【正文】 ? ? ? ? ?2 1, ( 1)nS n a? ? ?代入極限式得22112 13 4 ( 2 ) ( 2 )l i m 3( 1 )n n a n an n a?? ? ? ? ? ??? （全國 1 文 16）等比數(shù)列 {}na 的前 n 項和為 nS ，已知 1S ， 22S ， 33S 成等差數(shù)列，則 {}na的公比為 ______。 （廣東文 13）已知數(shù)列 {an}的前 n項和 Sn=n29n，則其通項 an= ；若它的第 k項滿足5ak8，則 k= 【解析】 {an}等差 ,易得 2 10nan??,解不等式 5 2 10 8k? ? ? ,可得 8k? （全國 2 理 16）已知數(shù)列的通項 an=－ 5n+2,其前 n 項和為 Sn, 則2limnn Sn??= 。 （全國 2 文 14）已知數(shù)列的通項 52nan?? ? ，則其前 n 項和 nS? ． 解．已知數(shù)列的通項 52nan?? ? ， 1 3a?? ，則其前 n 項和 nS? 1()2 nn a a? = 252nn??． （ 安徽理 14）如圖，拋物線 y=－ x2+1 與 x 軸的正半軸交于點 A，將線段 OA 的 n 等分點從左至右依次記為 P1,P2,…, Pn－ 1,過這些分點分別作 x軸的垂線，與拋物線的交點依次為 Q1，Q2， … ， Qn－ 1，從而得到 n－ 1 個直角三角形 △ Q1OP1, △ Q2P1P2,…, △ Qn－ 1Pn－ 1Pn－ 1,當 n→∞時，這些三角形的面積之和的極限為 . 解析：如圖，拋物線 y=－ x2+1 與 x軸的正半軸交于點 A(1， 0)，將線段 OA 的 n等分點從左至右依次記為 P1,P2,…, Pn－ 1,過這些分點分別作 x軸的垂線，與拋物線的交點依次為 Q1， Q2， … ，Qn－ 1，從而得到 n－ 1 個直角三角形 △ Q1OP1, △ Q2P1P2,…, △Linsd68 整理 第 7 頁，共 45 頁 Qn－ 1Pn－ 2Pn－ 1, ∴ 1 1( ,0)k kP n? ?， 21 21 ( 1)( ,1 )k kkQ nn? ???，211||nnPP n???，當 n→∞ 時，這些三角形的面積之和的極限為 222 2 21 1 1 2 ( 1 )l im [ ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ]2n nn n n n?? ?? ? ? ? ? ?. 整理得 221( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 3 )1 6l im [ ]2n n n n n nnn?? ? ? ? ? ?=31 。 （江西理 14）已知數(shù)列 ??na 對于任意 *pq?N， ，有 p q p qa a a ??? ，若1 19a ?，則 36a? ． 解析：由題意得 ,9162,982,942,922816482412 ???????? aaaaaaaa 4936,9322 432361632 ?????? aaaaa ，填 4 （江西文 14）已知等差數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 nS ，若 12 21S ? ，則 2 5 8 11a a a a? ? ? ? ． 解析：由題意得 1 1 21 2 1 1 2 71 2 2 1 , ,22aaS a a?? ? ? ? ? ?2 5 8 1 1 77 a a a? ? ? ? ? 1（海、寧文 16）已知 ??na 是等差數(shù)列， 466aa??，其前 5 項和 5 10S? ，則其公差d? ． 【答案】 ： 12 【分析】 ： 4 6 56 3,a a a? ? ? ? 15 15135 5 1 0 1 .22aa aSa? ?? ? ? ? ? ? ? Linsd68 整理 第 8 頁，共 45 頁 51 1 .5 1 2aad ?? ? ?? 1（重慶理 14）設 { na }為公比 q1 的等比數(shù)列，若 2020a 和 2020a 是方程 24 8 3 0xx? ? ? 的兩根， 則 ?? 20202020 aa __________. 【答案】 ： 18 【分析】 ： 2020a 和 2020a 是方程 24 8 3 0xx? ? ? 的兩根，故有： 202020201232aa? ????? ???或 202020203212aa? ????? ???（舍）。 又由 an+1＝ Sn+1 Sn＝ )2)(1(61)2)(1(6111 ????? ?? nnnn aaaa， 得 an+1 an3＝ 0 或 an+1＝ an 因 an＞ 0，故 an+1＝ an 不成立，舍去。從而｛ an｝是公差為 3，首項為 2 的等差數(shù)列，故｛ an｝的通項為 an＝ 3n2。23l o g21 n nbbbT znn ??。13 356 令23n 223)(3??????? ?? n nxf ?,則 233)23)(53( )33(23n 33n 因 079)23)(53()33( 22 ＞?????? nnnn ，故 )()1( nfnf ＞? . 特別的 12027)1()( ＞?? fnf 。 證法二：同證法一求得 bn 及 Tn。 由此不等式有 3332 13 115112112l o g13 ?????? ???????? ??????? ??? nT n ? ?????? ???????? ??????? ? 13 315312312l o g 2 n?＞ ＝ )3(l o g)23(l o g13 23482l o g222 ?????? nannn?。 令 An＝ nn335643 ?? ， Cn＝ 13 2378 因 13 233 1313 3 ???? nnnnn n ＞＞ ，因此 2 233 ?? nCBAAnnnn＞。322l o g13 xn An nT ??????? ??? ? ＞ )3(l o g)23(l o g2l o g 222 ???? nnnn anCBA 。 12 12 2 2 2nn nn a n? ?? ??? ，≥ ≥． 所以 ③ 式成立． 因此，存在 1k? ，使得 1121nkaa aa a a???≤ 對任意 n ??N 均成立． （ 天津文 20） 在數(shù)列 ??na 中， 1 2a? ， 1 4 3 1nna a n? ? ? ?， n?*N ． （ Ⅰ ）證明數(shù)列 ? ?nan? 是等比數(shù)列； （ Ⅱ ）求數(shù)列 ??na 的前 n 項和 nS ； （ Ⅲ ）證明不等式 1 4nnSS? ≤ ，對任意 n?*N 皆成立． 本小題以數(shù)列的遞推關系式為載體，主要考查等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項公式及前 n 項和公式、不等式的證明等基礎知識，考查運算能力和推理論證能力．滿分 12 分． （ Ⅰ ）證明：由題設 1 4 3 1nna a n? ? ? ?，得 1 ( 1) 4( )nna n a n? ? ? ? ?， n?*N ． 又 1 11a?? ，所以數(shù)列 ? ?nan? 是首項為 1，且公比為 4 的等比數(shù)列． （ Ⅱ ）解：由（ Ⅰ ）可知 14nnan??? ，于是數(shù)列 ??na 的通項公式為 14nnan???． 所以數(shù)列 ??na 的前 n 項和 4 1 ( 1)32nn nnS ????． （ Ⅲ ）證明：對任意的 n?*N ， Linsd68 整理 第 15 頁，共 45 頁 11 4 1 ( 1 ) ( 2 ) 4 1 ( 1 )443 2 3 2nnnn n n n nSS?? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ????? 21 (3 4 ) 02 nn? ? ? ? ≤． 所以不等式 1 4nnSS? ≤ ，對任意 n?*N 皆成立． （ 四川文 22） 已知函數(shù) f（ x） =x2－ 4，設曲線 y＝ f（ x）在點（ xn， f（ xn））處的切線與 x軸的交點為（ xn+1,u）（ u,N +），其中為正實數(shù) . （ Ⅰ ）用 xx表示 xn+1； （ Ⅱ ）若 a1=4，記 an=lg 22nnxx??，證明數(shù)列｛ a1｝成等比數(shù)列，并求數(shù)列｛ xn｝的通項公式； （ Ⅲ ）若 x1＝ 4， bn＝ xn－ 2， Tn 是數(shù)列｛ bn｝的前 n 項和，證明 Tn3. 解析：本題綜合考 查數(shù)列、函數(shù)、不等式、導數(shù)應用等知識，以及推理論證、計算及解決問題的能力． （Ⅰ）由題可得 39。( ) ( )n n ny f x f x x x? ? ?． 即 2( 4 ) 2 ( )n n ny x x x x? ? ? ?． 令 0y? ，得 2 1( 4 ) 2 ( )n n n nx x x x?? ? ? ?． 即 2 142n n nx x x ??? ． 顯然 0nx? ，∴1 22nn nxx x? ??． （Ⅱ）由1 22nn nxx x? ??，知 21 ( 2)22222nnn nnxxx xx? ?? ? ? ? ?，同理 21 2)2 2nn nxx x? ???． 故 21122()nnxx???????． 從而 1122lg 2 lgnnxx???????，即 1 2nnaa? ? ．所以，數(shù)列 {}na 成等比數(shù)列． Linsd68 整理 第 16 頁，共 45 頁 故 1 1 111 1 22 2 l g 2 l g 32n n nn xaa x? ? ??? ? ??． 即 12lg 2 lg 32 nnnxx ?? ??． 從而 122 32 nnnxx ?? ?? 所以 11222(3 1)31nnnx???? ? （Ⅲ）由（Ⅱ）知 11222(3 1)31nnnx???? ? ， ∴12 42031nnnbx ?? ? ? ?? ∴ 11 1 1 1212 2 2 23 1 1 1 1 133 1 3 1 3 3nn n nn nbb ?? ? ???? ? ? ? ??? 當 1n? 時，顯然 1123Tb? ? ? ． 當 1n? 時， 211 2 11 1 1( ) ( )3 3 3 nn n nb b b b???? ? ? ? ∴ 12nnT b b b? ? ? ? 11 1 111()33nb b b?? ? ? ? 11[1 ( ) ]311 3nb ??? 13 3 ( ) 33 n? ? ? ? ． 綜上， 3nT? ( *)nN? ． （ 上海理 20） 若有窮數(shù)列 12, ...na a a （ n 是正整數(shù)），滿足 1 2 1 1, ... .n n na a a a a a?? ? ?即 1i n iaa??? （ i 是正整數(shù)，且 1 in?? ），就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”。 (Ⅱ )對任意給定的正 整數(shù) n(n≥ 2),數(shù)列 {bk}滿足11?? ??bkk a nkbb （ k=1,2,?， n1） ,b1=1. 求 b1+b2+? +bn. 解：（Ⅰ）當 1k? ，由1 1 1 212a S a a??及 1 1a? ，得 2 2a? ． 當 2k≥ 時，由1 1 11122k k k k k k ka S S a a a a? ? ?? ? ? ?，得 11( ) 2k k k ka a a a????． 因為 0ka? ，所以 112kkaa????．從而 21 1 ( 1 ) 2 2 1ma m m? ? ? ? ? ?． 2 2 ( 1) 2 2ma m m? ? ? ?， *m?N ．故 *()ka k k??N ． （Ⅱ）因為 kak? ，所以 11 1kkkb n k n kb a k????? ? ? ? ?． 所以 11 211 2 1 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )( 1 ) 1( 1 ) 2 1kkkk kkbb b n k n k nbbb b b k k???? ? ? ? ? ?? ? ? ? 1 1( 1 ) ( 1 2 )kknC k nn?? ? ? ， ， ，． 故 1 2 3 nb b b b? ? ? ? 1 2 3 11 ( 1 ) nnn n n nC C C Cn ???? ? ? ? ? ??? Linsd68 整理 第 20 頁，共 45 頁 ? ?0 1 2111 ( 1 ) nnn n n nC C C Cnn??? ? ? ? ? ? ? ???． （ 陜西文 20） 已知實數(shù)列 是}{na 等比數(shù)列 ,其中 5547 ,14,1 aaa ?? 且 成等差數(shù)列 . (Ⅰ )求數(shù)列 }{na 的通項公式