【正文】 111 1 ??????? ? nnn bn nnnbbx 又時(shí)， ； ∴ b bn n? ?1 當(dāng) n? 1 時(shí)，? ?? ? nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxbb???????????? ??? ?? 1111111111111 nnnnnnbbbxxxxxxx???????????????? 1,0,111101111,1又同號(hào)，與? 綜上知 ??nb 為遞減數(shù)列。 解： dnnndnnnaAn 2 )1(2 )1(1 ??????； dnnAn 2 11 ??? 又qqqqqB nnn ??????? 11 111； nn BBBBS ?????? ....321 2)1( )1(1 qqqqn n????? )(lim nnn SnA ?? ?? ])1( )1(12 11[lim 2qqqqndn nn ???????? ?? ])1()1 12())1(21[(lim 212 qqnqdqqd nn ????????? ??? =1 ?? ,1|q|? 0)1(lim 21 ??? ??? qqnn ???????????????.01 12,1)1(21 2qdqqd .0)11(1 1,01 1)1( 2 ????????? qqqqqq 又 4.,21,11,01 1 ????????? dqqqq 18 【例 6】 已知等比數(shù)列 {}an 中 a1 = 1，公比為 x (x 0)，其前 n 項(xiàng)和為 S。 )1(121,2 111 ?????? ??? ??? ??? nnnn nn aansa nsan 由時(shí)當(dāng) 同理， )2(12 1 ??? nn aa (2)－ (1), 11 )(2 ?? ??? nnnn aaaa 即 )3(212 11 ??? ?? nnnn bbbb 由,2 122222 ???????? aabasa 又得 于是 )4(2112 ?bb 由 (3),(4)知21,21}{ 1 ?? qbbn 是的等比數(shù)列，nnb 21? 證法二：同上算得41,21 21 ?? bb，??猜想nnb 21?且數(shù)學(xué)歸納法證明， (1) 當(dāng)12121,1 bn ???? 時(shí)，命題成立 (2)假設(shè) )( Nkkn ?? 時(shí)命題成立，即kkb 21?成立。 （ 1）求數(shù)列 {bn}的前 n 項(xiàng)和 Sn； （ 2）當(dāng)數(shù)列 {bn}中的每一項(xiàng)總小于它后面的項(xiàng)時(shí)，求 a 的取值范圍 . 解：（ 1）由題意知 an=an， bn=nanlga. ∴ Sn=（ 1 ? a+2 ? a2+3 ? a3+?? +n ? an） lga. a Sn=（ 1 ? a2+2 ? a3+3 ? a4+?? +n ? an+1） lga. 以上兩式相減得 （ 1– a） Sn=（ a+a2+a3+?? +an–n ? an+1） lga aanaaa nn lg1 )1( 1 ???????? ????? ?. ∵ a≠ 1，∴ ? ?nn anana aaS )1(1)1( lg 2 ?????. （ 2）由 bk+1–bk=(k+1)ak+1lga–kaklga=aklga[k(a–1)+a]. 由題意知 bk+1–bk0，而 ak0， ∴ lga[k(a–1)+a]0. ① （ 1）若 a1，則 lga0， k(a–1)+a0，故 a1 時(shí)，不等式①成立； （ 2）若 0a1，則 lga0， 不等式①成立 0)1( ???? aak 10 ???? k ka 恒成立 2110 mi n ??????? ???? k ka. 綜合（ 1）、（ 2）得 a 的取值范圍為 ),1()21,0( ??? 【例 4】 已知數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，又有數(shù)列 {bn}，它們滿足關(guān)系 11 ab? ，對(duì) Nn? 有 16 nnnnn aabnSa ???? ?? 11, 。（ 3）若 ?，?，13222211222??????? nnnn aabaabaab 求數(shù)列 ??bn 的前 n 項(xiàng)的和 Sn。 由（ 1），（ 2） n∈ N,a 成立nn 21? 此時(shí) 是等比數(shù)列成立 }{211 nnn aaa ??? （ 2）另證：對(duì) n≥ 2, 1Sn=an1an 14 1Sn+1=anan+1 兩式相減 ,有 111 2 ??? ???? nnnnn aaaSS 是等比數(shù)列即}{21212123121111nnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaa???????????????????? （ 3） ?? ??nnnn nnnnb 232 1212 12 132 112 2 1 ??????? ??????????? ?? ? ???????????????????????????????????????????????????????????????nnnnnnnbbb2)32(12)12(189147147125125131limlim121?? =312)32( 131lim ????????? ????? nn n 【例 2】 已知 ? ? ? ?012 2 ??? xxxf ，數(shù)列 ??an 滿足 ? ???? ?? ?11 1 nn afaa ? ?2?? nNn 且 （ 1）寫出數(shù)列 ??an 的前五項(xiàng)，試歸納出 an 的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。 (1)求 a1， a2， a3；（ 2）證明 {an}是等比數(shù)列 。 若向工商銀行貸款 , 每年需還 12330 元。 (1)如果他向建設(shè)銀行貸款 , 年利率為 5%, 且這筆借款分 10 次等額歸還 (不計(jì)復(fù)利 ), 每年一次 , 并從借后次年年初開始?xì)w還 , 問(wèn)每年應(yīng)還多少元 (精確到 1 元 )？ (2)如果他向工商銀行貸款 , 年利率為 4%, 要按復(fù)利計(jì)算 (即本年的利息計(jì)入次年的本金生息 ), 仍分 10次等額歸還 , 每年一次 , 每年應(yīng)還多少元 (精確到 1 元 )？ 解 ： (1) 若向建設(shè)銀行貸款 , 設(shè)每年還款 x 元 , 則 105 (1 + 10 5%) = x(1 + 9 5%) + x(1 + 8 5%) + x(1 + 7 5%) + ? + x, 105 = 10x + 45 , 解得 x ? ? ?10 1 512 25 122455 .. (元 ) (2)若向工商銀行貸款 , 設(shè)每年還款 y 元 , 則 105 (1 + 4%)10 = y(1 + 4%)9 + y(1 + 4%)8 + y(1 + 4%)7 + ? + y 13 10 1 04 1 04 11 04 15 10 10? ? ??. . . （ 2） ∵ f(n+1)f(n)， ∴ 當(dāng) n1 時(shí)， f(n)的最小值為 f(2)=S5S3=209 ∴ 必需且只須 2)1(2 ][lo g2020)]1([lo g mm mm ???209????? ① ， 由??? ???? ?? 1101 10 mm mm 且且得 m1 且 m≠ 2 令 t= 2)]1([log ?mm 則不等式 ① 等價(jià)于????? ???20920200ttt ，解得： 0t1 即 0 2)]1([log ?mm 1，即 1logm(m1)0 或 0logm(m1)1， 解之得： 222 51 ???? mm 或 。 ⑵試確定實(shí)數(shù) m 的取值范圍，使得對(duì)于一切大于 1的自然數(shù) n ，不等式 2)1(2 ][ lo g2020)]1([ lo g)( mmnf mm ????恒成立。 解：（ 1） 12316743163743778 ?????? ?? aaa ； 348 109 ???? aa ，同理： （ 2） ? ?1111 72527 432???? ????? ???nnnnn aaaaa 29 ?? nan 時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) 289 9 ???? an 時(shí)當(dāng) 命題成立? 2)9( ??? kakkn 時(shí)假設(shè) 時(shí)那么當(dāng) 1?? kn )07022(07 )2(521 ???????? ???? kkkkkk aaaaaa ，? 1??kn 時(shí)命題成立 成立。 解 ： 依題意 , 可設(shè) ? ?0,0111 ??? ? qSqSS nn 其中 則 ? ?2211 ?? ?? nqSS nn 從而有 ? ?????? ???? ??? ?? 時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng) 2110 2111 nqqSSS nSa nnnn (Ⅰ )當(dāng) q = 1 時(shí) , a2 = a3 = ? = 0 11 ∴ ? ?a a a a a a nn nn1 3 2 2 12 2 2? ? ? ? ?? ?, (Ⅱ )當(dāng) q 0 且 q?1 時(shí) , (1)當(dāng) n = 1 時(shí) , ? ? ? ?12 12 111231 ??????? qSqqSSaaa 0432321 21 ????????? ??????? ?? qS ∴231 2 aaa ?? (2)當(dāng) ? ? ? ? ? ?12 112,2 1112112 ????????? ???? qqSqqSqqSaaan nnnnnn時(shí) ? ?? ??12 11 2 3S q qn (i)若 q 1 時(shí) , 則 a a an nn? ?? ?2 12 (ii)若 0 q 1 時(shí) , 則 a a an nn? ?? ?2 12 3． 已知數(shù)列 ? ?117 7432316???????nnnn aaanaa 時(shí)，且中， (1)分別求出 a a a8 9 10， ， 的值 。 …∴ (3)當(dāng) n=2k（ k∈ N）時(shí)， ))(())(())(( ])()[(])()[(])()[( 212212434321212221224232221kkkkkkn bbbbbbbbbbbb bbbbbbT ?????????? ??????????…… .22 )121)(12()1221()(22124321kkkkkbbbbbb kk?????????????????????? ?…… 當(dāng) n=2k1 (k∈ N)時(shí)， 212222232232221 )(])()[(])[(])()[( ??? ??????? kkkn bbbbbbT … 132 2)( 2 k+3 ) ]( 2 k++4+3+2+[1= 22??? kk … ????????? ???? ).,12(132 ),2(2 22Nkknkk NkknkkT n ∈∈∴ 2．?dāng)?shù)列 ??an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn, 已知 ??Sn 是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列。 nnn nnQ 2)1(2)2(2322212 1432 ???????? ? ②－①得 22)2(2)1(222)1(21 2222)1(22221132???????????????????????nnnnnnnnnnnnQ… …求 ? ????? （ 3） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2221224232221 nnn bbbbbbT ??????? ?…求和 解：（ 1） )2(222 111 ≥nSSa nnnnnn ??? ????? 22,}{ 1 ??? qaaa nnn 得公比由∴是等比數(shù)列∵ 1),(2.1,21,2,1,2111111112??????????????? PNnaPPPSaSaaqaann ∈∴∴∴又∴∵ （ 2） 12lo g,lo g 122 ???? ? nbab nnnn ∴? ①naP的值及通項(xiàng)求 （ 2） 。 ? ?? ???? ?? ??? 254 12 nn nan 2． 數(shù)列 {an }的通項(xiàng)公式為 )32)(12( 1 ??? nna n前 n 項(xiàng)和為 Sn ，若 1lim ??? nn aS (a 為實(shí)常數(shù) )，則 a 的值 等于 。 解： (1) )00(22111221