【正文】 x，y），∵|PH|2 |PH|2 = 1，∴x2 +1 [(x)2+y2] =1，化簡得.（三） 解答題17. 已知，從平面外一點(diǎn)引向量，（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）平面平面．解：（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴共面；（2）∵，又∵，∴PABCDD1A1B1C111441第19題圖所以，平面平面．18. 如圖，是正四棱錐,是正方體，其中．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的大小；（Ⅲ）求到平面的距離．解：(Ⅰ) 連結(jié)AC , 交BD于點(diǎn)O , 連結(jié)PO , 則PO⊥面ABCD , 又∵ , ∴, ∵, ∴ ． （Ⅱ） ∵AO⊥BD , AO⊥PO , ∴AO⊥面PBD , 過點(diǎn)O作OM⊥PD于點(diǎn)M，連結(jié)AM , 則AM⊥PD , ∴∠AMO 就是二面角APDO的平面角, 又∵, ∴AO=,PO= , ∴ ,即二面角的大小為 ． (Ⅲ)用體積法求解：解得，即到平面PAD的距離為19. 在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)． （1）求證：平面PAD； （2）當(dāng)平面PCD與平面ABCD成多大二面角時(shí)， 直線平面PCD？證：（1）取CD中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG∵E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)，∴EG//AD，F(xiàn)G//PD，∴平面EFG//平面PAD，∴ EF//平面PAD． （2）當(dāng)平面PCD與平面ABCD成45176。角時(shí)，直線EF^平面PCD.證明：∵G為CD中點(diǎn)，則EG^CD，∵PA^底面ABCD∴AD是PD在平面ABCD內(nèi)的射影。 ∵CD204。平面ABCD，且CD^AD，故CD^PD ．又∵FG∥PD∴FG^CD，故208。EGF為平面PCD 與平面ABCD所成二面角的平面角，即208。EGF=45176。，從而得208。ADP=45176。， AD=@RtDCBE，得PE=，∴EF^PC.由CD^EG，CD^FG，得CD^平面EFG，∴CD^EF，即EF^CD，故EF^平面PCD． 20. 已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2a，AB = a，F(xiàn)為CD的中點(diǎn). （Ⅰ）求證：AF⊥平面CDE； （Ⅱ）求異面直線AC，BE所成角余弦值； （Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小.解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD∴DE⊥AF。又∵AC=AD=C，F(xiàn)為CD中點(diǎn)∴AF⊥CD，∴AF⊥面CDE∴AF⊥平面CDE 。 （Ⅱ）∵取DE中點(diǎn)M，連結(jié)AM、CM，則四邊形AMEB為平行四邊形AM//BE，則∠CAM為AC與BE所成的角。在△ACM中，AC=2a由余弦定理得：∴異面直線AC、AE所成的角的余弦值為。 （Ⅲ）延長DA。EB交于點(diǎn)G，連結(jié)CG。 因?yàn)锳B//DE，AB=DE，所以A為GD中點(diǎn)。又因?yàn)镕為CD中點(diǎn)，所以CG//AF。因?yàn)锳F⊥平面CDE，所以CG⊥平面CDE。故∠DCE為面ACD和面BCE所成二面角的平面角易求∠DCE=45176。21. 如圖，四邊形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA//PB，PB=AB=2MA， （Ⅰ）證明：AC//平面PMD； （Ⅱ）求直線BD與平面PCD所成的角的大?。? （Ⅲ）求平面PMD與平面ABCD所成的二面角（銳角）的大小。（Ⅰ）證明：如圖1，取PD的中點(diǎn)E，連EO，EM。∵EO//PB，EO=PB，MA//PB，MA=PB，∴EO//MA，且EO=MA∴四邊形MAOE是平行四邊形，∴ME//AC 。又∵AC平面PMD，ME平面PMD，∴AC//平面PMD 。（Ⅱ）如圖1，PB⊥平面ABCD，CD平面ABCD， ∴CD⊥PB。又∵CD⊥BC， ∴CD⊥平面PBC?！逤D平面PCD， ∴平面PBC⊥平面PCD。過B作BF⊥PC于F，則BF⊥平面PDC，連DF，則DF為BD在平面PCD上的射影。 ∴∠BDF是直線BD與平面PDC所成的角。 不妨設(shè)AB=2，則在Rt△BFD中， ∴∠BDF=∴直線BD與平面PCD所成的角是 （Ⅲ）解：如圖3，分別延長PM，BA，設(shè)PM∩BA=G，連DG，則平面PMD∩平面=ABCD=DG過A作AN⊥DG于N，連MN。 ∵PB⊥平面ABCD， ∴MN⊥DG∴∠MNA是平面PMD與平面ABCD所成的二面角的平面角（銳角） 在Rt△MAN中，∴∠MNA=arctan∴平面PMD與平面ABCD所成的二面角（銳角）大小是arctan 22. 已知斜三棱柱，，在底面上的射影恰為的中點(diǎn)，又知。（I）求證：平面；（II）求到平面的距離；（III）求二面角的大小。2,4,6解：（I）因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，又，所以平面，得，又所以平面；（II）因?yàn)?，所以四邊形? 菱形，故，又為中點(diǎn)，知。取中點(diǎn)，則平面，從而面面， 過作于，則面， 在中，故， 即到平面的距離為。 （III）過作于，連，則， 從而為二面角的平面角， 在中，所以，在中， 故二面角的大小為。 解法2：（I）如圖，取的中點(diǎn)，則，因?yàn)椋?所以，又平面， 以為軸建立空間坐標(biāo)系， 則，，，，由，知， 又，從而平面； （II）由，得。 設(shè)平面的法向量為，，所以，設(shè)，則 所以點(diǎn)到平面的距離。 （III）再設(shè)平面的法向量為，， 所以，設(shè)，則， 故，根據(jù)法向量的方向， 可知二面角的大小為。（四） 創(chuàng)新試題１．如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中點(diǎn)，AA1=AB=1. （I）求證：A1C//平面AB1D； （II）求二面角B—AB1—D的大小； （III）求點(diǎn)c到平面AB1D的距離.解法一（I）證明：連接A1B，設(shè)A1B∩AB1 = E，連接DE.∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，∴四邊形A1ABB1是正方形，∴E是A1B的中點(diǎn)，又D是BC的中點(diǎn)，∴DE∥A1C. ∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D. （II）解：在面ABC內(nèi)作DF⊥AB于點(diǎn)F，在面A1ABB1內(nèi)作FG⊥AB1于點(diǎn)G，連接DG.∵平面A1ABB1⊥平面ABC， ∴DF⊥平面A1ABB1，∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影， ∵FG⊥AB1， ∴DG⊥AB1∴∠FGD是二面角B—AB1—D的平面角 設(shè)A1A = AB = 1，在正△ABC中，DF=在△ABE中，在Rt△DFG中，所以，二面角B—AB1—D的大小為 （III）解：∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，∴AD⊥平面B1BCC1，又AD平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.在平面B1BCC1內(nèi)作CH⊥B1D交B1D的延長線于點(diǎn)H，則CH的長度就是點(diǎn)C到平面AB1D的距離. 由△CDH∽△B1DB，得即點(diǎn)C到平面AB1D的距離是 解法二：建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，如圖， （I）證明：連接A1B，設(shè)A1B∩AB1 = E，連接DE.設(shè)A1A = AB = 1，則 ， （II）解：， ，設(shè)是平面AB1D的法向量，則，故；同理，可求得平面AB1B的法向量是 設(shè)二面角B—AB1—D的大小為θ，∴二面角B—AB1—D的大小為 （III）解由（II）得平面AB1D的法向量為，取其單位法向量∴點(diǎn)C到平面AB1D的距離２. 如圖，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長都為a，P為A1B上的點(diǎn)。 （1）試確定的值，使得PC⊥AB； （2）若，求二面角P—AB—C的大?。弧　　　　? （3）在（2）條件下，求C1到平面PAC的距離?！　?,4,6：四、 復(fù)習(xí)建議解法一：（1）當(dāng)時(shí)，PC⊥AB取AB的中點(diǎn)D′，連結(jié)CD′、PD′∵△ABC為正三角形， ∴CD′⊥AB。當(dāng)P為A1B的中點(diǎn)時(shí)，PD′//A1A， ∵A1A⊥底面ABC， ∴PD′⊥底面ABC，∴PC⊥AB （2）當(dāng)時(shí)，過P作PD⊥AB于D，如圖所示，則PD⊥底在ABC過D作DE⊥AC于E，連結(jié)PE，則PE⊥AC∴∠DEP為二面角P—AC—B的平面角。又∵PD//A1A， ∴， ∴∴ 又∵∴ ∴∠PED=60176。即二面角P—AC—B的大小為60176。 （3）設(shè)C1到面PAC的距離為d，則∵PD//A1A ∴PD//平面A1C ∴DE即為P點(diǎn)到平面A1C的距離。又PE=∴∴解得 即C1到平面PAC的距離為 解法二：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，過A點(diǎn)與AB垂直的直線為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz，如圖所示，則B（a，0，0），A1（0，0，a），C，設(shè)（1）由即， ∴P為A1B的中點(diǎn)。即 時(shí)，PC⊥AB。 （2）當(dāng)即 設(shè)平面PAC的一個法向量n=則 即取 又平面ABC的一個法向量為n0=（0，0，1）∴∴二面角P—AC—B的大小為180176。－120176。=60176。 （3）設(shè)C1到平面PAC的距離為d，則即C1到平面PAC的距離為 ． 36