【正文】 由 ① 得22111 1 1 12 ( 1 ) 2kkkka k a k????? ? ? ? ? ????? 2212 ( 1 ) ( 1 )11kk k k k kak k k?? ? ?? ? ?? ? ? 22212( 1 ) 1( 1 ) ( 1 )11kkk a kkk??? ? ? ? ? ? ??? 因 為 2k≥ 時， 22( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2) 0k k k k k? ? ? ? ? ? ≥，所以 ? ?22( 1) 011kk ? ?? ，． 11k?≥ ，所以 ? ?1 011k ?? ， ． 又 1ka?? *N ，所以 221( 1) ( 1)kk a k???≤ ≤． 故 21 ( 1)kak? ??，即 1nk??時， 2nan? 成立． 由 1 ， 2 知，對任意 n?*N ， 2nan? ． （ 2）方法二： 由 1 1a? ， 2 4a? ， 3 9a? ，猜 想： 2nan? ． Linsd68 整理 第 28 頁，共 45 頁 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． 1 當(dāng) 1n? ， 2 時，由（ 1）知 2nan? 均成立； 2 假設(shè) ( 2)n k k? ≥ 成立，則 2kak? ，則 1nk??時 由 ① 得22111 1 1 12 ( 1 ) 2kkkka k a k????? ? ? ? ? ????? 即2111 1 ( 1 ) 122kkk k ka k a k????? ? ? ? ? ② 由 ② 左式，得 2111kk k kka?? ? ?? ，即 321( 1) kk a k k k?? ? ? ?，因?yàn)閮啥藶檎麛?shù)， 則 3 2 21( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 )kk a k k k k k?? ? ? ? ? ? ?≤ ．于是 21 ( 1)kak? ?≤ ③ 又由 ② 右式， 22221( 1 ) 2 1 ( 1 ) 1kk k k k k k ka k k?? ? ? ? ? ???． 則 231( 1) ( 1)kk k a k k?? ? ? ?． 因?yàn)閮啥藶檎麛?shù)，則 2 4 31( 1) 1kk k a k k?? ? ? ?≥， 所以 43 21 221 ( 1 )11k k k kakk k k k? ?? ? ? ?? ? ? ?≥． 又因 2k≥ 時， 1ka? 為正整數(shù)，則 21 ( 1)kak? ?≥ ④ 據(jù) ③④ 21 ( 1)kak? ??，即 1nk??時， 2nan? 成立． 由 1 ， 2 知，對任意 n?*N ， 2nan? ． 1（ 江西文 21） 設(shè) ??na 為等比數(shù)列， 1 1a? ， 2 3a? ． （ 1）求最小的自然數(shù) n ，使 2020na ≥ ； （ 2）求和：2 1 2 3 21 2 3 2n nnT a a a a? ? ? ? ?． 解：（ 1）由已知條件得 1 12113n nn aa a ? ????????? ， Linsd68 整理 第 29 頁，共 45 頁 因?yàn)?673 2020 3??，所以，使 2020na ≥ 成立的最小自然數(shù) 8n? ． （ 2）因?yàn)? 2 3 2 11 2 3 4 21 3 3 3 3n nnT ?? ? ? ? ? ?，????① 2 2 3 4 2 1 21 1 2 3 4 2 1 23 3 3 3 3 3 3n nnnnT ??? ? ? ? ? ? ?，????② ?① ② 得： 2 2 3 2 1 24 1 1 1 1 213 3 3 3 3 3n nn nT ?? ? ? ? ? ? ? 2211231 313nnn???? 223 3 3 843nn n??? 所以 222 23 9 2416 3nn n nT? ??? ． 1（ 江蘇理 20） 已知 {}na 是等差 數(shù)列， {}nb 是公比為 q 的等比數(shù)列，1 1 2 2 1,a b a b a? ? ?，記 nS 為數(shù)列 {}nb 的前 n 項(xiàng)和， （ 1）若 (,kmb a m k? 是大于 2 的正整數(shù) ) ，求證： 11( 1)kS m a? ??；（ 4 分） （ 2）若 3 (ib a i? 是某一正整數(shù) ) ，求證： q 是整數(shù)，且數(shù)列 {}nb 中每一項(xiàng)都是數(shù)列 {}na 中的項(xiàng)；（ 8 分） （ 3）是否存在這樣的正數(shù) q ，使等比數(shù)列 {}nb 中有三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫出一個 q 的值，并加以說明；若不存在，請說明理由；（ 4 分） 解：設(shè) {}na 的公差為 d ，由 1 1 2 2 1,a b a b a? ? ? ，知 0, 1dq??， ? ?1 1d a q??（ 1 0a? ） （ 1）因?yàn)?kmba? ，所以 ? ? ? ?11 1 111ka q a m a q? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 2 1kq m q m m q? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 ? ? ? ?? ? ? ?11 1111 11 11 kkaq a m m qS m aqq??? ? ? ?? ? ? ?? （ 2） ? ? ? ?23 1 1 1, 1 1ib a q a a i a q? ? ? ? ?，由 3 iba? ， Linsd68 整理 第 30 頁，共 45 頁 所以 ? ? ? ? ? ? ? ?221 1 1 , 1 2 0 ,q i q q i q i? ? ? ? ? ? ? ? ?解得， 1q? 或 2qi?? ，但1q? ，所以 2qi?? ，因?yàn)?i 是正整數(shù)，所以 2i? 是整數(shù)，即 q 是整數(shù)，設(shè)數(shù)列 {}nb中任意一項(xiàng)為 ? ?11 nnb a q n N????，設(shè)數(shù)列 {}na 中的某一項(xiàng) ma ? ?mN?? = ? ? ? ?1111a m a q? ? ? 現(xiàn)在只要證明存在正整數(shù) m ，使得 nmba? ，即在方程 ? ? ? ?11 1 111na q a m a q? ? ? ? ?中 m 有正整數(shù)解即可， ? ? ? ? 11 2 211 1 1 , 1 11nnn qq m q m q q qq ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??，所以 222 nm q q q ?? ? ? ?，若 1i ? ，則 1q ?? ，那么 2 1 1 1 , 2 2 2nnb b a b b a?。 （ 1）已知數(shù)列 ??nb 是項(xiàng)數(shù)為 7 的對稱數(shù)列，且 1 2 3 4, , ,b b b b 成 等差數(shù)列，Linsd68 整理 第 17 頁，共 45 頁 142, 11bb??，試寫出 ??nb 的每一項(xiàng) （ 2）已知 ??nc 是項(xiàng)數(shù)為 ? ?2 1 1kk??的對稱數(shù)列，且 1 2 1, ...k k kc c c??構(gòu)成首項(xiàng)為 50，公差為 4? 的等差數(shù)列，數(shù)列 ??nc 的前 21k? 項(xiàng)和為 21kS? ，則當(dāng) k 為何值時， 21kS?取到最大值？最大值為多少？ （ 3）對于給定的正整數(shù) 1m? ，試寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過 2m 的對稱數(shù)列，使得211,2,2 ...2m? 成為數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)；當(dāng) 1500m? 時，試求其中一個數(shù)列的前 2020項(xiàng)和 2020S 解 ： （ 1）設(shè) ??nb 的公差為 d ，則 1132314 ????? ddbb ，解得 3? ， ? 數(shù)列 ??nb 為 2 5 8 11 8 5 2， ， ， ， ， ， ． （ 2） 12112112 ???? ???????? kkkkk ccccccS ?? kkkk cccc ????? ?? )(2 121 ?， 50134)13(4 2212 ??????? kS k ， ? 當(dāng) 13?k 時， 12?kS 取得最大值． 12?kS 的最大值為 626． （ 3）所有可能的 “ 對稱數(shù)列 ” 是 ： ① 2 2 1 2 21 2 2 2 2 2 2 2 1m m m? ? ?， ， ， ， ， ， ， ， ， ，； ② 2 2 1 1 2 21 2 2 2 2 2 2 2 2 1m m m m? ? ? ?， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，； ③ 1 2 2 2 2 12 2 2 2 1 2 2 2 2m m m m? ? ? ?， ， ， ， ， ， ， ， ， ，； ④ 1 2 2 2 2 12 2 2 2 1 1 2 2 2 2m m m m? ? ? ?， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，． 對于 ① ，當(dāng) 2020m≥ 時， 122221 2020202022020 ??????? ?S ． 當(dāng) 1500 2020m? ≤ 時， 202022122020 222221 ???? ???????? mmmmS ?? 202021 2212 ?? ???? mmm 122 202021 ???? ?? mmm ． 對于 ② ，當(dāng) 2020m≥ 時， 1220202020 ??S ． Linsd68 整理 第 18 頁，共 45 頁 當(dāng) 1500 2020m? ≤ 時， 2020S 122 202021 ??? ?? mm ． 對于 ③ ，當(dāng) 2020m≥ 時， 20202020 22 ??? mmS ． 當(dāng) 1500 2020m? ≤ 時， 2020S 322 2020 ??? ?mm ． 對于 ④ ，當(dāng) 2020m≥ 時， 20202020 22 ??? mmS ． 當(dāng) 1500 2020m? ≤ 時， 2020S 222 2020 ??? ?mm ． （ 上海文 20） 如果 有窮數(shù)列 1 2 3 ma a a a， ， ， ， （ m 為正整數(shù)）滿足條件 maa?1 ，12 ?? maa ， ? ， 1aam? ，即 1??? imi aa （ 12im? ， ， ， ），我們稱其為 “ 對稱數(shù)列 ” ． 例如 ， 數(shù)列 1 2 5 21， ， ， ， 與 數(shù)列 8 4 2 2 4 8， ， ， ， ， 都是 “ 對 稱數(shù)列 ” ． （ 1） 設(shè) ??nb 是 7 項(xiàng)的 “ 對稱數(shù)列 ” ，其中 1 2 3 4b b b b， ， ， 是等差數(shù)列，且 21?b ， 114?b ．依次寫出 ??nb 的每一項(xiàng)； （ 2） 設(shè) ??nc 是 49 項(xiàng) 的“ 對稱數(shù)列 ” ，其中 25 26 49c c c， ， ， 是首項(xiàng)為 1，公比為 2的等比數(shù)列，求 ??nc 各 項(xiàng)的和 S ； （ 3） 設(shè) ??nd 是 100項(xiàng) 的“ 對稱數(shù)列 ” ，其中 51 52 100d d d， ， ， 是首項(xiàng)為 2 ，公差為3 的等差數(shù)列．求 ??nd 前 n 項(xiàng)的和 nS ( 1 2 100 )n ? ， ， ， ． 解 ： （ 1）設(shè)數(shù)列 ??nb 的公差為 d ，則 1132314 ????? ddbb ，解得 3? ， ? 數(shù)列 ??nb 為 2 5 8 11 8 5 2， ， ， ， ， ， ． （ 2） 4921 cccS ???? ? 25492625 )(2 cccc ????? ? ? ? 122212 242 ?????? ? ? ? 32122 2625 ????? ?67108861． （ 3） 5 1 1 0 02 2 3 ( 5 0 1 ) 1 4 9dd? ? ? ? ? ?， ． 由題意得 1 2 50d d d， ， ， 是首項(xiàng)為 149，公差為 3? 的等差數(shù)列． 當(dāng) 50n≤ 時， nn dddS ???? ?21 Linsd68 整理 第 19 頁，共 45 頁 nnnnn 23 0 123)3(2 )1(1 4 9 2 ??????? ． 當(dāng) 51 100n≤ ≤ 時， nn dddS ???? ?21 ? ?ndddS ????? ?525150 ( 5 0 ) ( 5 1 )3 7 7 5 2 ( 5 0 ) 32nnn ??? ? ? ? ? 7 5 0 022 9 923 2 ??? nn ． 綜上所述， 223 3 0 1 1 5 0223 2 9 9 7 5 0 0 5 1 1 0 022nn n nSn n n? ????? ?? ????， ≤ ≤ ， ≤ ≤ ．