梁繞通過(guò)它的中點(diǎn)的鉛垂軸轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度φ，那么木梁升高多少 ? 解析： 設(shè) M、 N為懸掛點(diǎn)， AB為木梁的初始位置，那么 AB＝ a， MA∥ NB， MA＝ NB＝ b,∠ A＝∠ B＝ 90176。222＝ 11112 ∴ B點(diǎn)到平面 GEF的距離為 11112 說(shuō)明 本題解法甚多，學(xué)習(xí)兩面垂直及簡(jiǎn)單幾何體后，可用兩面垂直的性質(zhì)求解或者用“等體積法”求解 . 立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)有詳細(xì)答案 320. 已知兩條異面直線 a,b所成的角為θ，它們的公垂線段 AA1的長(zhǎng)度為 d，在直線 a、 b上分別取點(diǎn) E、 F，設(shè) A1E＝ m， AF＝ ： EF＝ ?c o s2222 mndnm ??? 解 過(guò) A作 a′∥ a. ∵ AA1⊥ a, ∴ A1A⊥ a′ ∴ AA1⊥ b,a′∩ b＝ A ∴ A1A垂直 a′、 b所確定的平面α . ∵ a∥ a′ ∴ a、 a′能確定平面β，在β內(nèi)作 EH∥ A1A，交 a′于 H. ∵ a∥ a′，∴ A1AME為平行四邊形 . ∴ A1A＝ EH＝ d,AH＝ A1E＝ m ∵ A1A⊥α ∴ EH⊥α . ∵ FH? α， ∴ EH⊥ FH. 在 RtΔ FHE中， EF＝ 22 FHEH ? ＝ 22 FHd ? ∵ a′∥ a ∴ a′與 b的夾角為θ . 即∠ HAF＝θ，此時(shí) AH＝ m,AF＝ n. 由余弦定理得 FH2＝ m2+n22mncosθ ∴ EF＝ ?c o s2222 mndnm ??? 當(dāng) F(或 E)在 A(或 A1)的另一側(cè)時(shí)，同理可得 立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)有詳細(xì)答案 EF＝ )c os (2222 ?? ???? mndnm ＝ ?c o s2222 mndnm ??? 綜上所述， EF＝ ?c o s2222 mndnm ??? 321. 如圖， ABCD和 ABEF均為平行四邊形 ， M為對(duì)角線 AC上的一點(diǎn)， N為對(duì)角線 FB上的一點(diǎn)，且有 AM∶ FN＝ AC∶ BF，求證： MN∥平面 CBE. 解析： 欲證 MN∥平面 CBE，當(dāng)然還是需要證明 MN平行于平面 CBE內(nèi)的一條直線才行 .題目上所給的是線段成比例的關(guān)系，因此本題必須通過(guò)三角形相似，由比例關(guān)系的變通，才能達(dá)到“線線平行”到“線面平行”的轉(zhuǎn)化 . 證 ：連 AN并延長(zhǎng)交 BE的延長(zhǎng)線于 P. ∵ BE∥ AF，∴ Δ BNP∽Δ FNA. ∴ NBFN ＝ NPAN ，則 NBFNFN? ＝ NPANAN? . 即 FBFN ＝ APAN . 又 FNAM ＝ BFAC ， ACAM ＝ BFFN ， ∴ ACAM ＝ APAN . ∴ MN∥ CP， CP? 平面 CBE. ∴ MN∥平面 CBE. 322. 一直線分別平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與它們的交線平行 . 已知：α∩β＝ a,l∥α ,l∥β .求證： l∥ a. 立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)有詳細(xì)答案 解析： 由線面平行推出線線平行，再由線線平行推出線面平行，反復(fù)應(yīng)用線面平行的判定和性質(zhì) . 證明 ：過(guò) l作平面交α于 b.∵ l∥α，由性質(zhì)定理知 l∥ b. 過(guò) l作平面交β于 c.∵ l∥β，由性質(zhì)定理知 l∥ c. ∴ b∥ c，顯然 c? β .∴ b∥β . 又 b? α，α∩β =a，∴ b∥ a. 又 l∥ b. ∴ l∥ a. 評(píng)注 ：本題在證明過(guò)程中注意文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言，圖形語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換和使用 . 323. 如圖，在正四棱錐 S— ABCD中， P在 SC上， Q在 SB上， R在 SD上，且 SP∶ PC＝ 1∶ 2，SQ∶ SB＝ 2∶ 3， SR∶ RD＝ 2∶ ： SA∥平面 PQR. 解析： 根據(jù)直線和平面平行的判定定理，必須在平面 PQR內(nèi)找一條直線與 AS平行即可 . 證： 連 AC、 BD，設(shè)交于 O，連 SO，連 RQ交 SO 于 M，取 SC中點(diǎn) N，連 ON，那么 ON∥ SA. ∵ SBSQ ＝ SDSR ＝ 32 ∴ RQ∥ BD 立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)有詳細(xì)答案 ∴ SOSM ＝ 32 而 SNSP ＝ 32 ∴ SOSM ＝ SNSP ∴ PM∥ ON ∵ SA∥ ON.∴ SA∥ PM,PM? 平面 PQR ∴ SA∥平面 PQR. 評(píng)析 ：利用平幾中的平行線截比例線段定理 . 三角形的中位線性質(zhì)等知識(shí)促成“線線平行”向“線面平行”的轉(zhuǎn)化 . 324. 證明：過(guò)平面上一點(diǎn)而與這平面的一條平行線平行的直線，在這平面上 . 證明 如圖，設(shè)直線 a∥平面α，點(diǎn) A∈α ,A∈直線 b,b∥ a，欲證