【導(dǎo)讀】，解得{}na的公比13q?。，第k項(xiàng)滿足５＜ka＜８，則k=. 解析：此數(shù)列為等差數(shù)列，1210nnnaSSn?????na的公差d不為0,19ad?.若ka是1a與2ka的等比中項(xiàng)，xa的前n項(xiàng)和為xS，若231,3,aa??解析：法一特殊值法，由題意取1,2pq??，m分別取p和q，則原式化為。na是等差數(shù)列，1010a?Ａ．3Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．2?的頂點(diǎn)是，，則：1,??a，則2a等于（）

　　

【正文】 nn aqaS q??? ?， 則21 21412 (1 )5(1 ) 11aq aqaq qq? ? ????? ? ????，． ② 由 ② 得 421 5(1 )qq? ? ? ， 22( 4) ( 1) 0qq? ? ?， ( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) 0q q q q? ? ? ? ?， 因?yàn)?1q? ，解得 1q?? 或 2q?? ． Linsd68 整理 第 24 頁(yè)，共 45 頁(yè) 當(dāng) 1q?? 時(shí)，代入 ① 得 1 2a? ，通項(xiàng)公式 12 ( 1)nna ?? ? ? ； 當(dāng) 2q?? 時(shí)，代入 ① 得1 12a?，通項(xiàng)公式 11 ( 2)2 nna ?? ? ?． 1（ 全國(guó) 1 理 22） 已知數(shù)列 ??na 中 1 2a? ， 1 ( 2 1)( 2 )nnaa? ? ? ?， 1 3n?， ， ， … ． （ Ⅰ ）求 ??na 的通項(xiàng)公式； （ Ⅱ ）若數(shù)列 ??nb 中 1 2b? ，1 3423nn nbb b? ?? ?， 123n?， ， ， … ， 證明： 432 nnba?? ≤ ， 123n?， ， ， … ． 解：（ Ⅰ ）由題設(shè)： 1 ( 2 1)( 2 )nnaa? ? ? ? ( 2 1 ) ( 2 ) ( 2 1 ) (2 2 )na? ? ? ? ? ? ( 2 1)( 2 ) 2na? ? ? ?， 1 2 ( 2 1 ) ( 2 )nnaa? ? ? ? ?． 所以，數(shù)列 ? ?2na ?是首項(xiàng)為 22? ，公比為 21? 的等比數(shù)列， 2 2 ( 2 1) nna ? ? ?， 即 na 的通項(xiàng)公式為 2 ( 2 1) 1nna ??? ? ???， 123n?， ， ， … ． （ Ⅱ ）用數(shù)學(xué)歸納法證明． （ ⅰ ）當(dāng) 1n? 時(shí)，因 22? ， 112ba??，所以 112 ba? ≤ ，結(jié)論成立． （ ⅱ ）假設(shè)當(dāng) nk? 時(shí)，結(jié)論成立，即 432 kkba?? ≤ ， 也即 430 2 3kkba ?? ? ?≤ ． 當(dāng) 1nk??時(shí)， 1 342223kk kbb b? ?? ? ?? Linsd68 整理 第 25 頁(yè)，共 45 頁(yè) ( 3 2 2 ) ( 4 3 2 )23kkbb? ? ?? ? (3 2 2 )( 2 ) 023kkbb????? ， 又 11 3 2 223 2 2 3kb ? ? ?? ?， 所以 1 ( 3 2 2 ) ( 2 )2 23kk k bb b? ???? ? 2(3 2 2 ) ( 2 )kb? ? ? 4 43( 2 1) ( 2 )ka ???≤ 41 2ka ???． 也就是說(shuō)，當(dāng) 1nk??時(shí)，結(jié)論成立． 根據(jù)（?。┖停áⅲ┲?432 nnba?? ≤ ， 123n?， ， ， … ． 1（ 全國(guó) 1 文 21） 設(shè) {}na 是等差數(shù)列， {}nb 是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且111ab??， 3521ab??， 5313ab?? （Ⅰ）求 {}na ， {}nb 的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）求數(shù)列 nnab??????的前 n 項(xiàng)和 nS ． 解：（Ⅰ）設(shè) ??na 的公差為 d ， ??nb 的公比為 q ，則依題意有 0q? 且421 2 211 4 13dqdq? ? ? ???? ? ???， 解得 2d? ， 2q? ． 所以 1 ( 1) 2 1na n d n? ? ? ? ?， 112nnnbq????． Linsd68 整理 第 26 頁(yè)，共 45 頁(yè) （Ⅱ）1212n nna nb ???． 1 2 2 13 5 2 3 2 11 2 2 2 2n nnS ??? ? ? ? ? ?，① 325 2 3 2 12 2 3 2 2 2n nnS ??? ? ? ? ? ?，② ②－①得2 2 12 2 2 2 122 2 2 2 2n nn nS ?? ?? ? ? ? ? ? ?， 2 2 11 1 1 2 12 2 1 2 2 2 2nn n?? ???? ? ? ? ? ? ? ????? 1111212221 212nnn??? ?? ? ? ?? 1236 2nn ????． 1（ 遼寧理 21） 已知數(shù)列 {}na ， {}nb 與函數(shù) ()fx， ()gx ， x?R 滿足條 件： nnab? ， 1( ) ( )( )nnf b g b n???N*. （ I）若 ( ) 1 0 2f x tx t t? ? ?≥ ， ， ( ) 2g x x? ， ( ) ( )f b g b? ， limnn a??存在，求 x 的取值范圍； （ II）若函數(shù) ()y f x? 為 R 上的增函數(shù)， 1( ) ( )g x f x?? ， 1b? ， (1) 1f ? ，證明對(duì)任意 n?N* ， limnn a??（用 t 表示）． 1（ 江西理 22） 設(shè)正整數(shù)數(shù)列 ??na 滿足： 2 4a? ，且對(duì)于任何 *n?N ，有11111122111nnnnaaaann???? ? ? ?? ?． （ 1）求 1a ， 3a ； （ 3）求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng) na ． Linsd68 整理 第 27 頁(yè)，共 45 頁(yè) 解：（ 1） 據(jù)條件得111 1 1 12 ( 1 ) 2n n n nnna a a a????? ? ? ? ? ????? ① 當(dāng) 1n? 時(shí)，由2 1 2 11 1 1 12 2 2a a a a??? ? ? ? ?????，即有111 2 2 12244aa? ? ? ? ?， 解得12837a??．因?yàn)?1a 為正整數(shù)，故 1 1a? ． 當(dāng) 2n? 時(shí)，由331 1 1 12 6 244aa??? ? ? ? ?????， 解得 38 10a??，所以 3 9a? ． （ 2）方法一：由 1 1a? ， 2 4a? ， 3 9a? ，猜想： 2nan? ． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． 1 當(dāng) 1n? ， 2 時(shí)，由（ 1）知 2nan? 均成立； 2 假設(shè) ( 2)n k k? ≥ 成立，則 2kak? ，則 1nk??時(shí) 由 ① 得22111 1 1 12 ( 1 ) 2kkkka k a k????? ? ? ? ? ????? 2212 ( 1 ) ( 1 )11kk k k k kak k k?? ? ?? ? ?? ? ? 22212( 1 ) 1( 1 ) ( 1 )11kkk a kkk??? ? ? ? ? ? ??? 因 為 2k≥ 時(shí)， 22( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2) 0k k k k k? ? ? ? ? ? ≥，所以 ? ?22( 1) 011kk ? ?? ，． 11k?≥ ，所以 ? ?1 011k ?? ， ． 又 1ka?? *N ，所以 221( 1) ( 1)kk a k???≤ ≤． 故 21 ( 1)kak? ??，即 1nk??時(shí)， 2nan? 成立． 由 1 ， 2 知，對(duì)任意 n?*N ， 2nan? ． （ 2）方法二： 由 1 1a? ， 2 4a? ， 3 9a? ，猜 想： 2nan? ． Linsd68 整理 第 28 頁(yè)，共 45 頁(yè) 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． 1 當(dāng) 1n? ， 2 時(shí)，由（ 1）知 2nan? 均成立； 2 假設(shè) ( 2)n k k? ≥ 成立，則 2kak? ，則 1nk??時(shí) 由 ① 得22111 1 1 12 ( 1 ) 2kkkka k a k????? ? ? ? ? ????? 即2111 1 ( 1 ) 122kkk k ka k a k????? ? ? ? ? ② 由 ② 左式，得 2111kk k kka?? ? ?? ，即 321( 1) kk a k k k?? ? ? ?，因?yàn)閮啥藶檎麛?shù)， 則 3 2 21( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 )kk a k k k k k?? ? ? ? ? ? ?≤ ．于是 21 ( 1)kak? ?≤ ③ 又由 ② 右式， 22221( 1 ) 2 1 ( 1 ) 1kk k k k k k ka k k?? ? ? ? ? ???． 則 231( 1) ( 1)kk k a k k?? ? ? ?． 因?yàn)閮啥藶檎麛?shù)，則 2 4 31( 1) 1kk k a k k?? ? ? ?≥， 所以 43 21 221 ( 1 )11k k k kakk k k k? ?? ? ? ?? ? ? ?≥． 又因 2k≥ 時(shí)， 1ka? 為正整數(shù)，則 21 ( 1)kak? ?≥ ④ 據(jù) ③④ 21 ( 1)kak? ??，即 1nk??時(shí)， 2nan? 成立． 由 1 ， 2 知，對(duì)任意 n?*N ， 2nan? ． 1（ 江西文 21） 設(shè) ??na 為等比數(shù)列， 1 1a? ， 2 3a? ． （ 1）求最小的自然數(shù) n ，使 2020na ≥ ； （ 2）求和：2 1 2 3 21 2 3 2n nnT a a a a? ? ? ? ?． 解：（ 1）由已知條件得 1 12113n nn aa a ? ????????? ， Linsd68 整理 第 29 頁(yè)，共 45 頁(yè) 因?yàn)?673 2020 3??，所以，使 2020na ≥ 成立的最小自然數(shù) 8n? ． （ 2）因?yàn)? 2 3 2 11 2 3 4 21 3 3 3 3n nnT ?? ? ? ? ? ?，????① 2 2 3 4 2 1 21 1 2 3 4 2 1 23 3 3 3 3 3 3n nnnnT ??? ? ? ? ? ? ?，????② ?① ② 得： 2 2 3 2 1 24 1 1 1 1 213 3 3 3 3 3n nn nT ?? ? ? ? ? ? ? 2211231 313nnn???? 223 3 3 843nn n??? 所以 222 23 9 2416 3nn n nT? ??? ． 1（ 江蘇理 20） 已知 {}na 是等差 數(shù)列， {}nb 是公比為 q 的等比數(shù)列，1 1 2 2 1,a b a b a? ? ?，記 nS 為數(shù)列 {}nb 的前 n 項(xiàng)和， （ 1）若 (,kmb a m k? 是大于 2 的正整數(shù) ) ，求證： 11( 1)kS m a? ??；（ 4 分） （ 2）若 3 (ib a i? 是某一正整數(shù) ) ，求證： q 是整數(shù)，且數(shù)列 {}nb 中每一項(xiàng)都是數(shù)列 {}na 中的項(xiàng)；（ 8 分） （ 3）是否存在這樣的正數(shù) q ，使等比數(shù)列 {}nb 中有三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫出一個(gè) q 的值，并加以說(shuō)明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ 4 分） 解：設(shè) {}na 的公差為 d ，由 1 1 2 2 1,a b a b a? ? ? ，知 0, 1dq??， ? ?1 1d a q??（ 1 0a? ） （ 1）因?yàn)?kmba? ，所以 ? ? ? ?11 1 111ka q a m a q? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 2 1kq m q m m q? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 ? ? ? ?? ? ? ?11 1111 11 11 kkaq a m m qS m aqq??? ? ? ?? ? ? ?? （ 2） ? ? ? ?23 1 1 1, 1 1ib a q a a i a q? ? ? ? ?，由 3 iba? ， Linsd68 整理 第 30 頁(yè)，共 45 頁(yè) 所以 ? ? ? ? ? ? ? ?221 1 1 , 1 2 0 ,q i q q i q i? ? ? ? ? ? ? ? ?解得， 1q? 或 2qi?? ，但1q? ，所以 2qi?? ，因?yàn)?i 是正整數(shù)，所以 2i? 是整數(shù)，即 q 是整數(shù)，設(shè)數(shù)列 {}nb中任意一項(xiàng)為 ? ?11 nnb a q n N????，設(shè)數(shù)列 {}na 中的某一項(xiàng) ma ? ?mN?? = ? ? ? ?1111a m a q? ? ? 現(xiàn)在只要證明存在正整數(shù) m ，使得 nmba? ，即在方程 ? ? ? ?11 1 111na q a m a q? ? ? ? ?中 m 有正整數(shù)解即可， ? ? ? ? 11 2 211 1 1 , 1 11nnn qq m q m q q qq ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??，所以 222 nm q q q ?? ? ? ?，若 1i ? ，則 1q ?? ，那么 2 1 1 1 , 2 2 2nnb b a b b a?