【正文】 ???，設數(shù)列 {}na 中的某一項 ma ? ?mN?? = ? ? ? ?1111a m a q? ? ? 現(xiàn)在只要證明存在正整數(shù) m ，使得 nmba? ，即在方程 ? ? ? ?11 1 111na q a m a q? ? ? ? ?中 m 有正整數(shù)解即可， ? ? ? ? 11 2 211 1 1 , 1 11nnn qq m q m q q qq ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??，所以 222 nm q q q ?? ? ? ?，若 1i ? ，則 1q ?? ，那么 2 1 1 1 , 2 2 2nnb b a b b a?。 （ 1）已知數(shù)列 ??nb 是項數(shù)為 7 的對稱數(shù)列，且 1 2 3 4, , ,b b b b 成 等差數(shù)列，Linsd68 整理 第 17 頁，共 45 頁 142, 11bb??，試寫出 ??nb 的每一項 （ 2）已知 ??nc 是項數(shù)為 ? ?2 1 1kk??的對稱數(shù)列，且 1 2 1, ...k k kc c c??構成首項為 50，公差為 4? 的等差數(shù)列，數(shù)列 ??nc 的前 21k? 項和為 21kS? ，則當 k 為何值時， 21kS?取到最大值？最大值為多少？ （ 3）對于給定的正整數(shù) 1m? ，試寫出所有項數(shù)不超過 2m 的對稱數(shù)列，使得211,2,2 ...2m? 成為數(shù)列中的連續(xù)項；當 1500m? 時，試求其中一個數(shù)列的前 2020項和 2020S 解 ： （ 1）設 ??nb 的公差為 d ，則 1132314 ????? ddbb ，解得 3? ， ? 數(shù)列 ??nb 為 2 5 8 11 8 5 2， ， ， ， ， ， ． （ 2） 12112112 ???? ???????? kkkkk ccccccS ?? kkkk cccc ????? ?? )(2 121 ?， 50134)13(4 2212 ??????? kS k ， ? 當 13?k 時， 12?kS 取得最大值． 12?kS 的最大值為 626． （ 3）所有可能的 “ 對稱數(shù)列 ” 是 ： ① 2 2 1 2 21 2 2 2 2 2 2 2 1m m m? ? ?， ， ， ， ， ， ， ， ， ，； ② 2 2 1 1 2 21 2 2 2 2 2 2 2 2 1m m m m? ? ? ?， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，； ③ 1 2 2 2 2 12 2 2 2 1 2 2 2 2m m m m? ? ? ?， ， ， ， ， ， ， ， ， ，； ④ 1 2 2 2 2 12 2 2 2 1 1 2 2 2 2m m m m? ? ? ?， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，． 對于 ① ，當 2020m≥ 時， 122221 2020202022020 ??????? ?S ． 當 1500 2020m? ≤ 時， 202022122020 222221 ???? ???????? mmmmS ?? 202021 2212 ?? ???? mmm 122 202021 ???? ?? mmm ． 對于 ② ，當 2020m≥ 時， 1220202020 ??S ． Linsd68 整理 第 18 頁，共 45 頁 當 1500 2020m? ≤ 時， 2020S 122 202021 ??? ?? mm ． 對于 ③ ，當 2020m≥ 時， 20202020 22 ??? mmS ． 當 1500 2020m? ≤ 時， 2020S 322 2020 ??? ?mm ． 對于 ④ ，當 2020m≥ 時， 20202020 22 ??? mmS ． 當 1500 2020m? ≤ 時， 2020S 222 2020 ??? ?mm ． （ 上海文 20） 如果 有窮數(shù)列 1 2 3 ma a a a， ， ， ， （ m 為正整數(shù)）滿足條件 maa?1 ，12 ?? maa ， ? ， 1aam? ，即 1??? imi aa （ 12im? ， ， ， ），我們稱其為 “ 對稱數(shù)列 ” ． 例如 ， 數(shù)列 1 2 5 21， ， ， ， 與 數(shù)列 8 4 2 2 4 8， ， ， ， ， 都是 “ 對 稱數(shù)列 ” ． （ 1） 設 ??nb 是 7 項的 “ 對稱數(shù)列 ” ，其中 1 2 3 4b b b b， ， ， 是等差數(shù)列，且 21?b ， 114?b ．依次寫出 ??nb 的每一項； （ 2） 設 ??nc 是 49 項 的“ 對稱數(shù)列 ” ，其中 25 26 49c c c， ， ， 是首項為 1，公比為 2的等比數(shù)列，求 ??nc 各 項的和 S ； （ 3） 設 ??nd 是 100項 的“ 對稱數(shù)列 ” ，其中 51 52 100d d d， ， ， 是首項為 2 ，公差為3 的等差數(shù)列．求 ??nd 前 n 項的和 nS ( 1 2 100 )n ? ， ， ， ． 解 ： （ 1）設數(shù)列 ??nb 的公差為 d ，則 1132314 ????? ddbb ，解得 3? ， ? 數(shù)列 ??nb 為 2 5 8 11 8 5 2， ， ， ， ， ， ． （ 2） 4921 cccS ???? ? 25492625 )(2 cccc ????? ? ? ? 122212 242 ?????? ? ? ? 32122 2625 ????? ?67108861． （ 3） 5 1 1 0 02 2 3 ( 5 0 1 ) 1 4 9dd? ? ? ? ? ?， ． 由題意得 1 2 50d d d， ， ， 是首項為 149，公差為 3? 的等差數(shù)列． 當 50n≤ 時， nn dddS ???? ?21 Linsd68 整理 第 19 頁，共 45 頁 nnnnn 23 0 123)3(2 )1(1 4 9 2 ??????? ． 當 51 100n≤ ≤ 時， nn dddS ???? ?21 ? ?ndddS ????? ?525150 ( 5 0 ) ( 5 1 )3 7 7 5 2 ( 5 0 ) 32nnn ??? ? ? ? ? 7 5 0 022 9 923 2 ??? nn ． 綜上所述， 223 3 0 1 1 5 0223 2 9 9 7 5 0 0 5 1 1 0 022nn n nSn n n? ????? ?? ????， ≤ ≤ ， ≤ ≤ ． （ 陜西理 22） 已知各項全不為零的數(shù)列 {ak}的前 k 項和為 Sk,且 Sk＝?? kaa kk (21 1 N*),其中 a1=1. (Ⅰ )求數(shù)列 {ak}的通項公式 。 （ 浙江理 21） 已知數(shù)列 ??na 中的相鄰兩 項 2 1 2kkaa?， 是關于 x 的方程2 ( 3 2 ) 3 2 0kkx k x k? ? ? ?的兩個根，且 2 1 2 ( 1 2 3 )kka a k? ?≤ ， ， ，． （ I）求 1a ， 2a ， 3a ， 7a ； （ II）求數(shù)列 ??na 的前 2n 項和 2nS ； （ Ⅲ ）記 sin1( ) 32 sin nfn n????????， ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 1 )1 2 3 4 5 6 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )f f f f nnnnT a a a a a a a a??? ? ? ?? ? ? ? ?…， 求證： 15()6 2 4nTn? *N≤ ≤． 本題主要考查等差、等比數(shù)列的基本知識，考查運算及推理能力．滿分 15 分． （ I）解：方程 2 ( 3 2 ) 3 2 0kkx k x k? ? ? ?的兩個根為 1 3xk? ， 2 2kx? ， 當 1k? 時， 1232xx??， ， 所以 1 2a? ； 當 2k? 時， 1 6x? ， 2 4x? ， 所以 3 4a? ； 當 3k? 時， 1 9x? ， 2 8x? ， 所以 5 8a? 時； 當 4k? 時， 1 12x? ， 2 16x ? ， 所以 7 12a? ． （ II）解： 2 1 2 2nnS a a a? ? ? ? Linsd68 整理 第 11 頁，共 45 頁 2( 3 6 3 ) ( 2 2 2 )nn? ? ? ? ? ? ? ? 2 133 222 nnn ??? ? ?． （ III）證明： ( 1 )1 2 3 4 5 6 2 1 21 1 1 ( 1 ) fnnnnT a a a a a a a a???? ? ? ? ?， 所以1 12116T aa??， 2 1 2 3 41 1 524T a a a a? ? ?． 當 3n≥ 時， ( 1 )3 4 5 6 2 1 21 1 1 ( 1 )6 fnnnnT a a a a a a???? ? ? ? ?， 3 4 5 6 2 1 21 1 1 16nna a a a a a???? ? ? ?????≥ 231 1 1 1 16 6 2 6 2 2 n??? ? ? ?????≥ 1 1 16 6 2 6n? ? ? ， 同時， ( 1 )5 6 7 8 2 1 25 1 1 ( 1 )24 fnnnnT a a a a a a???? ? ? ? ? 5 6 1 2 2 1 25 1 1 124nna a a a a a???? ? ? ?????≤ 315 1 1 1 12 4 9 2 9 2 2 n??? ? ? ?????≤ 5 1 524 9 2 24n? ? ? ． 綜上，當 n?N* 時， 156 24nT≤ ≤． （ 浙江文 19） 已知數(shù)列 { na }中的相鄰兩項 21ka? 、 2ka 是關于 x 的方程2 ( 3 2 ) 3 2 0kkx k x k? ? ? ? ? 的兩個根，且 21ka? ≤ 2ka (k ＝ 1， 2， 3，? )． Linsd68 整理 第 12 頁，共 45 頁 (I)求 1 3 5 7, , ,a a a a 及 2na (n≥ 4)(不必證明 )； (Ⅱ )求數(shù)列 { na }的前 2n 項和 S2n． 本題主要考查等差、等比數(shù)列的基本知識，考查運算及推理能力．滿分 14 分． (I)解：方程 2 ( 3 2 ) 3 2 0kkx k x k? ? ? ? ?的兩個根為 123 , 2kx k x??． 當 k＝ 1 時， 123, 2xx??，所以 1 2a? ； 當 k＝ 2 時， 126, 4xx??，所以 3 4a? ； 當 k＝ 3 時， 129, 8xx??，所以 5 8a? ； 當 k＝ 4 時， 1212, 16xx??，所以 7 12a? ； 因為 n≥ 4 時， 23n n? ，所以 2 2 ( 4)nnan?? （Ⅱ） 22 1 2 2( 3 6 3 ) (2 2 2 )nnnS a a a n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?＝2 133 222 nnn ?? ??． （ 天津理 21） 在數(shù)列 ??na 中， 1112 ( 2 ) 2 ( )nnnna a a n? ? ????? ? ? ? ? ? N， ，其中0?? ． （ Ⅰ ）求數(shù)列 ??na 的通項公式； （ Ⅱ ）求數(shù)列 ??na 的前 n 項和 nS ； （ Ⅲ ）證明存在 k ??N ，使得 11nkaa??≤ 對任意 n ??N 均成立． 本小題以數(shù)列的遞推關系式為載體，主要考查等比數(shù)列的前 n 項和公式、數(shù)列求和、不等式的證明等基礎知識與基本方法，考查歸納、推理、運算及靈活運用數(shù)學知識 分析問題和解決問題的能力．滿分 14 分． （ Ⅰ ）解法一： 2 2 22 2 (2 )2 2a ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， 2 2 3 2 3 33 ( 2 ) (2 )2 2 2a ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?， 3 3 4 3 4 44 (2 2 ) (2 )2 3 2a ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?． Linsd68 整理 第 13 頁，共 45 頁 由此可猜想出數(shù)列 ??na 的通項公式為